Часть серии по |
Классическая механика |
---|
Демпфирование - это влияние внутри колебательной системы или на нее, которое имеет эффект уменьшения или предотвращения ее колебаний. В физических системах демпфирование создается процессами, которые рассеивают энергию, запасенную в колебаниях. [1] Примеры включают вязкое сопротивление в механических системах, сопротивление в электронных генераторах , а также поглощение и рассеяние света в оптических генераторах . Демпфирование, не основанное на потерях энергии, может быть важным в других колебательных системах, например, в биологических системах и велосипедах . [2]
Коэффициент демпфирования - это безразмерная мера, описывающая, как колебания в системе затухают после возмущения. Многие системы демонстрируют колебательное поведение, когда они выходят из положения статического равновесия . Например, масса, подвешенная на пружине, может, если ее потянуть и отпустить, подпрыгнет вверх и вниз. При каждом отскоке система стремится вернуться в свое положение равновесия, но проскакивает его. Иногда потери (например, фрикционные ) демпфируют систему и могут вызвать постепенное затухание амплитуды колебаний до нуля или ослабление . Коэффициент затухания - это мера, описывающая, насколько быстро колебания затухают от одного отскока к другому.
Коэффициент демпфирования - это системный параметр, обозначаемый ζ (zeta), который может варьироваться от незатухающего ( ζ = 0 ), слабозатухающего ( ζ <1 ) до критически затухающего ( ζ = 1 ) до чрезмерного ( ζ > 1 ).
Поведение колебательных систем часто представляет интерес в самых разных дисциплинах, включая технику управления , химическую инженерию , машиностроение , строительную инженерию и электротехнику . Физическая величина, которая колеблется, сильно варьируется и может быть раскачиванием высокого здания на ветру или скоростью электродвигателя , но нормализованный или безразмерный подход может быть удобным для описания общих аспектов поведения.
Случаи колебаний [ править ]
В зависимости от степени демпфирования система демонстрирует различные колебательные режимы.
- Там, где система пружина-масса полностью без потерь, масса будет колебаться бесконечно, причем каждый отскок будет иметь одинаковую высоту с последним. Этот гипотетический случай называется незатухающим .
- Если бы система содержала большие потери, например, если бы эксперимент с пружиной и массой проводился в вязкой жидкости, масса могла бы медленно возвращаться в исходное положение, не превышая ее. Этот случай называется сверхдемпфированием .
- Обычно масса имеет тенденцию выходить за пределы своего исходного положения, а затем возвращаться, снова превышая ее. При каждом выбросе некоторая энергия в системе рассеивается, и колебания затухают до нуля. Этот случай называется недемпфированным .
- Между случаями с избыточным и недостаточным демпфированием существует определенный уровень демпфирования, при котором система просто не сможет перескочить и не совершит ни одного колебания. Этот случай называется критическим демпфированием . Ключевое различие между критическим демпфированием и избыточным демпфированием состоит в том, что при критическом демпфировании система возвращается в состояние равновесия за минимальное время.
Определение [ править ]
Коэффициент затухания является параметром, обычно обозначается г (дзета), [3] , который характеризует частотный отклик в виде обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Это особенно важно при изучении теории управления . Это также важно в гармоническом осцилляторе .
Коэффициент демпфирования представляет собой математическое средство выражения уровня демпфирования в системе относительно критического демпфирования. Для демпфированного гармонического осциллятора с массой m , коэффициентом демпфирования c и жесткостью пружины k его можно определить как отношение коэффициента демпфирования в дифференциальном уравнении системы к критическому коэффициенту демпфирования:
где уравнение движения системы
а соответствующий критический коэффициент демпфирования равен
или же
куда
- - собственная частота системы.
Коэффициент демпфирования безразмерен и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.
Вывод [ править ]
Используя собственную частоту гармонического осциллятора и определение коэффициента демпфирования выше, мы можем переписать это как:
Это уравнение можно решить с помощью подхода.
