Принцип наименьшего действия

Классическая механика
Часть серии по
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Континуум Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистическая
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В этой статье обсуждается история принципа наименьшего действия. По поводу приложения, пожалуйста, обратитесь к действию (физика) .

Принцип наименьшего действия - или, точнее, принцип стационарного действия - это вариационный принцип , что, когда применяется к действию в виде механической системы, могут быть использованы для получения уравнения движения для этой системы. Его исторически называли «наименьшим», потому что для его решения необходимо найти путь движения в пространстве, который имеет наименьшее значение. ^[1]

Этот принцип может быть использован для вывода ньютоновских , лагранжевых и гамильтоновых уравнений движения и даже общей теории относительности (см. Действие Эйнштейна – Гильберта ). В теории относительности другое действие должно быть минимизировано или максимизировано.

Классическая механика и электромагнитные выражения являются следствием квантовой механики. Метод стационарного действия помог в развитии квантовой механики. ^[2] В 1933 году физик Поль Дирак продемонстрировал, как этот принцип может быть использован в квантовых вычислениях, выявив квантово-механическую основу принципа квантовой интерференции амплитуд. ^[3] Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо применили этот принцип в квантовой электродинамике. ^[4]^[5]

Принцип остается центральным в современной физике и математике , которые применяются в термодинамике , ^[6] механика жидкости , ^[7] теория относительности , квантовая механика , ^[8] физика элементарных частиц и теория струн ^[9] и является центром современного математическое исследование в теории Морса . Принцип Мопертюи и принцип Гамильтона иллюстрируют принцип стационарного действия.

Принципу действия предшествуют более ранние идеи в оптике . В Древней Греции , Евклид написал в своем Catoptrica , что, по пути света , отражаясь от зеркала, то угол падения равняется углу отражения . ^[10] Герой Александрии позже показал, что этот путь был кратчайшей длиной и минимальным временем. ^[11]

Ученые часто приписывают Пьеру Луи Мопертюи формулировку принципа наименьшего действия, поскольку он писал об этом в 1744 ^[12] и 1746 году. ^[13] Однако Леонард Эйлер обсуждал этот принцип в 1744 году ^[14], и данные показывают, что Готфрид Лейбниц предшествовал обоим. на 39 лет. ^[15]^[16]^[17]

Общее заявление [ править ]

По мере развития системы q отслеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие ( δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы ( δ q ). ^[18]

Отправной точкой является действие физической системы , обозначаемое (каллиграфически S). Это определяется как интеграл от лагранжиана L между двумя моментами времени T ₁ и T ₂ - технически функционал из N обобщенных координат д = ( д ₁ , д ₂ , ..., д _Н ) , которые являются функциями времени и определим конфигурацию системы: ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {q}: \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} ^ {N}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}, t_ {1}, t_ {2}] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q } (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t) dt}

где точка обозначает производную по времени , а t - время.

Математически принцип ^[19]^[20]

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = 0,}

где δ (строчная греческая дельта ) означает небольшое изменение. В словах это гласит: ^[18]

Путь, пройденный системой между моментами времени t ₁ и t ₂ и конфигурациями q ₁ и q _2, является тем, для которого действие является стационарным (без изменений) до первого порядка .

Стационарное действие не всегда является минимумом, несмотря на историческое название наименьшего действия. ^[21]^[1]^{: 19–6} Это принцип минимума для достаточно коротких конечных отрезков пути. ^[22]

В приложениях заявление и определение действия взяты вместе: ^[23]

{\ displaystyle \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) dt = 0.}

И действие, и лагранжиан содержат динамику системы на все времена. Термин «путь» просто относится к кривой, начерченной системой в терминах координат в конфигурационном пространстве , то есть кривой q ( t ), параметризованной временем (см. Также параметрическое уравнение для этой концепции).

