Адекватность

Адекватность - это метод, разработанный Пьером де Ферма в его трактате Methodus ad disquirendam maximam et minimam ^[1] ( латинский трактат, распространенный во Франции около 1636 г.) для вычисления максимумов и минимумов функций, касательных к кривым, площади , центра масс , минимум действий и другие проблемы в исчислении . По словам Андре Вейля , Ферма «вводит технический термин adaequalitas, adaequare и т. Д., Который, по его словам, заимствован у Диофанта.. Как показывает Диофант V.11, это означает приблизительное равенство, и именно так Ферма объясняет это слово в одном из своих более поздних сочинений »(Weil 1973). ^[2] Диофант придумал слово παρισότης ( parisotēs ) для обозначения примерное равенство. ^[3] Баше де Мезириак переводится греческое слово Диофант в в латыни как adaequalitas . ^{[ править ]} Таннери «s французский перевод латинских трактатов Ферма на максимумах и минимумах использовали слова уравнивание и adégaler . ^{[ править ]}

Метод Ферма [ править ]

Ферма сначала использовал адекватность для нахождения максимумов функций, а затем адаптировал ее для нахождения касательных к кривым.

Чтобы найти максимум члена , Ферма приравнял (или, точнее, адекватно), и после выполнения алгебры он мог сократить множитель, а затем отбросить все оставшиеся члены, связанные с ним. Чтобы проиллюстрировать метод на собственном примере Ферма, рассмотрим проблему нахождения максимум (слова в Ферма, это разделить линию длины в точке , таким образом, что произведение двух полученных частей быть максимальным. ^[1] ) Ферма adequated с . То есть (с использованием обозначения адекватности, введенного Полом Таннери ):${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ Displaystyle р (х + е)}$${\ displaystyle e,}$${\ displaystyle e.}$${\ displaystyle p (x) = bx-x ^ {2}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle bx-x ^ {2}}$${\ displaystyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}}$${\ displaystyle \ backsim}$

${\displaystyle bx-x^{2}\backsim bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}.}$

Отмена условий и разделение Ферма пришли к${\displaystyle e}$

${\displaystyle b\backsim 2x+e.}$

Удаление членов, содержащих Ферма, привело к желаемому результату, когда максимум достигается при .${\displaystyle e}$${\displaystyle x=b/2}$

Ферма также использовал свой принцип, чтобы дать математический вывод законов преломления Снеллиуса непосредственно из принципа, согласно которому свет движется по кратчайшему пути. ^[4]

Критика Декарта [ править ]

Метод Ферма подвергся резкой критике со стороны его современников, особенно Декарта . Виктор Кац предполагает, что это связано с тем, что Декарт независимо открыл ту же новую математику, известную как его метод нормалей , и Декарт очень гордился своим открытием. Кац также отмечает, что, хотя методы Ферма были ближе к будущим достижениям в исчислении, методы Декарта оказали более непосредственное влияние на развитие. ^[5]

Научная полемика [ править ]

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: слишком много ненужной информации отображается с плохим форматированием. Помогите улучшить эту статью, если можете. ( Сентябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

И Ньютон, и Лейбниц относились к работе Ферма как к предшественнику исчисления бесконечно малых . Тем не менее, среди современных ученых есть разногласия относительно точного значения адекватности Ферма. Адекватность Ферма анализировалась в ряде научных исследований. В 1896 году Поль Таннери опубликовал французский перевод латинских трактатов Ферма о максимумах и минимумах (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp. 121–156). Таннери перевел термин Ферма как «adégaler» и принял «адеквацию» Ферма. Кожевник также ввел в математические формулы символ адекватности.${\displaystyle \backsim }$

Генрих Вилейтнер (1929) ^[6] писал:

Ферма заменяет A с A + E . Затем он устанавливает новое выражение примерно равное ( angenähert Gleich ) к старому, отменяет равные условия с обеих сторон, и делит максимально возможной мощности Е . Затем он отменяет все члены, содержащие E, и устанавливает те, которые остаются равными друг другу. Из того, что [искомая] А результаты. О том, что E должно быть как можно меньше, нигде не говорится и в лучшем случае выражается словом «adaequalitas».

(Вилейтнер использует этот символ .)${\displaystyle \scriptstyle \sim }$

Макс Миллер (1934) ^[7] писал:

В этой связи следует поставить оба члена, выражающие максимум и минимум, приблизительно равными ( näherungsweise gleich ), как говорит Диофант.

