Диофантово уравнение

Нахождение всех прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон эквивалентно решению диофантова уравнения a ² + b ² = c ² .

В математике , А диофантов уравнение является полиномиальное уравнение , как правило , с участием двух или более неизвестных , например , что единственными решениями интерес представляют целые те (целое решение таково , что все неизвестные принимают целые значения). Линейное уравнение диофантов приравнивает к постоянной суммой двух или более мономами , каждый из степени один. Показательное уравнение диофантов является тот , в котором неизвестные могут появиться в показателях .

В диофантовых задачах меньше уравнений, чем неизвестных, и они включают поиск целых чисел, которые одновременно решают все уравнения. Поскольку такие системы уравнений определяют алгебраические кривые , алгебраические поверхности или, в более общем смысле, алгебраические множества , их изучение является частью алгебраической геометрии, которая называется диофантовой геометрией .

Слово Диофантова относится к эллинистической математике 3 - го века, Диофант из Александрии , который сделал исследование таких уравнений и был одним из первых математиков ввести символизм в алгебру . Математическое исследование диофантовых проблем, начатое Диофантом, теперь называется диофантовым анализом .

В то время как отдельные уравнения представляют собой своего рода загадку и рассматривались на протяжении всей истории, формулировка общих теорий диофантовых уравнений (за исключением линейных и квадратных уравнений) была достижением двадцатого века.

Примеры [ править ]

В следующих диофантовых уравнениях w , x , y и z - неизвестные, а другим буквам даны константы:

Линейные диофантовы уравнения [ править ]

Одно уравнение [ править ]

Простейшее линейное диофантово уравнение имеет вид ax + by = c , где a , b и c заданы целыми числами. Решения описываются следующей теоремой:

Это уравнение диофантов имеет решение (где х и у представляют собой целые числа) , если и только если с является кратным наибольший общий делитель из и б . Более того, если ( x , y ) - решение, то остальные решения имеют вид ( x + kv , y - ku ) , где k - произвольное целое число, а u и v - частные от a и b (соответственно) на наибольший общий делитель a и b .

Доказательство: если d - этот наибольший общий делитель, тождество Безу утверждает существование целых чисел e и f таких, что ae + bf = d . Если c кратно d , то c = dh для некоторого целого h и ( eh , fh ) является решением. С другой стороны, для каждой пары целых чисел х и у , наибольший общий делитель д из и бделит ax + на . Таким образом, если уравнение имеет решение, то c должно быть кратно d . Если a = ud и b = vd , то для любого решения ( x , y ) имеем

a ( x + kv ) + b ( y - ku ) = ax + by + k ( av - bu ) = ax + by + k ( udv - vdu ) = ax + by ,

показывая, что ( x + kv , y - ku ) - другое решение. Наконец, имея два решения, такие что ax ₁ + by ₁ = ax ₂ + by ₂ = c , можно сделать вывод, что u ( x ₂ - x ₁ ) + v ( y ₂ - y ₁ ) = 0 . Как у и v является взаимно простым , лемма Евклидапоказывает, что v делит x ₂ - x ₁ , и, следовательно, существует целое число k такое, что x ₂ - x ₁ = kv и y ₂ - y ₁ = - ku . Следовательно, x ₂ = x ₁ + kv и y ₂ = y ₁ - ku , что завершает доказательство.

Китайская теорема об остатках [ править ]

Китайская теорема об остатках описывает важный класс линейных диофантовых систем уравнений: пусть п ₁ , ..., п _к быть к попарно взаимно простые целые числа больше единицы, ₁ , ..., _к быть K произвольные целые числа, а N произведение п ₁ ··· n _k . Китайская теорема об остатках утверждает, что следующая линейная диофантова система имеет ровно одно решение ( x , x ₁ , ..., x _k ) такое, что0 ≤ x < N , и что другие решения получаются добавлением к x числа, кратного N :

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = a_ {1} + n_ {1} \, x_ {1} \\ & \ vdots \\ x & = a_ {k} + n_ {k} \, x_ {k} \ конец {выровнено}}}$

Система линейных диофантовых уравнений [ править ]

В более общем смысле, каждая система линейных диофантовых уравнений может быть решена путем вычисления нормальной формы Смита ее матрицы способом, аналогичным использованию сокращенной формы эшелона строк для решения системы линейных уравнений над полем. Используя матричные обозначения, можно записать любую систему линейных диофантовых уравнений

А  Х = С ,

где A - матрица целых чисел размера m × n , X - матрица столбцов размера n × 1 неизвестных, а C - матрица столбцов размера m × 1 целых чисел.

