Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Об общем см. Диофант (общий) . Для софистов см. Диофант Араб .
Титульный лист оригинального издания 1621 года латинского перевода « Арифметики Диофанта» Клода Гаспара Баше де Мезириака .

Диофант Александрийский ( древнегреческий : Διόφαντος ὁ λεξανδρεύς ; родился, вероятно, где-то между 200 и 214 г. н.э .; умер примерно в возрасте 84 лет, вероятно, где-то между 284 и 298 г. н.э.) был александрийским математиком, автором серии книг под названием Арифметика , многие из которых сейчас утеряны. Его тексты посвящены решению алгебраических уравнений . Читая " Арифметику Диофанта" Клода Гаспара Баше де Мезириака , Пьер де Фермапришел к выводу, что определенное уравнение, рассмотренное Диофантом, не имеет решений, и отметил на полях без пояснения, что он нашел «поистине чудесное доказательство этого предложения», теперь называемого Великой теоремой Ферма . Это привело к огромным успехам в теории чисел , а изучение диофантовых уравнений («диофантова геометрия») и диофантовых приближений остается важной областью математических исследований. Диофант ввел термин παρισότης (паризоты) для обозначения приблизительного равенства. [1] Этот термин был переведен как adaequalitas на латыни и стал техникой адекватности, разработанной Пьером де Ферма.найти максимумы функций и касательные к кривым. Диофант был первым греческим математиком, признавшим дроби числами; таким образом, он допускал положительные рациональные числа для коэффициентов и решений. В современном использовании диофантовы уравнения обычно представляют собой алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищутся целочисленные решения.

Биография [ править ]

Мало что известно о жизни Диофанта. Он жил в Александрии , Египет , во время римской эпохи , вероятно , от от 200 до н.э. и 214 до 284 или 298. Диофант различно был описан историками как ни греческой , [2] [3] [4] или , возможно , Hellenized египетским , [ 5] или Hellenized вавилонская , [6] Многие из этих идентификаций может проистекать от путаницы с 4-го века ритор Диофанта арабский . [7] Большая часть наших знаний о жизни Диофанта происходит от греков 5-го века.антология числовых игр и головоломок, созданная Metrodorus . Одна из проблем (иногда называемая его эпитафией) гласит:

«Здесь лежит Диофант», - вот чудо.
С помощью художественной алгебры камень сообщает, сколько ему лет:
'Бог дал ему отрочество одну шестую его жизни,
Еще одна двенадцатая молодостью, когда усы стали обычными;
А потом началась еще одна седьмая до свадьбы;
Через пять лет у него родился прыгучий сын.
Увы, дорогое дитя мастера и мудреца
Пройдя половину жизни отца, его забрала судьба. В течение четырех лет утешая свою судьбу наукой о числах, он покончил с собой ».

Эта загадка подразумевает, что возраст Диофанта x может быть выражен как

х =Икс/6 + Икс/12 + Икс/7 + 5 + Икс/2 + 4

что дает x значение 84 года. Однако достоверность информации не может быть подтверждена независимо.

В популярной культуре эта головоломка называлась «Головоломка № 142 в« Профессоре Лейтоне »и« Ящик Пандоры » как одна из самых сложных головоломок в игре, которую нужно было разблокировать, сначала решив другие головоломки.

Арифметика [ править ]

См. Также: Арифметика

Арифметика - основная работа Диофанта и самая известная работа по алгебре в греческой математике. Это набор задач, дающих численные решения как определенных, так и неопределенных уравнений . Из первоначальных тринадцати книг, из которых « Арифметика» состояла только шесть, сохранились до наших дней, хотя есть некоторые, кто полагает, что четыре арабские книги, открытые в 1968 году, также принадлежат Диофанту. [8] Некоторые диофантовы задачи из Арифметики были найдены в арабских источниках.

Здесь следует отметить, что Диофант никогда не использовал общие методы в своих решениях. Герман Ганкель , известный немецкий математик, сделал следующее замечание относительно Диофанта.