Истоки, утверждения и противоречия [ править ]

Ферма [ править ]

В 1600-х годах Пьер де Ферма постулировал, что « свет проходит между двумя заданными точками по пути кратчайшего времени », что известно как принцип наименьшего времени или принцип Ферма . ^[20]

Мопертюи [ править ]

Кредит за формулировку принципа наименьшего действия обычно отдается Пьеру Луи Мопертюи , который считал, что «Природа бережлив во всех своих действиях», и широко применял этот принцип:

Законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности такие же, как и наблюдаемые в природе, мы можем восхищаться применением их ко всем явлениям. Движение животных, вегетативный рост растений ... это только его последствия; и зрелище вселенной становится настолько грандиознее, красивее и достойнее своего Автора, когда известно, что для всех движений достаточно небольшого числа законов, установленных самым мудрым образом.
- Пьер Луи Мопертюи ^[24]

Это понятие Мопертюи, хотя и несколько детерминированное сегодня, действительно отражает большую часть сути механики.

Применительно к физике Мопертюи предположил, что минимизируемая величина является произведением продолжительности (времени) движения внутри системы на « vis viva »,

Принцип Мопертюи

${\ displaystyle \ delta \ int 2T (t) dt = 0}$

который является интегралом удвоенной величины того, что мы теперь называем кинетической энергией T системы.

Эйлер [ править ]

Леонард Эйлер сформулировал принцип действия в 1744 году в очень узнаваемых терминах в Additamentum 2 к его Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes . Начиная со второго абзаца:

Пусть масса снаряда будет M , и пусть его скорость будет v, когда он перемещается на бесконечно малое расстояние ds . У тела будет импульс Mv, который, умноженный на расстояние ds , даст Mv ds , импульс тела, проинтегрированный по расстоянию ds . Теперь я утверждаю, что кривая, описанная таким образом телом, является кривой (среди всех других кривых, соединяющих те же конечные точки), которая минимизирует
${\ displaystyle \ int Mv \, ds}$
или, при условии, что M постоянно на пути,
${\ displaystyle M \ int v \, ds}$ .
- Леонард Эйлер ^[14]^[25]

Как утверждает Эйлер, ∫ Mv d s - это интеграл количества движения от пройденного расстояния, который в современных обозначениях равен сокращенному или сокращенному действию

Принцип Эйлера

${\ displaystyle \ delta \ int p \, dq = 0}$

Таким образом, Эйлер сделал эквивалентное и (по-видимому) независимое утверждение вариационного принципа в том же году, что и Мопертюи, хотя и несколько позже. Любопытно, что Эйлер не претендовал на приоритет, как показывает следующий эпизод.

Спорный приоритет [ править ]

Приоритет Мопертюи был оспорен в 1751 году математиком Сэмюэлем Кенигом , который утверждал, что он был изобретен Готфридом Лейбницем в 1707 году. Хотя этот принцип похож на многие аргументы Лейбница, сам принцип не был задокументирован в трудах Лейбница. Сам Кениг показал копию письма 1707 года от Лейбница Якову Герману с принципом, но оригинал письма был утерян. В ходе судебного разбирательства Кениг был обвинен в подделке документов ^[15], и даже король Пруссии вступил в дебаты, защищая Мопертюи (главу его Академии), в то время как Вольтер защищал Кенига. ^{[ необходима цитата ]}

Эйлер, вместо того чтобы претендовать на приоритет, был стойким защитником Мопертюи, и сам Эйлер привлек к ответственности Кенига за подделку документов перед Берлинской академией 13 апреля 1752 года. ^[15] Заявления о подделке документов были пересмотрены 150 лет спустя, а архивные работы CI Герхардт в 1898 году ^[16] и В. Кабиц в 1913 году ^[17] обнаружили другие копии письма, а также три других, цитируемых Кенигом, в архивах Бернулли .

Дальнейшее развитие [ править ]

Эйлер продолжал писать на эту тему; в своей книге «Réflexions sur quelques loix générales de la nature» (1748) он назвал количество «усилием». Его выражение соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией , так что его утверждение о наименьшем действии в статике эквивалентно принципу, согласно которому система тел в состоянии покоя примет конфигурацию, которая минимизирует общую потенциальную энергию.

