Расширение поля

В математике , в частности , в алгебре , А расширение поля является пара полей таких , что операции Е являются те из F ограничены в Е . В этом случае F является расширение поля из Е и Е является подполе из F . ^[1]^[2]^[3] Например, согласно обычным понятиям сложения и умножения , комплексные числа являются полем расширения действительных чисел. ${\ displaystyle E \ substeq F,}$ ; действительные числа - это подполе комплексных чисел.

Расширения полей являются фундаментальными в алгебраической теории чисел и при изучении корней многочленов с помощью теории Галуа и широко используются в алгебраической геометрии .

Подполе [ править ]

Подполе из поля L является подмножеством К из L , что это поле по отношению к операции на местах , унаследованных от L . Эквивалентно, подполе есть подмножество, содержащее 1, и закрыт относительно операций сложения, вычитания, умножения, и принимая обратную ненулевого элемента L .

Поскольку $1 - 1 = 0$ , последнее определение означает, что K и L имеют одинаковый нулевой элемент.

Например, поле рациональных чисел - это подполе действительных чисел , которое само является подполем комплексных чисел. В более общем смысле, поле рациональных чисел является (или изоморфно ) подполем любого поля характеристики 0.

Характеристика из подпола такой же , как с характеристикой большего поля.

Поле расширения [ править ]

Если K подполе L , то L представляет собой поле расширения или просто расширение из K , и эта пара полей является расширение поля . Такое расширение поля обозначается L / K (читается как « L над K »).

Если L является расширением F , который в свою очередь является расширением К , то Р называется собой промежуточное поле (или промежуточное расширение или подрасширение ) из L / K .

Учитывая расширение поля L / K , тем больше поле L является K - векторное пространство . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [ L : K ].

Степень расширения равна 1 тогда и только тогда, когда два поля равны. В этом случае расширение является тривиальным расширением . Расширения степени 2 и 3 называются квадратичными расширениями и кубическими расширениями соответственно. Конечное расширение является расширением , которое имеет конечную степень.

Для двух расширений L / K и M / L расширение M / K конечно тогда и только тогда, когда оба L / K и M / L конечны. В этом случае

{\ Displaystyle [M: K] = [M: L] \ cdot [L: K].}

Принимая во внимание расширение поля L / K и подмножество S из L , существует наименьшее подполе L , который содержит K и S . Это пересечение всех подполей L , содержащих K и S , и обозначается K ( S ). Говорят , что К ( S ) является поле генерируется с помощью S над K , и что S является порождающим множеством из K ( S ) надK . Когда конечно, одна записи вместо и один говорит , что K ( S ) конечно порожден над K . Если S состоит из одного элемента s , расширение K ( s ) / K называется простым расширением ^[4]^[5], а s называется примитивным элементом расширения. ^[6] ${\ Displaystyle S = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle К (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle К (\ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}),}$

Расширение поля вида К ( S ) часто называют результатом примыкания от S до K . ^[7]^[8]

В характеристике 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивных элементах , которая не верна для полей с ненулевой характеристикой.

Если простое расширение К ( ы ) / К не является конечным числом, поле К ( ы ) изоморфна области рациональных дробей в с более чем K .

Предостережения [ править ]

Обозначение L / K является чисто формальным и не подразумевает образование фактор-кольца или фактор-группы или любого другого вида деления. Вместо этого косая черта выражает слово «сверх». В некоторой литературе обозначение L : K используется.

Часто бывает желательно говорить о расширениях полей в ситуациях, когда маленькое поле фактически не содержится в большом, а естественно встроено. Для этого можно абстрактно определить расширение поля как инъективный кольцевой гомоморфизм между двумя полями.Любой ненулевой гомоморфизм колец между полями инъективен, потому что поля не обладают нетривиальными собственными идеалами, поэтому расширения полей - это в точности морфизмы в категории полей .

В дальнейшем мы будем подавлять инъективный гомоморфизм и предполагать, что имеем дело с актуальными подполями.

Примеры [ править ]

Поле комплексных чисел является полем расширения поля действительных чисел и, в свою очередь, является полем расширения поля рациональных чисел. Очевидно, тогда оно также является расширением поля. У нас есть потому , что это основа, поэтому расширение конечно. Это простое расширение, потому что ( мощность континуума ), поэтому это расширение бесконечно. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle [\ mathbb {C}: \ mathbb {R}] = 2}$ ${\ Displaystyle \ {1, я \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} (i).}$ ${\ Displaystyle [\ mathbb {R}: \ mathbb {Q}] = {\ mathfrak {c}}}$

Поле

{\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt {2}} \ right | a, b \ in \ mathbb {Q} \ right \},}

является полем расширения, очевидно, также и простого расширения. Степень 2, потому что может служить основой. $\mathbb {Q} ,$ $\{1,{\sqrt {2}}\}$