«У нашего автора (Диофанта) нет ни малейшего следа общего, всеобъемлющего метода; Каждая проблема требует какого-то особого метода, который отказывается работать даже с самыми близкими проблемами. По этой причине современному ученому трудно решить 101-ю задачу даже после изучения 100 решений Диофанта ». [9]

История [ править ]

Как и многие другие греческие математические трактаты, Диофант был забыт в Западной Европе во время так называемых темных веков , поскольку изучение древнегреческого языка и грамотность в целом значительно снизились. Однако сохранившаяся часть греческой арифметики была, как и все древнегреческие тексты, переданной в ранний современный мир, скопирована средневековыми византийскими учеными и, таким образом, известна им. Учения о Диофанте византийского греческого ученого Иоанна Кортасменоса (1370–1437) сохранились вместе с исчерпывающим комментарием, написанным более ранним греческим ученым Максимосом Планудесом ( 1260–1305 ), который выпустил издание Диофанта в библиотеке монастыря Хора в византийскийКонстантинополь . [10] Кроме того, некоторая часть Арифметики, вероятно, сохранилась в арабской традиции (см. Выше). В 1463 году немецкий математик Региомонтан писал:

«Никто еще не перевел с греческого на латынь тринадцать книг Диофанта, в которых сокрыт самый цветок всей арифметики. . . . »

Арифметика была первым перевод с греческого на латынь по Бомбелл в 1570 году, но перевод не был опубликован. Однако Бомбелли позаимствовал многие задачи для своей книги « Алгебра» . В первое издание из Arithmetica была опубликована в 1575 году по Xylander . Самый известный латинский перевод Арифметики был сделан Бахе в 1621 году и стал первым широко доступным латинским изданием. Пьер де Ферма владел копией, изучал ее и делал пометки на полях.

Написание на полях Ферма и Хортасменос [ править ]

Проблема II.8 в Арифметике (издание 1670 г.), снабженная комментарием Ферма, который стал Великой теоремой Ферма .

1621 издание Arithmetica по Баше получил известность после того, как Пьер де Ферма написал свою знаменитую « Последняя теорема » на полях его копии:

«Если целое число n больше 2, тогда a n + b n = c n не имеет решений в ненулевых целых числах a , b и c . У меня есть поистине изумительное доказательство этого утверждения, которое слишком узкое поле, чтобы вместить его ».

Доказательства Ферма так и не были найдены, а проблема доказательства теоремы оставалась нерешенной веками. Доказательство было наконец найдено в 1994 году Эндрю Уайлсом после семи лет работы над ним. Считается, что у Ферма на самом деле не было доказательств, которые он утверждал. Хотя оригинал, в котором Ферма написал это, сегодня утерян, сын Ферма отредактировал следующее издание Диофанта, опубликованное в 1670 году. Несмотря на то, что в остальном текст уступает изданию 1621 года, примечания Ферма, включая «Великую теорему», были напечатаны. в этой версии.

Ферма был не первым математиком, который захотел написать Диофанту свои собственные заметки на полях; византийский ученый Иоанн Хортасменос (1370–1437) написал: «Твоя душа, Диофант, будь с сатаной из-за сложности других твоих теорем и особенно настоящей теоремы», рядом с той же проблемой. [10]

Другие работы [ править ]

Диофант написал несколько других книг, помимо « Арифметики» , но очень немногие из них сохранились.

В Porisms [ править ]

Сам Диофант ссылается [ необходима цитата ] на работу, которая состоит из собрания лемм под названием «Поризмы» (или « Поризма» ), но эта книга полностью утеряна.

Хотя «Поризмы» утеряны, мы знаем три содержащиеся в них леммы, поскольку Диофант ссылается на них в « Арифметике» . Одна лемма утверждает, что разность кубов двух рациональных чисел равна сумме кубов двух других рациональных чисел, т. Е. Для любых a и b , с a > b , существуют c и d , все положительные и рациональные, такой, что

а 3 - б 3 = с 3 + г 3 .