Лагранж и Гамильтон [ править ]

Большая часть вариационного исчисления была сформулирована Жозефом-Луи Лагранжем в 1760 году ^[26]^[27], и он применил его к задачам динамики. В « Mécanique analytique» (1788 г.) Лагранж вывел общие уравнения движения механического тела. ^[28] Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 годах ^[29] применил вариационный принцип к классической функции Лагранжа.

{\ displaystyle L = TV}

получить уравнения Эйлера – Лагранжа в их нынешнем виде.

Якоби и Морс [ править ]

В 1842 году Карл Густав Якоби занялся проблемой, всегда ли вариационный принцип находит минимум в отличие от других стационарных точек (максимумов или стационарных седловых точек ); большая часть его работ была сосредоточена на геодезических на двумерных поверхностях. ^[30] Первые четкие общие утверждения были сделаны Марстоном Морсом в 1920-х и 1930-х годах ^{[31], что} привело к тому, что сейчас известно как теория Морса . Например, Морс показал, что количество сопряженных точек на траектории равно количеству отрицательных собственных значений во второй вариации лагранжиана.

Гаусс и Герц [ править ]

Были сформулированы другие экстремальные принципы классической механики , такие как принцип наименьшего принуждения Гаусса и его следствие принцип наименьшей кривизны Герца .

Споры о возможных телеологических аспектах [ править ]

Математическая эквивалентность дифференциальных уравнений движения и их интегрального аналога имеет важные философские последствия. Дифференциальные уравнения - это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или одном моменте времени. Например, второй закон Ньютона

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = м \ mathbf {а}}

утверждает, что мгновенная сила F, приложенная к массе m, вызывает ускорение a в тот же момент . Напротив, принцип действия не ограничен определенной точкой; скорее, он включает интегралы по интервалу времени и (для полей) по расширенной области пространства. Более того, в обычной формулировке классических принципов действия начальное и конечное состояния системы фиксированы, например,

Учитывая, что частица начинается в позиции x ₁ в момент времени t ₁ и заканчивается в позиции x ₂ в момент времени t ₂ , физическая траектория, которая соединяет эти две конечные точки, является экстремумом интеграла действия.

В частности, фиксация конечного состояния была интерпретирована как придающая принципу действия телеологический характер, который исторически был спорным. Однако, согласно В. Юрграу и С. Мандельштаму, телеологический подход ... предполагает, что сами вариационные принципы обладают математическими характеристиками, которыми они де-факто не обладают ^[32]. Кроме того, некоторые критики поддерживают эту очевидную телеологию.происходит из-за способа, которым был задан вопрос. Определяя некоторые, но не все аспекты как начальных, так и конечных условий (положения, но не скорости), мы делаем некоторые выводы о начальных условиях из конечных условий, и именно этот «обратный» вывод можно рассматривать как телеологическое объяснение. Телеологию также можно преодолеть, если рассматривать классическое описание как предельный случай квантового формализма интегрирования по путям, в котором стационарные траектории получаются в результате интерференции амплитуд по всем возможным траекториям. ^[1]

Рассказ « История твоей жизни » писателя-фантаста Теда Чанга содержит визуальные изображения Принципа Ферма, а также обсуждение его телеологического измерения. Книга Кита Девлина « Математический инстинкт» содержит главу «Элвис, валлийский корги, умеющий проводить вычисления», в которой обсуждаются вычисления, «встроенные» в некоторых животных, поскольку они решают проблему «наименьшего времени» в реальных ситуациях.

См. Также [ править ]

Экшен (физика)
Формулировка интеграла по траекториям
Квантовый принцип действия Швингера
Путь наименьшего сопротивления
Аналитическая механика
Вариационное исчисление
Гамильтонова механика
Лагранжева механика
бритва Оккама

Примечания и ссылки [ править ]