Вычисление нормальной формы Смита матрицы A дает две унимодулярные матрицы (то есть матрицы, обратимые по целым числам и имеющие ± 1 в качестве определителя) U и V соответствующих размеров m × m и n × n , так что матрица

B = [ b _{i , j} ] = БПЛА

таков, что b _{i , i} не равен нулю, если i не больше некоторого целого числа k , а все остальные элементы равны нулю. Таким образом, решаемая система может быть переписана как

B  ( V ⁻¹ X ) = UC .

Называя y _i элементами V ⁻¹ X и d _i элементами D = UC , это приводит к системе

b _{i , i}  y _i = d _i для 1 ≤ i ≤ k ,

0  y _i = d _i для k < i ≤ n .

Эта система эквивалентна данной, в следующем смысле: столбец матрица целых чисел х является решением данной системы тогда и только тогда , когда х = Vy для некоторого столбца матрицы целых чисел у таких , что По = D .

Отсюда следует, что система имеет решение тогда и только тогда, когда b _{i , i} делит d _i для i ≤ k и d _i = 0 для i > k . При выполнении этого условия решения данной системы имеют вид

${\ Displaystyle V \, \ left [{\ begin {array} {c} {\ frac {d_ {1}} {b_ {1,1}}} \\\ vdots \\ {\ frac {d_ {k}} } {b_ {k, k}}} \\ h_ {k + 1} \\\ vdots \\ h_ {n} \ end {array}} \ right] \ ,,}$

где h _{k +1} , ..., h _n - произвольные целые числа.

Нормальная форма Эрмита может также использоваться для решения систем линейных диофантовых уравнений. Однако нормальная форма Эрмита напрямую не дает решения; чтобы получить решения из нормальной формы Эрмита, необходимо последовательно решить несколько линейных уравнений. Тем не менее, Ричард Зиппель писал, что нормальная форма Смита «несколько больше, чем фактически требуется для решения линейных диофантовых уравнений. Вместо того, чтобы приводить уравнение к диагональной форме, нам нужно только сделать его треугольным, что называется нормальной формой Эрмита. Нормальную форму Эрмита вычислить значительно проще, чем нормальную форму Смита ». ^[5]

Целочисленное линейное программирование сводится к нахождению некоторых целочисленных решений (оптимальных в некотором смысле) линейных систем, которые также включают неравенства . Таким образом, системы линейных диофантовых уравнений являются базовыми в этом контексте, а учебники по целочисленному программированию обычно имеют трактовку систем линейных диофантовых уравнений. ^[6]

Однородные уравнения [ править ]

Однородное диофантово уравнение - это диофантово уравнение, которое определяется однородным полиномом . Типичным таким уравнением является уравнение Великой теоремы Ферма

${\ displaystyle x ^ {d} + y ^ {d} -z ^ {d} = 0.}$

Поскольку однородный многочлен от n неопределенных определяет гиперповерхность в проективном пространстве размерности n - 1 , решение однородного диофантова уравнения аналогично поиску рациональных точек проективной гиперповерхности.

Решение однородного уравнения диофантова , как правило , очень трудная задачей, даже в простейшем нетривиальном случае трех неизвестных (в случае двух неизвестных задачи эквивалентно с испытывать , если рациональное число представляет собой D - й степень другого рационального числа) . Свидетельством сложности проблемы является Великая теорема Ферма (при d > 2 нет целочисленного решения вышеуказанного уравнения), для решения которой потребовалось более трех столетий усилий математиков.

Для степеней выше трех наиболее известными результатами являются теоремы, утверждающие, что решений нет (например, Великая теорема Ферма) или что число решений конечно (например , теорема Фальтинга ).

Для третьей степени существуют общие методы решения, которые работают почти со всеми уравнениями, встречающимися на практике, но не известен алгоритм, который работал бы для каждого кубического уравнения. ^{[ необходима цитата ]}

Вторая степень [ править ]

Однородные диофантовы уравнения второй степени решить проще. Стандартный метод решения состоит из двух шагов. Сначала нужно найти одно решение или доказать, что решения нет. Когда решение найдено, выводятся все решения.