(Миллер использует этот символ .)${\displaystyle \scriptstyle \approx }$

Жан Итар (1948) ^[8] писал:

Известно, что выражение «adégaler» заимствовано Ферма от Диофанта, переведено Ксиландером и Баше. Речь идет о приблизительном равенстве ( égalité приблизительно ) ".

(Итард использует этот символ .)${\displaystyle \scriptstyle \backsim }$

Йозеф Эренфрид Хофманн (1963) ^[9] писал:

Ферма выбирает величину h , которая считается достаточно малой, и полагает f ( x  +  h ) примерно равным ( ungefähr gleich ) f ( x ). Его технический термин - adaequare .

(Хофманн использует этот символ .)${\displaystyle \scriptstyle \approx }$

Пер Стрёмхольм (1968) ^[10] писал:

Основой подхода Ферма было сравнение двух выражений, которые, хотя и имели одинаковую форму, не были в точности равными . Эту часть процесса он назвал « compare par adaequalitatem » или « comparer per adaequalitatem », и это подразумевало, что в остальном строгая идентичность между двумя сторонами «уравнения» была разрушена изменением переменной на небольшую величину:

${\displaystyle \scriptstyle f(A){\sim }f(A+E)}$.

В этом, как я полагаю, было реальное значение его использования πἀρισον Диофанта, подчеркивая малость вариации. Обычный перевод «adaequalitas» , как представляется, « приближенное равенство », но я предпочитаю « псевдо-равенство » к мысли нынешнего Ферма в этой точке.

Он также отмечает, что «в M1 (метод 1) никогда не стоял вопрос о том, чтобы вариация E была равна нулю. Слова, которые Ферма использовал для выражения процесса подавления терминов, содержащих E, были« elido »,« deleo »и« expungo ', а по-французски' i'efface 'и' i'ôte '. Трудно поверить, что здравомыслящий человек, желающий выразить свое значение и ищущий слова, постоянно наталкивался на такие извилистые способы передачи того простого факта, что термины исчезли, потому что E было равно нулю (стр. 51)

Клаус Дженсен (1969) ^[11] писал:

Более того, применяя понятие adégalité, которое составляет основу общего метода Ферма построения касательных и под которым понимается сравнение двух величин, как если бы они были равны, хотя на самом деле это не так ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint ") Я буду использовать более распространенный в настоящее время символ .${\displaystyle \scriptstyle \approx }$

Цитата на латинском языке взята из «Ферма», изданного Таннери 1891 года, том 1, страница 140.

Майкл Шон Махони (1971) ^[12] писал:

Метод максимумов и минимумов Ферма, который явно применим к любому многочлену 'P (x) , изначально базировался на чисто финитистских алгебраических основах. Он предположил, напротив , неравенство двух равных корней, чтобы определить, согласно теории уравнений Вите, связь между этими корнями и одним из коэффициентов многочлена, отношение, которое было полностью общим. Это соотношение затем привело к решению с экстремальной ценностью, когда Ферма удалил свое контрфактическое предположение и установил одинаковые корни. Заимствуя термин у Диофанта, Ферма назвал это контрфактическое равенство «адекватностью».

(Махони использует символ .) На стр. 164, конец сноски 46, Махони отмечает, что одним из значений адекватности является${\displaystyle \scriptstyle \approx }$ приблизительное равенство или равенство в предельном случае .

Чарльз Генри Эдвардс младший (1979) ^[13] писал:

Например, чтобы определить, как разделить отрезок длины на два отрезка и произведение которого является максимальным, то есть найти прямоугольник с периметром максимальной площади, он [Ферма] поступает следующим образом. Сначала он заменил${\displaystyle \scriptstyle b}$${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle b-x}$${\displaystyle \scriptstyle x(b-x)=bx-x^{2}}$${\displaystyle \scriptstyle 2b}$${\displaystyle \scriptstyle x+e}$

(он использовал A , E вместо x , e ) для неизвестного x , а затем записал следующее «псевдоравенство», чтобы сравнить полученное выражение с исходным:

${\displaystyle \scriptstyle b(x+e)-(x+e)^{2}=bx+be-x^{2}-2xe-e^{2}\;\sim \;bx-x^{2}.}$