^ a b c Глава 19 Тома II, Фейнман Р. , Лейтон Р. и Сэндс М. Лекции Фейнмана по физике . 3 тома 1964, 1966. Карточка каталога Библиотеки Конгресса № 63-20717. ISBN 0-201-02115-3 (набор из трех томов в мягкой обложке 1970 г.); ISBN 0-201-50064-7 (памятный трехтомник в твердом переплете 1989 г.); ISBN 0-8053-9045-6 (окончательное издание 2006 г. (2-е издание); твердый переплет)
^ Ричард Фейнман , Характер физического закона .
^ Дирак, Поль AM (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 (1): 64–72.
^ Р. Фейнман, Квантовая механика и интегралы по траекториям, McGraw-Hill (1965), ISBN 0070206503
^ JS Schwinger, Квантовая кинематика и динамика, WA Benjamin (1970), ISBN 0738203033
↑ Гарсия-Моралес, Владимир; Пеллисер, Хулио; Мансанарес, Хосе А. (2008). «Термодинамика, основанная на принципе наименее сокращенного действия: производство энтропии в сети связанных осцилляторов». Летопись физики . 323 (8): 1844–58. arXiv : cond-mat / 0602186 . Bibcode : 2008AnPhy.323.1844G . DOI : 10.1016 / j.aop.2008.04.007 . S2CID 118464686 .
^ http://www.scholarpedia.org/article/Principle_of_least_action
^ Фейнман, Ричард Филлипс (1942). «Принцип наименьшего действия в квантовой механике». Bibcode : 1942PhDT ......... 5F . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^ «Принцип наименьшего действия - damtp» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 10.10.2015 . Проверено 18 июля 2016 .
^ Helzberger, Макс (1966). «Оптика от Евклида до Гюйгенса». Прикладная оптика . 5 (9): 1383–93. Bibcode : 1966ApOpt ... 5.1383H . DOI : 10,1364 / AO.5.001383 . PMID 20057555 . В катоптрике сформулирован закон отражения, а именно, что входящие и исходящие лучи образуют один и тот же угол с нормалью к поверхности ".
^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 167 -68. ISBN 0-19-501496-0.
^ PLM de Maupertuis, Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru несовместимого. (1744) Mém. В качестве. Sc. Париж р. 417. ( перевод на английский )
↑ PLM de Maupertuis, Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. Ac. Берлин, стр. 267. ( перевод на английский )
^ а б Леонард Эйлер, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. (1744) Буске, Лозанна и Женева. 320 страниц. Перепечатано в Леонхарди Эйлери Опера Омния: Серия I, том 24. (1952) К. Картеодори (редактор) Орелл Фуэссли, Цюрих. Отсканированная копия полного текста в архиве Эйлера , Дартмут.
^ a b c Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, « Берлинская академия и подделка », (2003), в архиве истории математики MacTutor .
^ a b Герхард CI. (1898) "Uber die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–427.
^ Б Kabitz W. (1913) "Убер в Гота сделайте aufgefundene Abschrift де фон С. Кёниг в seinem Streite мит Маупертуис унд дер Akademie veröffentlichten, Seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte дер Königlich Preussischen Akademie дер Wissenschaften , II , 632- 638.
^ а б Р. Пенроуз (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. п. 474. ISBN 978-0-679-77631-4.
^ Энциклопедия физики (второе издание), Р. Лернер,Л. Триггу, издателей СКЗ, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (СКЗ Inc.) 0-89573-752-3
^ a b Аналитическая механика, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ Гудман, Бернард (1993). «Действие» . В Паркер, SP (ред.). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 22. ISBN 0-07-051400-3.
^ Stehle, Филип М. (1993). «Принцип наименьшего действия» . В Паркер, SP (ред.). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 670. ISBN 0-07-051400-3.
^ Классическая механика, TWB Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (Великобритания), 1973, ISBN 0-07-084018-0
^ Крис Дэвис. Простая теория. Архивировано 15 июня 2006 г. в Wayback Machine (1998).
^ Эйлер, Additamentum II ( внешняя ссылка ), там же. ( Перевод на английский )
^ DJ Struik, изд. (1969). Справочник по математике, 1200–1800 . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 406–413
^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-501496-0. стр. 582-589
^ Лагранж, Жозеф-Луи (1788). Mécanique Analytique .п. 226
^ WR Гамильтон, "Об общем методе динамики", Философские труды Королевского общества, часть I (1834), стр.247-308 ; Часть II (1835 г.) стр. 95-144 . ( Из коллекции сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (1805–1865): Математические статьи под редакцией Дэвида Р. Уилкинса, Школа математики, Тринити-колледж, Дублин 2, Ирландия. (2000); также рассматривается как Об общем методе в динамике )
^ GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . А. Клебш (редактор) (1866 г.); Реймер; Берлин. 290 страниц, доступны в Интернете, uvres completeètes, том 8. Архивировано 22ноября2007 г. в Wayback Machine в Gallica-Math. Архивировано 23ноября2008 г. в Wayback Machine из Gallica Bibliothèque nationale de France .
^ Марстон Морс (1934). «Вариационное исчисление в целом», Публикация 18 коллоквиума Американского математического общества ; Нью-Йорк.
^ Stöltzner, Майкл (1994). «Принципы действия и телеология». В Х. Атманспахере; GJ Dalenoort (ред.). Внутри и снаружи . Серия Спрингера в синергетике. 63 . Берлин: Springer. С. 33–62. DOI : 10.1007 / 978-3-642-48647-0_3 . ISBN 978-3-642-48649-4.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Принципом наименьшего действия