Поле

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})({\sqrt {3}})\\&=\left.\left\{a+b{\sqrt {3}}\right|a,b\in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right\}\\&=\left.\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

является расширение поля как и степени 2 и 4 соответственно. Это также простое расширение, поскольку можно показать, что $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ $\mathbb {Q} ,$

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left.\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

Конечные расширения также называются полями алгебраических чисел и важны в теории чисел . Другое поле расширения рациональных чисел, которое также важно в теории чисел, хотя и не является конечным расширением, - это поле p-адических чисел для простого числа p . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} _{p}$

Оно является общим для построения поля расширения данного поля K как фактор - кольца из кольца многочленов K [ X ], чтобы «создать» корень для заданного полинома F ( X ). Предположим, например, что K не содержит никакого элемента x с x ² = −1. Тогда многочлен является неприводимым в K [ X ], следовательно, идеал , порожденный этим многочленом является максимальным , и является расширением поля K $X^{2}+1$ $L=K[X]/(X^{2}+1)$ который действительно содержит элемент, квадрат которого равен −1 (а именно, класс вычетов X ).

Повторяя приведенную выше конструкцию, можно построить поле расщепления любого многочлена из K [ X ]. Это поле расширения L из K , в котором заданный полином распадается в произведение линейных множителей.

Если p - любое простое число, а n - натуральное число, у нас есть конечное поле GF ( p ⁿ ) с p ⁿ элементами; это поле расширения конечного поля с p элементами. $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$

Для поля K мы можем рассматривать поле K ( X ) всех рациональных функций от переменной X с коэффициентами из K ; элементы K ( X ) являются дробями двух многочленов над K , и действительно, K ( X ) является полем частных кольца многочленов K [ X ]. Это поле рациональных функций является расширение поля K . Это расширение бесконечно.

Учитывая риманов поверхность М , множество всех мероморфных функций , определенных на М представляет собой поле, обозначенное Этим расширение трансцендентного поле , если мы идентифицируем каждое комплексное число с соответствующей постоянной функцией , определенной на М . В более общем плане , дается алгебраическое многообразие V над некоторым полем К , затем поле функции из V , состоящее из рациональных функций , определенных на V и обозначим через K ( V ), представляет собой расширение поля K . $\mathbb {C} (M).$ $\mathbb {C}$

Алгебраическое расширение [ править ]

Элемент х из поля расширения L / K алгебраический над K , если оно является корнем из ненулевого многочлена с коэффициентами из K . Например, является алгебраическим над рациональными числами, потому что он является корнем Если элемент x из L является алгебраическим над K , монический многочлен низшей степени, имеющий x в качестве корня, называется минимальным многочленом от x . Этот минимальный многочлен неприводит над K . ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2.$

Элемент s группы L является алгебраическим над K тогда и только тогда, когда простое расширение K ( s ) / K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, а базис К - векторное пространство K ( ы ) состоит из где d является степень минимального полинома. $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},$

Множество элементов L , которые являются алгебраическим над K образуют подрасширение, который называется алгебраическое замыкание из K в L . Это следует из предыдущей характеризации: если s и t алгебраические, расширения K ( s ) / K и K ( s ) ( t ) / K ( s ) конечны. Таким образом, K ( s , t ) / K также конечно, как и субрасширения K( s ± t ) / K , K ( st ) / K и K (1 / s ) / K (если s 0 ). Отсюда следует, что s ± t , st и 1 / s алгебраические.

Алгебраическое расширение L / K является расширением таким образом, что каждый элемент из L является алгебраическим над K . Эквивалентно, алгебраическое расширение - это расширение, которое порождается алгебраическими элементами. Например, является алгебраическим расширением , поскольку и являются алгебраическими над $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ $\mathbb {Q}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ $\mathbb {Q} .$

Простое расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно конечно. Отсюда следует, что расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно является объединением своих конечных подрасширений, и что каждое конечное расширение является алгебраическим.

Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое с точностью до изоморфизма является наибольшим полем расширения K, которое является алгебраическим над K , а также наименьшим полем расширения, таким, что каждый многочлен с коэффициентами в K имеет в нем корень. Например, это алгебраическое замыкание, но не алгебраическое замыкание, поскольку оно не является алгебраическим над (например, $π$ не является алгебраическим над ). $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Трансцендентальное расширение [ править ]

