Матрица коэффициентов

В линейной алгебре , А матрица коэффициентов представляет собой матрицу , состоящую из коэффициентов переменных в наборе линейных уравнений . Матрица используется при решении систем линейных уравнений .

Матрица коэффициентов [ править ]

В общем, систему с m линейными уравнениями и n неизвестными можно записать как

${\ displaystyle a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} \,}$

${\ displaystyle a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ {n} = b_ {2} \,}$

${\ Displaystyle \ quad \ vdots \,}$

${\ displaystyle a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2} + \ cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ {m} \,}$

где - неизвестные, а числа - коэффициенты системы. Матрица коэффициентов - это матрица размера m  ×  n с коэффициентом в качестве ( i , j ) -й записи: ^[1]${\ displaystyle x_ {1}, \ x_ {2}, ..., x_ {n}}$${\ displaystyle a_ {11}, \ a_ {12}, ..., \ a_ {mn}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$ 

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

Тогда приведенную выше систему уравнений можно более кратко выразить как

${\displaystyle Ax=b}$

где A - матрица коэффициентов, а b - вектор-столбец постоянных членов.

Связь его свойств со свойствами системы уравнений [ править ]

По теореме Руша-Капелл , система уравнений непоследовательна , то есть он не имеет решений, если ранг в дополненной матрице (матрицы коэффициентов дополненных с дополнительным столбцом , состоящим из вектора б ) больше , чем ранг коэффициента матрица. Если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг r равен количеству n переменных. В противном случае общее решение имеет n - rбесплатные параметры; следовательно, в таком случае существует бесконечное количество решений, которые могут быть найдены путем наложения произвольных значений на n - r переменных и решения полученной системы для ее единственного решения; различный выбор фиксируемых переменных и разные фиксированные их значения дают разные системные решения.

Динамические уравнения [ править ]

Матричное разностное уравнение первого порядка с постоянным членом можно записать как

${\displaystyle y_{t+1}=Ay_{t}+c,}$

где является п  ×  п и у , и с являются п × 1. Эта система сходится к своему стационарному уровню у тогда и только тогда , когда эти абсолютные значения всех п собственных значений от А меньше , чем 1.

Матричное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянным членом можно записать как

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Ay(t)+c.}$

Эта система устойчива тогда и только тогда, когда все n собственных значений матрицы A имеют отрицательные действительные части .

Ссылки [ править ]