Согласованные и несовместимые уравнения

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Непротиворечивые и непоследовательные уравнения»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике и особенно в алгебре , А линейная или нелинейная система уравнений называются последовательной , если есть , по меньшей мере один набор значений для неизвестных , который удовлетворяет каждое уравнение в системе, то есть, когда замещено в каждый из уравнений, которые они делают каждое уравнение истинно как тождество . Напротив, система линейных или нелинейных уравнений называется несовместимой, если нет набора значений для неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям.

Если система уравнений несовместима, то можно манипулировать и комбинировать уравнения таким образом, чтобы получить противоречивую информацию, например, 2 = 1 или x ³ + y ³ = 5 и x ³ + y ³ = 6. (откуда следует 5 = 6).

Оба типа системы уравнений, непротиворечивые и непоследовательные, могут быть переопределенными (имеющими больше уравнений, чем неизвестных), недоопределенными (имеющими меньше уравнений, чем неизвестных) или точно определенными.

Простые примеры [ править ]

Недоопределенный и последовательный [ править ]

Система

${\ displaystyle x + y + z = 3,}$

${\ displaystyle x + y + 2z = 4}$

имеет бесконечное количество решений, все они имеют z = 1 (что можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго), и все они, следовательно, имеют x + y = 2 для любых значений x и y .

Нелинейная система

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 10,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=5}$

есть бесконечное множество решений, все из которых включают ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Поскольку каждая из этих систем имеет более одного решения, это неопределенная система .

Недоопределенный и непоследовательный [ править ]

Система

${\displaystyle x+y+z=3,}$

${\displaystyle x+y+z=4}$

не имеет решений, что можно увидеть, вычтя первое уравнение из второго, чтобы получить невозможное 0 = 1.

Нелинейная система

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=17,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=14}$

не имеет решений, потому что если вычесть одно уравнение из другого, мы получим невозможное 0 = 3.

Точно решительный и последовательный [ править ]

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=5}$

имеет ровно одно решение: x = 1, y = 2.

Нелинейная система

${\displaystyle x+y=1,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

имеет два решения ( x, y ) = (1, 0) и ( x, y ) = (0, 1), а

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\displaystyle x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\displaystyle 3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=34}$

имеет бесконечное количество решений, потому что третье уравнение - это первое уравнение плюс дважды второе и, следовательно, не содержит независимой информации; таким образом, можно выбрать любое значение z и найти значения x и y, удовлетворяющие первым двум (и, следовательно, третьему) уравнениям.

Совершенно определенно и непоследовательно [ править ]

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle 4x+4y=10}$

не имеет решений; несоответствие можно увидеть, умножив первое уравнение на 4 и вычтя второе уравнение, чтобы получить невозможное 0 = 2.

Так же,

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=10,}$

${\displaystyle x^{3}+2y^{3}+z^{3}=12,}$

${\displaystyle 3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}=32}$

является несовместной системой, потому что первое уравнение плюс дважды второе минус третье содержит противоречие 0 = 2.

Сверхопределенный и последовательный [ править ]

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\displaystyle 4x+6y=20}$

имеет решение x = –1, y = 4, потому что первые два уравнения не противоречат друг другу, а третье уравнение является избыточным (поскольку оно содержит ту же информацию, которая может быть получена из первых двух уравнений путем умножения каждого на 2 и суммируя их).

Система

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\displaystyle 3x+6y=21,}$

${\displaystyle 7x+14y=49}$

имеет бесконечное количество решений, поскольку все три уравнения дают ту же информацию, что и друг друга (что можно увидеть, умножив первое уравнение на 3 или 7). Любое значение y является частью решения, при этом соответствующее значение x равно 7–2y.

Нелинейная система

${\displaystyle x^{2}-1=0,}$

${\displaystyle y^{2}-1=0,}$

${\displaystyle (x-1)(y-1)=0}$

имеет три решения ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1) и (1, 1).

Сверхдетерминированный и непоследовательный [ править ]

Система

${\displaystyle x+y=3,}$

${\displaystyle x+2y=7,}$

${\displaystyle 4x+6y=21}$

непоследовательно, потому что последнее уравнение противоречит информации, заложенной в первых двух, как видно, умножая каждое из первых двух на 2 и суммируя их.

Система

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$

${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=2,}$

${\displaystyle 2x^{2}+3y^{2}=4}$

противоречиво, поскольку сумма первых двух уравнений противоречит третьему.

Критерии согласованности [ править ]

Как видно из приведенных выше примеров, непротиворечивость и непротиворечивость - это совсем другой вопрос, нежели сравнение количества уравнений и неизвестных.

Линейные системы [ править ]

Линейная система является непротиворечивой тогда и только тогда, когда ее матрица коэффициентов имеет тот же ранг, что и ее расширенная матрица (матрица коэффициентов с добавленным дополнительным столбцом, этот столбец является вектор-столбцом констант).

Нелинейные системы [ править ]