Многоугольные числа и геометрические элементы [ править ]

Известно также, что Диофант писал о многоугольных числах , что представляет большой интерес для Пифагора и пифагорейцев . Сохранились отрывки из книги, посвященной многоугольным числам. [11]

Книга под названием « Предварительные сведения о геометрических элементах » традиционно приписывается герою Александрии . Его недавно изучил Уилбур Норр , который предположил, что приписывание героя неверно и что истинным автором является Диофант. [12]

Влияние [ править ]

Работа Диофанта оказала большое влияние на историю. Издания «Арифметики» оказали глубокое влияние на развитие алгебры в Европе в конце шестнадцатого и через семнадцатый и восемнадцатый века. Диофант и его работы также повлияли на арабскую математику и пользовались большой известностью среди арабских математиков. Работа Диофанта заложила основу для работы по алгебре, и фактически большая часть продвинутой математики основана на алгебре. Насколько он повлиял на Индию, остается предметом споров.

Диофанта часто называют «отцом алгебры», потому что он внес большой вклад в теорию чисел, математическую нотацию и потому, что Арифметика содержит самое раннее известное использование синкопированной нотации [13].

Диофантов анализ [ править ]

Смотрите также: Диофантово уравнение

Сегодня диофантов анализ - это область исследований, в которой ищутся целочисленные (целочисленные) решения уравнений, а диофантовы уравнения - это полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищутся только целочисленные решения. Обычно довольно трудно сказать, разрешимо ли данное диофантово уравнение. Большинство задач в Арифметике приводят к квадратным уравнениям. Диофант рассмотрел 3 различных типа квадратных уравнений: ax 2 + bx = c , ax 2 = bx + c и ax 2 + c = bx.. Причина, по которой у Диофанта было три случая, в то время как сегодня у нас есть только один случай, заключается в том, что он не имел никакого представления о нуле и избегал отрицательных коэффициентов, считая данные числа a , b , c положительными в каждом из них. три случая выше. Диофанта всегда устраивало рациональное решение, и он не требовал целого числа, что означает, что он принимал дроби как решения своих проблем. Диофант считал отрицательные или иррациональные квадратные корни «бесполезными», «бессмысленными» и даже «абсурдными». Чтобы привести один конкретный пример, он называет уравнение 4 = 4 x + 20 «абсурдным», потому что оно приведет к отрицательному значению x.. Одно решение - это все, что он искал в квадратном уравнении. Нет никаких свидетельств того, что Диофант вообще понимал, что может быть два решения квадратного уравнения. Он также рассматривал одновременные квадратные уравнения.

Математические обозначения [ править ]

Диофант добился важных успехов в математической нотации, став первым известным человеком, использующим алгебраическую нотацию и символизм. До него все полностью выписывали уравнения. Диофант ввел алгебраический символизм, в котором использовались сокращенные обозначения для часто встречающихся операций и аббревиатуры для неизвестного и силы неизвестного. Историк-математик Курт Фогель утверждает: [14]

«Символизм, который Диофант впервые ввел и, несомненно, придумал сам, обеспечил краткое и легко понятное средство выражения уравнения ... Поскольку для слова« равный »также используется аббревиатура, Диофант сделал фундаментальный шаг от словесного алгебра к символической алгебре ».

Хотя Диофант сделал важные успехи в символизме, ему все еще не хватало необходимых обозначений для выражения более общих методов. Это привело к тому, что его работа была больше сосредоточена на конкретных проблемах, чем на общих ситуациях. Некоторые из ограничений нотации Диофанта заключаются в том, что он имел нотацию только для одного неизвестного, а когда проблемы затрагивали более одного неизвестного, Диофант был сведен к выражению слов «первое неизвестное», «второе неизвестное» и т. Д. Также ему не хватало символа для общего числа n . Где бы мы писали12 + 6 п/п 2 - 3, Диофант вынужден прибегать к построениям типа: «... шестикратное число, умноженное на двенадцать, которое делится на разность, на которую квадрат числа превышает три».

Алгебре предстояло пройти еще долгий путь, прежде чем можно было записать и лаконично решить самые общие задачи.