Для доказательства отсутствия решения уравнение можно сократить по модулю p . Например, диофантово уравнение

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 3z ^ {2},}$

не имеет другого решения, кроме тривиального решения (0, 0, 0) . Фактически, разделив x , y и z на их наибольший общий делитель , можно предположить, что они взаимно просты . Квадраты по модулю 4 сравнимы с 0 и 1. Таким образом, левая часть уравнения конгруэнтна 0, 1 или 2, а правая часть конгруэнтна 0 или 3. Таким образом, равенство может быть получено только если x , y и z четны и, следовательно, не взаимно просты. Таким образом, единственное решение - это тривиальное решение (0, 0, 0) . Это показывает, что на окружности нет рациональной точки.радиуса с центром в начале координат.${\ displaystyle {\ sqrt {3}},}$

В более общем смысле принцип Хассе позволяет решить, имеет ли однородное диофантово уравнение второй степени целочисленное решение, и вычислить решение, если оно существует.

Если известно нетривиальное целочисленное решение, все остальные решения можно получить следующим образом.

Геометрическая интерпретация [ править ]

Позволять

${\ Displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}$

- однородное диофантово уравнение, где - квадратичная форма (то есть однородный многочлен степени 2) с целыми коэффициентами. Тривиальное решение является решение , в котором все равны нулю. Если не является целым числом тривиального решения этого уравнения, то являются однородными координатами из более рациональной точки гиперповерхности , определяемой Q . Наоборот, если - однородные координаты рациональной точки этой гиперповерхности, где - целые числа, то является целочисленным решением диофантова уравнения. Более того, все целочисленные решения, определяющие данную рациональную точку, представляют собой последовательности вида ${\ Displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle (а_ {1}, \ ldots, а_ {п})}$${\ displaystyle \ left (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ right)}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {p_ {1}} {q}}, \ ldots, {\ frac {p_ {n}} {q}} \ right)}$${\ displaystyle q, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle \ left (p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ right)}$

${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),}$

где k - любое целое число, а d - наибольший общий делитель числа${\displaystyle p_{1}.}$

Отсюда следует, что решение диофантова уравнения полностью сводится к нахождению рациональных точек соответствующей проективной гиперповерхности.${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Параметризация [ править ]

Пусть теперь будет целочисленным решением уравнения Поскольку Q - многочлен степени два, прямая, проходящая через точку A, пересекает гиперповерхность в одной другой точке, что является рациональным тогда и только тогда, когда прямая рациональна (то есть, если прямая определяется рациональными параметрами). Это позволяет параметризовать гиперповерхность прямыми, проходящими через A , а рациональные точки - это те, которые получаются из рациональных линий, то есть те, которые соответствуют рациональным значениям параметров.${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$

Точнее, можно поступить следующим образом.

Переставляя индексы, можно без ограничения общности предположить, что Тогда можно перейти к аффинному случаю, рассматривая аффинную гиперповерхность, определяемую формулой ${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),}$

который имеет рациональную точку

${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).}$

Если эта рациональная точка является особой точкой , то есть если все частные производные равны нулю в R , все прямые, проходящие через R , содержатся в гиперповерхности, а одна имеет конус . Замена переменных

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$

не меняет рациональных точек и преобразует q в однородный многочлен от n - 1 переменных. В этом случае проблема может быть решена путем применения метода к уравнению с меньшим количеством переменных.

Если многочлен q является произведением линейных многочленов (возможно, с нерациональными коэффициентами), то он определяет две гиперплоскости . Пересечение этих гиперплоскостей является рациональной плоскостью и содержит рациональные особые точки. Таким образом, этот случай является частным случаем предыдущего.

В общем случае рассмотрим параметрическое уравнение прямой, проходящей через R :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\\vdots &\\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}$

Подставляя это в q , мы получаем многочлен второй степени от нуля, поскольку он делится на . Частное линейно по и может быть решено для выражения в виде частного двух многочленов степени не выше двух с целыми коэффициентами:${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{1}=r_{1}.}$${\displaystyle x_{1}-r_{1},}$${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.}$

Подставляя это в выражения для, получаем для i = 1, ..., n - 1 ,${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},}$

где - многочлены степени не выше двух с целыми коэффициентами.${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

Затем можно вернуться к однородному случаю. Пусть для i = 1, ..., n ,

${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),}$

быть гомогенизацией из квадратичных полиномов с целыми коэффициентами образуют параметризацию проективной гиперповерхности , определяемой Q :${\displaystyle f_{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\\vdots &\\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$

Точка проективной гиперповерхности, определяемая Q, является рациональной тогда и только тогда, когда она может быть получена из рациональных значений As, являющихся однородными многочленами, точка не меняется, если все они умножаются на одно и то же рациональное число. Таким образом, можно предположить, что это взаимно простые целые числа . Отсюда следует , что целые решения уравнения диофантового в точности последовательности , где, я = 1, ..., п ,${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$

где k - целое число, - взаимно простые целые числа, а d - наибольший общий делитель n целых чисел.${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$

Можно было надеяться, что из примитивности можно было бы заключить , что d = 1 . К сожалению, это не так, как показано в следующем разделе.${\displaystyle t_{i}}$

Пример троек Пифагора [ править ]

Уравнение

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

вероятно, первое изученное однородное диофантово уравнение степени два. Его решения - пифагоровы тройки . Это тоже однородное уравнение единичной окружности . В этом разделе мы покажем, как указанный выше метод позволяет получить формулу Евклида для создания пифагоровых троек.

