Минор (линейная алгебра)

В линейной алгебре минор матрицы A является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы , вырезанной из A путем удаления одной или нескольких ее строк и столбцов. Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), необходимы для вычисления матричных кофакторов , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратной квадратной матрицы.

Определение и иллюстрация

Первые несовершеннолетние

Если A — квадратная матрица, то минор записи в i  -й строке и j  -м столбце (также называемый минором ( i , j ) или первым минором ^[1] ) является определителем подматрицы , образованной удалением i -  я строка и j  -й столбец. Это число часто обозначается M _i,j . Кофактор ( i , j ) получается путем умножения минора на .${\ Displaystyle (-1) ^ {я + j}}$

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ - 1 & 9 & 11 \\\ end {bmatrix}}}$

Чтобы вычислить минор M _2,3 и кофактор C _2,3 , мы находим определитель вышеуказанной матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.

${\ displaystyle M_ {2,3} = \ det {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & \ Box \\\ Box & \ Box & \ Box \\ - 1 & 9 & \ Box \\\ end {bmatrix}} = \ det {\ начало{bmatrix}1&4\\-1&9\\\конец{bmatrix}}=9-(-4)=13}$

Таким образом, кофактор записи (2,3) равен

${\ displaystyle \ C_ {2,3} = (-1) ^ {2 + 3} (M_ {2,3}) = - 13.}$

Общее определение

Пусть A — матрица размера m  ×  n , а k — целое число , где 0 < k ≤ m и k ≤ n . Минор k  ×  k матрицы A , также называемый второстепенным определителем порядка k матрицы A или , если m = n , ( n − k ) м минорным определителем матрицы A ( слово «детерминант» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо «порядок») является определителемМатрица размера k  ×  k , полученная из A удалением m − k строк и n − k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения матрицы k  ×  k , полученной из A , как указано выше (путем удаления m − k строк и n − k столбцов), но эту матрицу следует называть (квадратной) подматрицей A , оставляя термин «минор» для обозначения определителя этой матрицы. Для матрицы A , как указано выше, всего существует минор размера k${\ Displaystyle {м \ выберите к} \ cdot {п \ выберите к}}$ ×  к . Минор нулевого порядка часто определяется равным 1. Для квадратной матрицы нулевой минор - это просто определитель матрицы. ^{[2] [3]}

Пусть и — упорядоченные последовательности (в естественном порядке, как это всегда предполагается, когда говорят о минорах, если не указано иное) индексов, назовем их I и J соответственно. Минор , соответствующий этому выбору индексов, обозначается или или или или или (где обозначает последовательность индексов I и т. д .), в зависимости от источника. Также в литературе используются два типа обозначений: минором, ассоциированным с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторыми авторами ^[4]${\ Displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} </ cdots <i_ {k} \ leq m}$${\ Displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} </ cdots <j_ {k} \ leq п}$${\displaystyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$${\displaystyle \det _{I,J}A}$${\displaystyle \det A_{I,J}}$${\displaystyle [A]_{I,J}}$${\displaystyle M_{I,J}}$${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$${\displaystyle M_{(i),(j)}}$${\displaystyle (i)}$означают определитель матрицы, которая формируется, как указано выше, путем взятия элементов исходной матрицы из строк с индексами в I и столбцов с индексами в J , тогда как некоторые другие авторы под минором, связанным с I и J , понимают определитель матрицы, образованной из исходной матрицы удалением строк в I и столбцов в J . ^[2] Какие обозначения используются, всегда следует проверять по соответствующему источнику. В этой статье мы используем инклюзивное определение выбора элементов из строк I и столбцов J . Исключительным случаем является случай первого минора или ( i, j )-минор, описанный выше; в этом случае исключительное значение является стандартным повсюду в литературе и используется также в этой статье.${\displaystyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$

Дополнение

Дополнение B _{ijk...,pqr...} минора M _{ijk...,pqr...} квадратной матрицы A образовано определителем матрицы A , из которой все строки ( ijk... ) и столбцы ( pqr... ), связанные с M _{ijk...,pqr...} , были удалены. Дополнением первого минора элемента a _ij является просто этот элемент. ^[5]