Интерактивное объяснение принципа наименьшего действия
Интерактивный апплет для построения траекторий по принципу наименьшего действия
Георгиев, Георгий Йорданов (2012). «Количественная мера, механизм и аттрактор для самоорганизации в сетевых сложных системах». Самоорганизующиеся системы . Конспект лекций по информатике. 7166 . С. 90–5. DOI : 10.1007 / 978-3-642-28583-7_9 . ISBN 978-3-642-28582-0. S2CID 377417 .
Георгиев, Георгий; Георгиев, Искрен (2002). «Наименьшее действие и метрика организованной системы». Открытые системы и информационная динамика . 9 (4): 371–380. arXiv : 1004.3518 . DOI : 10.1023 / а: 1021858318296 . S2CID 43644348 .
Терехович, Владислав (2018). «Метафизика принципа наименьшего действия». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 62 : 189–201. arXiv : 1511.03429 . Bibcode : 2018SHPMP..62..189T . DOI : 10.1016 / j.shpsb.2017.09.004 . S2CID 85528641 .
Лекции Фейнмана по физике Vol. II гл. 19: Принцип наименьшего действия

[:0-1] Глава 19 Тома II, Фейнман Р. , Лейтон Р. и Сэндс М. Лекции Фейнмана по физике . 3 тома 1964, 1966. Карточка каталога Библиотеки Конгресса № 63-20717. ISBN 0-201-02115-3 (набор из трех томов в мягкой обложке 1970 г.); ISBN 0-201-50064-7 (памятный трехтомник в твердом переплете 1989 г.); ISBN 0-8053-9045-6 (окончательное издание 2006 г. (2-е издание); твердый переплет)

[2] Ричард Фейнман , Характер физического закона .

[3] Дирак, Поль AM (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 (1): 64–72.

[4] Р. Фейнман, Квантовая механика и интегралы по траекториям, McGraw-Hill (1965), ISBN 0070206503

[5] JS Schwinger, Квантовая кинематика и динамика, WA Benjamin (1970), ISBN 0738203033

[6] Гарсия-Моралес, Владимир; Пеллисер, Хулио; Мансанарес, Хосе А. (2008). «Термодинамика, основанная на принципе наименее сокращенного действия: производство энтропии в сети связанных осцилляторов». Летопись физики . 323 (8): 1844–58. arXiv : cond-mat / 0602186 . Bibcode : 2008AnPhy.323.1844G . DOI : 10.1016 / j.aop.2008.04.007 . S2CID 118464686 .

[7] ttp://www.scholarpedia.org/article/Principle_of_least_action

[8] Фейнман, Ричард Филлипс (1942). «Принцип наименьшего действия в квантовой механике». Bibcode : 1942PhDT ......... 5F . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[9] «Принцип наименьшего действия - damtp» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 10.10.2015 . Проверено 18 июля 2016 .