Чтобы получить точную формулу Евклида, мы начнем с решения (-1, 0, 1) , соответствующего точке (-1, 0) единичной окружности. Линия, проходящая через эту точку, может быть параметризована своим наклоном:

${\displaystyle y=t(x+1).}$

Помещая это в уравнение круга

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$

один получает

${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

Деление на x + 1 дает

${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

который легко решить в x :

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

Следует

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Гомогенизируя, как описано выше, все решения получают как

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$

где k - любое целое число, s и t - взаимно простые целые числа, а d - наибольший общий делитель трех числителей. Фактически, d = 2, если s и t оба нечетные, и d = 1, если один нечетный, а другой четный.

Эти примитивные тройки являются решением , где к = 1 и s > т > 0 .

Это описание решений немного отличается от формулы Евклида, потому что формула Евклида рассматривает только такие решения, что x , y и z все положительны, и не делает различий между двумя тройками, которые отличаются заменой x и y ,

Диофантов анализ [ править ]

Типичные вопросы [ править ]

Вопросы, задаваемые при диофантовом анализе, включают:

1. Есть какие-нибудь решения?
2. Есть ли какие-либо решения помимо тех, которые легко найти при осмотре ?
3. Конечно или бесконечно много решений?
4. Можно ли теоретически найти все решения?
5. Можно ли на практике вычислить полный список решений?

Эти традиционные проблемы часто оставались нерешенными на протяжении веков, и математики постепенно приходили к пониманию их глубины (в некоторых случаях), вместо того чтобы рассматривать их как головоломки.

Типичная проблема [ править ]

Приведенная информация состоит в том, что возраст отца на 1 меньше возраста его сына, и что цифры AB, составляющие возраст отца, перевернуты в возрасте сына (т. Е. BA ). Это приводит к уравнению 10 A + B = 2 (10 B + A ) - 1 , таким образом, 19 B - 8 A = 1 . Инспекция дает результат A = 7 , B = 3 , таким образом, AB равен 73 годам, а BA равен 37 годам. Легко показать, что другого решения с A и B не существует. целые положительные числа меньше 10.

Многие известные головоломки в области развлекательной математики приводят к диофантовым уравнениям. Примеры включают в себя проблемы Cannonball , проблемы крупного рогатого скота Архимеда и обезьяна и кокосы .

17 и 18 века [ править ]

В 1637 году Пьер де Ферма нацарапал на полях своего экземпляра « Арифметики» : «Невозможно разделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертых степени, или вообще любую степень выше второй, на две одинаковые. полномочия ". Говоря более современным языком: «Уравнение a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ не имеет решений для любого n выше 2». После этого он написал: «Я обнаружил поистине изумительное доказательство этого утверждения, которое на этом поле слишком мало, чтобы вместить его». Однако такое доказательство ускользало от математиков на протяжении веков, и как таковое его утверждение стало известно как Великая теорема Ферма.. Только в 1995 году это было доказано британским математиком Эндрю Уайлсом .

В 1657 году Ферма попытался решить диофантово уравнение 61 x ² + 1 = y ² (решенное Брахмагуптой более 1000 лет назад). Уравнение в конечном итоге было решено Эйлером в начале 18 века, который также решил ряд других диофантовых уравнений. Наименьшее решение этого уравнения в натуральных числах: x = 226153980 , y = 1766319049 (см. Метод Чакравалы ).

Десятая проблема Гильберта [ править ]

В 1900 году Давид Гильберт предложил разрешимость всех диофантовых уравнений как десятую из своих фундаментальных проблем . В 1970 году Юрий Матиясевич решил это отрицательно, опираясь на работы Джулии Робинсон , Мартина Дэвиса и Хилари Патнэм, чтобы доказать, что общий алгоритм для решения всех диофантовых уравнений не может существовать .

Диофантова геометрия [ править ]

В результате продолжала развиваться диофантова геометрия , которая представляет собой применение методов алгебраической геометрии в этой области; Поскольку рассмотрение произвольных уравнений - это тупик, внимание обращается на уравнения, которые также имеют геометрический смысл. Центральная идея диофантовой геометрии - это идея рациональной точки , а именно решения полиномиального уравнения или системы полиномиальных уравнений , которая является вектором в заданном поле K , когда K не является алгебраически замкнутым .

