Система полиномиальных уравнений
Система полиномиальных уравнений (иногда просто полиномиальная система ) представляет собой набор одновременных уравнений f 1 = 0, ..., f h = 0 , где f i являются полиномами от нескольких переменных, скажем, x 1 , ..., x n над некоторым полем k .
Решением полиномиальной системы является набор значений x i s, которые принадлежат некоторому алгебраически замкнутому расширению K поля k и делают все уравнения истинными. Когда k является полем рациональных чисел , K обычно считается полем комплексных чисел , потому что каждое решение принадлежит расширению поля k , которое изоморфно подполю комплексных чисел.
Эта статья о методах решения, то есть нахождении всех решений или их описании. Поскольку эти методы предназначены для реализации на компьютере, упор делается на области k , в которых вычисления (включая проверку на равенство) просты и эффективны, то есть на области рациональных чисел и конечных полей .
Поиск решений, принадлежащих определенному множеству, является задачей, которая, как правило, намного сложнее и выходит за рамки данной статьи, за исключением случая решений в заданном конечном поле. Для случая решений, все компоненты которых являются целыми или рациональными числами, см. Диофантово уравнение .
Предметом данной статьи является исследование обобщений этого примера и описание методов, которые используются для вычисления решений.
где каждый f h является многочленом от неопределенных x 1 , ..., x m с целыми коэффициентами или коэффициентами в некотором фиксированном поле , часто поле рациональных чисел или конечном поле . [1] Другие поля коэффициентов, такие как действительные числа , используются реже, так как их элементы не могут быть представлены в компьютере (в вычислениях могут использоваться только приближения действительных чисел, и эти приближения всегда являются рациональными числами).