Принимая во внимание расширения поля L / K , подмножество S из L называется алгебраически независим над K , если не нетривиальное полиномиальное соотношение с коэффициентами в K не существует среди элементов S . По величине мощности алгебраически независимого множество называется степенью трансцендентности из L / K . Всегда можно найти множество S , алгебраически независимое над K , такое, что L / K ( S ) является алгебраическим. Такое множество Sназывается базис трансцендентности из L / K . Все базы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение L / K называется чисто трансцендентным тогда и только тогда, когда существует базис трансцендентности S в L / K такой, что L = K ( S ). Такое расширение обладает тем свойством, что все элементы L, кроме элементов K , трансцендентны над K, но, тем не менее, есть расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными - класс таких расширений имеет вид L / K, где и L, и K алгебраически замкнуты. Кроме того, если L / K чисто трансцендентно, а S является базисом трансцендентности расширения, не обязательно следует, что L = K ( S ). Например, рассмотрим расширение, где x трансцендентен над Множеством алгебраически независимым, поскольку x трансцендентен. Очевидно, расширение $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q} .$ $\{x\}$ $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} (x)$ является алгебраическим, следовательно, является базисом трансцендентности. Он не генерирует весь расширение , потому что не существует полиномиального выражение для . Но легко видеть, что порождает основа трансцендентности, поэтому это расширение действительно чисто трансцендентно.) $\{x\}$ $x$ ${\sqrt {x}}$ $\{{\sqrt {x}}\}$ $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}}),$

Нормальные, разделимые и Галуа расширения [ править ]

Алгебраическое расширение L / K называется нормальным , если каждый неприводимый многочлен в K [ X ] , который имеет корень в L полностью факторы в линейные множители над L . Каждое алгебраическое расширение F / K допускает нормальное замыкание L , которое является полем расширений F такое, что L / K является нормальным и минимальным с этим свойством.

Алгебраическое расширение L / K не называется разъемным , если минимальный многочлен каждого элемента L над K является разъемным , т.е., не имеет кратный корни в алгебраическом замыкании над K . Расширение Галуа - это расширение поля, которое является как нормальным, так и отделимым.

Следствие теоремы о примитивном элементе утверждает, что каждое конечное разделимое расширение имеет примитивный элемент (т.е. является простым).

Принимая во внимание любое расширение поля L / K , мы можем рассмотреть его группу автоморфизмов Aut ( L / K ), состоящее из всех полевых автоморфизмов а : L → L с альфа ( х ) = х для всех х в К . Когда расширение является расширением Галуа, эта группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения. Расширения, группа Галуа которых абелева , называются абелевыми расширениями .

Для данного расширения поля L / K часто интересуют промежуточные поля F (подполя L , содержащие K ). Значение расширений Галуа и групп Галуа заключается в том, что они позволяют полностью описать промежуточные поля: существует взаимно однозначное соответствие между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, описываемое основной теоремой теории Галуа .

Обобщения [ править ]

Расширения поля можно обобщить на расширения кольца, которые состоят из кольца и одного из его подкольцев . Более близким некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (CSA) - расширения кольца над полем, которые представляют собой простую алгебру (нет нетривиальных двусторонних идеалов, как и для поля), а центр кольца в точности равен поле. Например, единственным расширением конечного поля действительных чисел являются комплексные числа, тогда как кватернионы представляют собой центральную простую алгебру над действительными числами, а все CSA над действительными числами являются эквивалентами Брауэра действительным числам или кватернионам. CSA можно далее обобщить на алгебры Адзумая, где базовое поле заменено коммутативным локальным кольцом .

Расширение скаляров [ править ]

Учитывая расширение поля, можно « расширить скаляры » на ассоциированные алгебраические объекты. Например, учитывая реальное векторное пространство, можно получить комплексное векторное пространство с помощью комплексификации . Помимо векторных пространств, можно выполнить расширение скаляров для ассоциативных алгебр, определенных над полем, таких как полиномы или групповые алгебры и связанные представления групп . Расширение скаляров многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но также может рассматриваться более формально. Расширение скаляров имеет множество приложений, как описано в разделе Расширение скаляров: приложения .

См. Также [ править ]

Теория поля
Глоссарий теории поля
Башня полей
Первичное расширение
Обычное продление

Примечания [ править ]

^ Fraleigh (1976 , стр. 293)
^ Херстейн (1964 , стр. 167)
↑ Маккой (1968 , стр.116)
^ Fraleigh (1976 , стр. 298)
^ Херстейн (1964 , стр. 193)
^ Fraleigh (1976 , стр. 363)
^ Fraleigh (1976 , стр. 319)
^ Херстейн (1964 , стр. 169)

Ссылки [ править ]

Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, переработанное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68015225

Внешние ссылки [ править ]

"Расширение поля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Fraleigh (1976 , стр. 293)

[2] Херстейн (1964 , стр. 167)

[3] Маккой (1968 , стр.116)

[4] Fraleigh (1976 , стр. 298)

[5] Херстейн (1964 , стр. 193)

[6] Fraleigh (1976 , стр. 363)

[7] Fraleigh (1976 , стр. 319)

[8] Херстейн (1964 , стр. 169)

[1]