См. Также [ править ]

  • Граф Эрдеша – Диофантова
  • Диофант II.VIII
  • Полиномиальное диофантово уравнение

Примечания [ править ]

  1. ^ Кац, Михаил Г .; Шапс, Дэвид; Шнидер, Стив (2013), «Почти равные: метод адекватности от Диофанта до Ферма и далее», « Перспективы науки» , 21 (3): 283–324, arXiv : 1210.7750 , Bibcode : 2012arXiv1210.7750K , doi : 10.1162 / POSC_a_00101 , S2CID  57569974
  2. ^ Research Machines plc. (2004). Словарь научной биографии Хатчинсона . Абингдон, Оксон: Геликон Паблишинг. п. 312. Диофант (жил около 270–280 гг . Н. Э.) Греческий математик, который, решая линейные математические задачи, развил раннюю форму алгебры.
  3. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Возрождение и упадок греческой математики» . История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 178 . ISBN 0-471-54397-7. В начале этого периода, также известного как поздний александрийский век , мы находим ведущего греческого алгебраиста Диофанта Александрийского, а ближе к его концу появился последний значительный греческий геометр, Папп Александрийский.
  4. ^ Кук, Роджер (1997). «Природа математики» . История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. п. 7 . ISBN 0-471-18082-3. Некоторое расширение сферы использования символов произошло в трудах греческого математика III века Диофанта Александрийского, но присутствовал тот же недостаток, что и в случае аккадцев.
  5. ↑ Виктор Дж. Кац (1998). История математики: Введение , с. 184. Аддисон Уэсли, ISBN 0-321-01618-1 . 

    «Но что мы действительно хотим знать, так это в какой степени александрийские математики периода с первого по пятый века н.э. были греками. Конечно, все они писали по-гречески и были частью греческого интеллектуального сообщества Александрии. И большинство современные исследования делают вывод, что греческое сообщество сосуществовало [...] Так следует ли нам предполагать, что Птолемей и Диофант, Папп и Гипатиябыли ли этнически греками, что их предки когда-то прибыли из Греции, но оставались фактически изолированными от египтян? Конечно, однозначно ответить на этот вопрос невозможно. Но исследования папирусов, датируемых ранними веками нашей эры, показывают, что между греческими и египетскими общинами было значительное количество смешанных браков [...] И известно, что греческие брачные контракты все больше напоминают египетские. Кроме того, даже с момента основания Александрии небольшое количество египтян было допущено к привилегированным классам города для выполнения многочисленных гражданских ролей. Конечно, в таких случаях египтянам было необходимо «эллинизироваться», перенять греческие обычаи и греческий язык.Учитывая, что упомянутые здесь александрийские математики были активны через несколько сотен лет после основания города, может показаться, что они были этнически египтянами по крайней мере в равной степени, и они остались этническими греками. В любом случае неразумно изображать их с чисто европейскими чертами, когда не существует физического описания ».

  6. ^ DM Бертон (1991, 1995). История математики , Dubuque, IA (Wm.C. Brown Publishers).

    «Диофант, скорее всего, был эллинизированным вавилонянином».

  7. ^ Ад Мескенс, Путешествующая математика: Судьба арифметики Диофанта (Springer, 2010), стр. 48 п28.
  8. ^ J. Sesiano (1982). Книги с IV по VII Арифметики Диофанта в арабском переводе, приписываемые Кусте ибн Луке . Нью-Йорк / Гейдельберг / Берлин: Springer-Verlag. п. 502.
  9. ^ Ханкель Х., «Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter», Лейпциг, 1874 г. (переведено на английский Ульрихом Лирехтом в «Китайской математике в тринадцатом веке», Dover публикации, Нью-Йорк, 1973.
  10. ^ a b Херрин, Джудит (18 марта 2013 г.). Поля и метрополия: власть в Византийской империи . Издательство Принстонского университета. п. 322. ISBN. 978-1400845224.
  11. ^ "Биография Диофанта" . www-history.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 10 апреля 2018 года .
  12. ^ Knorr, Уилбер: Arithmêtike stoicheiôsis: На Диофант и Герон Александрийский в: Historia Matematica, НьюЙорк, 1993, vol.20, № 2, 180-192
  13. ↑ Карл Б. Бойер, История математики, второе издание (Wiley, 1991), стр. 228
  14. ↑ Курт Фогель, «Диофант Александрийский». в полном словаре научной биографии, Encyclopedia.com, 2008.