Современные исследования [ править ]

Один из немногих общих подходов основан на принципе Хассе . Бесконечный спуск - это традиционный метод, который получил большое распространение.

Глубина изучения общих диофантовых уравнений демонстрируется описанием диофантовых множеств как рекурсивно перечислимых . Другими словами, общая проблема диофантова анализа благословлена ​​или проклята универсальностью, и в любом случае это не что-то, что можно решить, кроме как переформулировать ее в других терминах.

Область диофантова приближения занимается случаями диофантовых неравенств . Здесь переменные по-прежнему должны быть целыми, но некоторые коэффициенты могут быть иррациональными числами, а знак равенства заменен верхней и нижней границами.

Самый знаменитый вопрос в этой области, гипотеза известна как Великая теорема Ферма был решен Эндрю Уайлс , ^[3] с использованием инструментов из алгебраической геометрии , разработанной в течение прошлого века , а не в теории чисел , где гипотеза была первоначально сформулирована. Другие важные результаты, такие как теорема Фалтингса , опровергли старые предположения.

Бесконечные диофантовы уравнения [ править ]

Пример бесконечного диофантова уравнения:

n = a ² + 2 b ² + 3 c ² + 4 d ² + 5 e ² +… ,

что может быть выражено как «Сколько способов можно записать данное целое число n как сумму квадрата плюс два квадрата плюс три квадрата и так далее?» Количество способов сделать это для каждого n образует целочисленную последовательность. Бесконечные диофантовы уравнения связаны с тета-функциями и бесконечномерными решетками. Это уравнение всегда имеет решение для любого положительного n . Сравните это с:

n = a ² + 4 b ² + 9 c ² + 16 d ² + 25 e ² +… ,

который не всегда имеет решение для положительного n .

Экспоненциальные диофантовы уравнения [ править ]

Если диофантово уравнение имеет дополнительную переменную или переменные, являющиеся показателями степени , это экспоненциальное диофантово уравнение. Примеры включают в себя уравнение рамануджанов Нагель , 2 ^п - 7 = х ² , и уравнение гипотезы Фермы-каталонской и гипотезу бил , а ^т + б ^п = гр ^K с ограничениями неравенства на показателях. Общая теория для таких уравнений отсутствует; частные случаи, такие как гипотеза Каталана, были рассмотрены. Однако большинство из них решаются специальными методами, такими какТеорема Стёрмера или даже метод проб и ошибок .

См. Также [ править ]

• Kuaka , алгоритм Арьябхаты для решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Морделл, LJ (1969). Диофантовы уравнения . Чистая и прикладная математика. 30 . Академическая пресса . ISBN 0-12-506250-8. Zbl  0188.34503 .
• Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. 1467 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020 .
• Шори, штат Теннесси; Тийдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения . Кембриджские трактаты по математике. 87 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-26826-5. Zbl  0606.10011 .
• Смарт, Найджел П. (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений . Тексты студентов Лондонского математического общества. 41 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-64156-X. Zbl  0907.11001 .
• Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (Второе изд.). ISBN Springer Science + Business Media Inc. 0-387-95336-1.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Башмакова, Изабелла Г. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), стр. 289-306.
• Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения . М .: Наука, 1972. Немецкий перевод: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel / Stuttgart, 1974. Английский перевод: Диофант и диофантовы уравнения . Переведено Эйбом Шеницером при поддержке редакции Харди Гранта и обновлено Джозефом Сильверманом. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. 1997 г.
• Башмакова, Изабелла Г. « Арифметика алгебраических кривых от Диофанта до Пуанкаре » Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
• Башмакова, Изабелла Г., Славутин, Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма . М .: Наука, 1984.
• Башмакова, Изабелла Г. «Диофантовы уравнения и эволюция алгебры», Переводы Американского математического общества, 147 (2), 1990, стр. 85–100. Перевод А. Шеницера и Х. Гранта.
• Диксон, Леонард Юджин (2005) [1920]. История теории чисел . Том II: Диофантов анализ . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44233-4. Руководство по ремонту  0245500 . Zbl  1214.11002 .
• Рашед, Рошди, Хузель, Кристиан. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture Historique et Mathématique , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, 2013.
• Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.

Внешние ссылки [ править ]

• Диофантово уравнение . Из MathWorld в Wolfram Research .
• «Диофантовы уравнения» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-калькулятор Дарио Альперна . Проверено 18 марта 2009 г.