[10] Helzberger, Макс (1966). «Оптика от Евклида до Гюйгенса». Прикладная оптика . 5 (9): 1383–93. Bibcode : 1966ApOpt ... 5.1383H . DOI : 10,1364 / AO.5.001383 . PMID 20057555 . В катоптрике сформулирован закон отражения, а именно, что входящие и исходящие лучи образуют один и тот же угол с нормалью к поверхности ".

[11] Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 167 -68. ISBN 0-19-501496-0.

[mau44-12] PLM de Maupertuis, Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru несовместимого. (1744) Mém. В качестве. Sc. Париж р. 417. ( перевод на английский )

[mau46-13] PLM de Maupertuis, Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. Ac. Берлин, стр. 267. ( перевод на английский )

[eul44-14] а б Леонард Эйлер, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. (1744) Буске, Лозанна и Женева. 320 страниц. Перепечатано в Леонхарди Эйлери Опера Омния: Серия I, том 24. (1952) К. Картеодори (редактор) Орелл Фуэссли, Цюрих. Отсканированная копия полного текста в архиве Эйлера , Дартмут.

[oco03-15] Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, « Берлинская академия и подделка », (2003), в архиве истории математики MacTutor .

[ger98-16] Герхард CI. (1898) "Uber die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–427.

[kab13-17] Б Kabitz W. (1913) "Убер в Гота сделайте aufgefundene Abschrift де фон С. Кёниг в seinem Streite мит Маупертуис унд дер Akademie veröffentlichten, Seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte дер Königlich Preussischen Akademie дер Wissenschaften , II , 632- 638.

[penrose-18] а б Р. Пенроуз (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. п. 474. ISBN 978-0-679-77631-4.

[19] Энциклопедия физики (второе издание), Р. Лернер,Л. Триггу, издателей СКЗ, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (СКЗ Inc.) 0-89573-752-3

[Analytical_Mechanics_2008-20] Аналитическая механика, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[21] Гудман, Бернард (1993). «Действие» . В Паркер, SP (ред.). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 22. ISBN 0-07-051400-3.

[22] Stehle, Филип М. (1993). «Принцип наименьшего действия» . В Паркер, SP (ред.). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 670. ISBN 0-07-051400-3.

[23] Классическая механика, TWB Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (Великобритания), 1973, ISBN 0-07-084018-0

[24] Крис Дэвис. Простая теория. Архивировано 15 июня 2006 г. в Wayback Machine (1998).

[25] Эйлер, Additamentum II ( внешняя ссылка ), там же. ( Перевод на английский )

[26] DJ Struik, изд. (1969). Справочник по математике, 1200–1800 . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 406–413

[27] Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-501496-0. стр. 582-589

[28] Лагранж, Жозеф-Луи (1788). Mécanique Analytique .п. 226

[29] WR Гамильтон, "Об общем методе динамики", Философские труды Королевского общества, часть I (1834), стр.247-308 ; Часть II (1835 г.) стр. 95-144 . ( Из коллекции сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (1805–1865): Математические статьи под редакцией Дэвида Р. Уилкинса, Школа математики, Тринити-колледж, Дублин 2, Ирландия. (2000); также рассматривается как Об общем методе в динамике )

[30] GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . А. Клебш (редактор) (1866 г.); Реймер; Берлин. 290 страниц, доступны в Интернете, uvres completeètes, том 8. Архивировано 22ноября2007 г. в Wayback Machine в Gallica-Math. Архивировано 23ноября2008 г. в Wayback Machine из Gallica Bibliothèque nationale de France .

[31] Марстон Морс (1934). «Вариационное исчисление в целом», Публикация 18 коллоквиума Американского математического общества ; Нью-Йорк.

[Stöltzner1994-32] Stöltzner, Майкл (1994). «Принципы действия и телеология». В Х. Атманспахере; GJ Dalenoort (ред.). Внутри и снаружи . Серия Спрингера в синергетике. 63 . Берлин: Springer. С. 33–62. DOI : 10.1007 / 978-3-642-48647-0_3 . ISBN 978-3-642-48649-4.