Ссылки [ править ]

  • Аллард, А. "Арифметические учения диофантии Александрии в Матрице Bibl.Nat.4678 et les Vatican Gr.191 и 304" Byzantion 53. Брюссель, 1983: 682-710.
  • Bachet de Méziriac, CG Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et De numeris multangulis liber un . Париж: Lutetiae, 1621.
  • Башмакова, Изабелла Г. Диофантос. Арифметика и книга многоугольных чисел. Вступление и комментарий перевод И. Н. Веселовского. Москва: Наука.
  • Christianidis, J. "Maxime Planude sur le sens du terme diophantien" Plasmatikon "", Historia Scientiarum , 6 (1996) 37-41.
  • Кристианидис, Дж. "Единая интерпретация византийского диофанта", Historia Mathematica , 25 (1998) 22-28.
  • Чвалина, Артур. Арифметика Диофанта из Александрии . Геттинген, 1952 г.
  • Хит, сэр Томас , Диофант Александрийский: исследование истории греческой алгебры , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1885, 1910.
  • Робинсон, округ Колумбия, и Люк Ходжкин. История математики , Королевский колледж Лондона , 2003.
  • Рашед, Рошди. L'Art de l'Algèbre de Diophante . éd. араб. Le Caire: Bibliothèque Nationale, 1975.
  • Рашед, Рошди. Diophante. Les Arithmétiques . Том III: Книга IV; Том IV: Книги V – VII, приложение, индекс. Коллекция Universités de France. Париж (Издательство «Les Belles Lettres»), 1984 год.
  • Сезиано, Жак. Арабский текст книг с IV по VII перевода и комментариев Диофанта . Тезис. Провиденс: Университет Брауна, 1975.
  • Сезиано, Жак. Книги с IV по VII «Арифметики Диофанта» в арабском переводе, приписываемые Кусне ибн Луке , Гейдельберг: Springer-Verlag, 1982. ISBN 0-387-90690-8 , DOI : 10.1007 / 978-1-4613-8174-7 . 
  • Σταμάτης, Ευάγγελος Σ. Διοφάντου Αριθμητικά. Η άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων. Αρχαίον κείμενον - μετάφρασις - επεξηγήσεις . Αθήναι, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων, 1963.
  • Кожевенный, PL Diophanti Alexandrini Opera omnia: cum Graecis commentariis , Lipsiae: In aedibus BG Teubneri, 1893-1895 (онлайн: т. 1 , т. 2 )
  • Ver Eecke, P. Diophante d'Alexandrie: Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones , Брюгге: Desclée, De Brouwer, 1921.
  • Вертхайм, Г. Die Arithmetik und die Schrift über Polygonalzahlen des Diophantus von Alexandria . Übersetzt und mit Anmerkungen von G. Wertheim. Лейпциг, 1890 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Башмакова, Изабелла Г. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), стр. 289-306.
  • Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения . М .: Наука, 1972. Немецкий перевод: Diophant und diophantische Gleichungen . Биркхаузер, Базель / Штутгарт, 1974. Английский перевод: Диофант и диофантовы уравнения . Переведено Эйбом Шеницером при поддержке редакции Харди Гранта и обновлено Джозефом Сильверманом. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. 1997 г.
  • Башмакова, Изабелла Г. «Арифметика алгебраических кривых от Диофанта до Пуанкаре», Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
  • Башмакова, Изабелла Г., Славутин, Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма . М .: Наука, 1984.
  • Хит, сэр Томас (1981). История греческой математики . 2 . Издательство Кембриджского университета: Кембридж.
  • Рашед, Рошди, Хузель, Кристиан. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture Historique et mathématique , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, 2013.
  • Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.
  • Фогель, Курт (1970). «Диофант Александрийский». Словарь научной биографии . 4 . Нью-Йорк: Скрибнер.

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с Диофантом, на Викискладе?
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Диофант" , MacTutor Архив истории математики , Университет Сент-Эндрюс.
  • Загадка Диофанта Эпитафия Диофанта Э. Вайсштейна
  • Норберт Шаппахер (2005). Диофант Александрийский: текст и его история .
  • Обзор Диофанта Сезиано Обзор Дж. Сезиано, Книги IV - VII Арифметики Диофанта, автор Ян П. Хогендийк
  • Латинский перевод 1575 года Вильгельма Ксиландера