Применение миноров и кофакторов

Кофакторное расширение определителя

Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения определителей, которая представляет собой метод вычисления больших определителей с точки зрения меньших. Для матрицы n  ×  n определитель A , обозначаемый det( A ), может быть записан как сумма кофакторов любой строки или столбца матрицы, умноженных на элементы, которые их породили. Другими словами, определение затем расширения кофактора по j  -му столбцу дает:${\displaystyle A=(a_{ij})}$${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Разложение кофактора по i  -й строке дает:

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Обратная матрица

Можно записать обратную обратимую матрицу , вычислив ее кофакторы с помощью правила Крамера следующим образом. Матрица, образованная всеми кофакторами квадратной матрицы A , называется матрицей кофакторов (также называемой матрицей кофакторов или, иногда, коматрицей ):

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

Тогда обратным A является транспонирование матрицы кофакторов, умноженное на обратную величину определителя A :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

Транспонированная матрица кофакторов называется сопряженной матрицей (также называемой классической сопряженной ) матрицы A .

Приведенную выше формулу можно обобщить следующим образом: пусть и — упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A — матрица размера n  ×  n ). Затем ^[6]${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$

где I′ , J′ обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы в естественном порядке, как указано выше), дополнительные к I , J , так что каждый индекс 1, ..., n появляется ровно один раз либо в I , либо в I ′ , но не в обоих (аналогично для J и J′ ) и обозначает определитель подматрицы матрицы A , образованной выбором строк набора индексов I и столбцов набора индексов J . Кроме того, . Простое доказательство может быть дано с использованием произведения клина. Верно,${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$

где базисные векторы. Действуя A с обеих сторон, получаем${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).}$

Знак можно вычислить как , поэтому знак определяется суммами элементов в I и J .${\displaystyle (-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}}$

Другие приложения

Для матрицы m  ×  n с действительными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r существует по крайней мере один ненулевой минор размера r  ×  r , а все большие миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A — матрица размера m  ×  n , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., n } с k элементами, то мы пишем [ A ] _{I , J} для k  ×  k минора A , который соответствует строкам с индексом в I и столбцам с индексом в J .

• Если I = J , то [ A ] _{I , J} называется главным минором .
• Если матрица, соответствующая главному минору, представляет собой квадратную верхнюю левую подматрицу большей матрицы (т. е. она состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k , также известных как старшая главная подматрица), то главный минор называется ведущим главным минором (порядка k) или угловым (главным) минором (порядка k) . ^[3] Для квадратной матрицы размера n  ×  n существует n старших главных миноров.
• Базисным минором матрицы называется определитель квадратной подматрицы максимального размера с ненулевым определителем. ^[3]
• Для эрмитовых матриц главные миноры могут использоваться для проверки положительной определенности , а главные миноры могут использоваться для проверки положительной полуопределенности . См . Критерий Сильвестра для более подробной информации.

И формула обычного матричного умножения , и формула Коши–Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A — матрица размера m  ×  n , B — матрица размера n  ×  p , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., p } с k элементами. потом

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

где сумма распространяется на все подмножества K множества {1,..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши-Бине.

Подход мультилинейной алгебры

Более систематическая алгебраическая обработка миноров дается в полилинейной алгебре с использованием произведения клина : k -миноры матрицы - это элементы в k -м внешнем отображении мощности.

Если столбцы матрицы соединяются вместе по k за раз, миноры k  ×  k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры размера 2 × 2 матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$

составляют -13 (из первых двух строк), -7 (из первой и последней строки) и 5 ​​(из последних двух строк). Теперь рассмотрим произведение клина

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства произведения клина, а именно то, что оно билинейно и знакопеременно ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$

и антисимметричный ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$

мы можем упростить это выражение до

${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

где коэффициенты согласуются с минорами, вычисленными ранее.

Замечание о разных обозначениях

В некоторых книгах вместо кофактора используется термин вспомогательное вещество . ^[7] Более того, он обозначается как A _ij и определяется так же, как кофактор:

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$

Используя эти обозначения, обратная матрица записывается следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$

Имейте в виду, что adjunct не является adjugate или adjoint . В современной терминологии «сопряженный» матрицы чаще всего относится к соответствующему сопряженному оператору .

Смотрите также

• Подматрица

использованная литература

внешняя ссылка

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о кофакторах в Google Video, из MIT OpenCourseWare
• Запись PlanetMath о кофакторах
• Запись Springer Encyclopedia of Mathematics для несовершеннолетних