Отменив члены, он разделил его на е, чтобы получить. Наконец, он отбросил оставшийся член, содержащий е , преобразовав псевдравенство в истинное равенство, которое дает значение x, которое делает максимальное. К сожалению, Ферма так и не объяснил логическую основу этого метода с достаточной ясностью или полнотой, чтобы предотвратить разногласия между историками относительно того, что именно он имел в виду или имел в виду ».${\displaystyle \scriptstyle b-2\,x-e\;\sim \;0.}$${\displaystyle \scriptstyle x={\frac {b}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle bx-x^{2}}$

Кирсти Андерсен (1980) ^[14] писала:

Два выражения максимума и минимума сделаны «адекватными» , что означает что-то вроде как можно более близкого к равенству .

(Андерсен использует этот символ .)${\displaystyle \scriptstyle \approx }$

Герберт Брегер (1994) ^[15] писал:

Я хочу выдвинуть свою гипотезу: Ферма использовал слово «adaequare» в смысле «поставить равным» ... В математическом контексте единственная разница между «aequare» и «adaequare», кажется, состоит в том, что последнее дает больше акцентировать внимание на том, что равенство достигается.

(Стр. 197f.)

Джон Стиллвелл (Stillwell 2006, p. 91) писал:

Ферма представил идею адекватности в 1630-х годах, но он опередил свое время. Его последователи не желали отказываться от удобства обычных уравнений, предпочитая использовать равенство нечетко, а не точно. Идея адекватности возродилась только в ХХ веке, в так называемом нестандартном анализе .

Энрико Джусти (2009) ^[16] цитирует письмо Ферма Марину Мерсенну, в котором Ферма писал:

Cette compareison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question "(" Это сравнение по адекватности дает два неравных условия, которые в конечном итоге приводят к равенству (по моему методу), которое дает нам решение проблемы ») ..

Джусти отмечает в сноске, что это письмо, похоже, ускользнуло от внимания Брегера.

Клаус Барнер (2011) ^[17] утверждает, что Ферма использует два разных латинских слова (aequabitur и adaequabitur), чтобы заменить обычный в настоящее время знак равенства, aequabitur, когда уравнение касается действительного тождества между двумя константами, универсально действующей (доказанной) формулы или условное уравнение, adaequabitur , однако, когда уравнение описывает связь между двумя переменными, которые не являются независимыми (и уравнение не является действительной формулой). На странице 36 Барнер пишет: «Почему Ферма постоянно повторял свою непоследовательную процедуру для всех своих примеров для метода касательных? Почему он никогда не упоминал секанс, которой он фактически оперировал? Я не знаю».

Кац, Шапс, Шнидер (2013) ^[18] утверждают, что применение Ферма техники к трансцендентным кривым, таким как циклоида, показывает, что метод адекватности Ферма выходит за рамки чисто алгебраического алгоритма, и что, вопреки интерпретации Брегера , технические термины равны оба слова, используемые Диофантом, и adaequalitas, используемые Ферма, означают «приблизительное равенство». Они развивают формализацию техники адекватности Ферма в современной математике в виде стандартной частичной функции, которая округляет конечное гиперреалистическое число до ближайшего действительного числа .

См. Также [ править ]

• Принцип Ферма
• Трансцендентный закон однородности

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Брегер, Х. (1994) "Тайны адаэквара: подтверждение Ферма", Архив истории точных наук 46 (3): 193–219.
• Эдвардс, CH мл. (1994), Историческое развитие исчисления , Springer
• Джусти, Э. (2009) "Максимальные и минимальные методы ферма", Ann. Фак. Sci. Toulouse Math. (6) 18, Fascicule Special, 59–85.
• Grabiner, Джудит В. (сентябрь 1983), "Изменение Концепция изменений: Производная от Ферма до Вейерштрасса" , Математика Magazine , 56 (4): 195-206, DOI : 10,2307 / 2689807 , JSTOR  2689807
• Кац В. (2008), История математики: Введение , Аддисон Уэсли
• Стиллвелл, Дж. (2006) Тоска по невозможному. Удивительные истины математики , стр. 91, AK Peters, Ltd. , Веллесли, Массачусетс.
• Вайль А. Рецензия на книгу: Математическая карьера Пьера де Ферма. Бык. Амер. Математика. Soc. 79 (1973), нет. 6, 1138–1149.