где C и s - комплексные константы, причем s удовлетворяет
Два таких решения для двух значений s, удовлетворяющих уравнению, могут быть объединены для получения общих реальных решений с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:
- Незатухающий
- Это случай, когда соответствует незатухающему простому гармоническому осциллятору, и в этом случае решение выглядит так , как ожидалось.
- Недостаточно демпфированный
- Если s - это пара комплексных значений, то каждый член комплексного решения представляет собой убывающую экспоненту в сочетании с колеблющейся частью, которая выглядит так . Этот случай имеет место и называется недостаточным демпфированием .
- Сверхдемпфированный
- Если s - пара действительных значений, то решение представляет собой просто сумму двух убывающих экспонент без колебаний. Этот случай имеет место и называется сверхдемпфированием .
- Критически затухающий
- Случай, когда является границей между случаями сверхдемпфирования и недостаточного демпфирования, называется критически демпфированным . Это оказывается желательным результатом во многих случаях, когда требуется инженерное проектирование демпфирующего генератора (например, механизма закрытия двери).
Q-фактор и скорость распада [ править ]
Добротность , коэффициент демпфирования ζ , а экспоненциальное скорость распада α связаны таким образом, что [4]
Когда система второго порядка имеет (то есть, когда система underdamped), она имеет два комплексно - сопряженных полюсов, каждый из которых имеет действительную часть из ; то есть параметр скорости затухания представляет собой скорость экспоненциального затухания колебаний. Более низкий коэффициент демпфирования означает меньшую скорость затухания, и поэтому системы с очень слабым демпфированием колеблются в течение длительного времени. [5] Например, высококачественный камертон с очень низким коэффициентом демпфирования имеет длительные колебания, которые очень медленно затухают после удара молотком.
Логарифмический декремент [ править ]
Для недостаточно затухающих колебаний коэффициент демпфирования также связан с логарифмическим декрементом . Коэффициент затухания может быть найден для любых двух пиков, даже если они не смежны. [6] Для соседних пиков: [7]
где x 0 и x 1 - амплитуды любых двух последовательных пиков.
Как показано на правом рисунке:
где , - амплитуды двух последовательных положительных пиков и , - амплитуды двух последовательных отрицательных пиков.
Процент превышения [ править ]
В теории управления , перерегулирование относится к выходу превышает его окончательное, стационарное значение. [8] Для пошагового ввода , то процент перерегулирование ( РО ) представляет собой максимальное значение минус значение шага , деленное на значение шага. В случае единичного шага перерегулирование - это просто максимальное значение реакции на скачок минус один.
Процентное превышение ( PO ) связано с коэффициентом демпфирования ( ζ ) следующим образом:
И наоборот, коэффициент демпфирования ( ζ ), который дает определенный процент превышения ( PO ), определяется как:
Ссылки [ править ]
- ^ Steidel (1971). Введение в механические колебания . Джон Вили и сыновья. п. 37.
затухающий - термин, используемый при изучении вибрации для обозначения рассеяния энергии.
- ^ JP Meijaard; JM Papadopoulos; А. Руина и А. Л. Шваб (2007). «Линеаризованные уравнения динамики для баланса и управляемости велосипеда: эталон и обзор». Труды Королевского общества А . 463 (2084): 1955–1982. Bibcode : 2007RSPSA.463.1955M . DOI : 10.1098 / rspa.2007.1857 . S2CID 18309860 .
колебания наклона и поворота угасают, казалось бы, приглушенным образом. Однако система не имеет истинного демпфирования и сохраняет энергию. Энергия наклонных и управляемых колебаний передается на скорость движения, а не рассеивается.
- ^ Alciatore, David G. (2007). Введение в мехатронику и измерения (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-296305-2.
- ^ Уильям МакКи. Зиберт. Цепи, сигналы и системы . MIT Press.
- ↑ Мин Рао и Хаймин Цю (1993). Техника АСУ ТП: учебник для инженеров-химиков, механиков и электриков . CRC Press. п. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.
- ^ https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_free_damped/vibrations_free_damped.htm
- ^ https://pm-engr.com/damping-evaluation-2/
- ^ Го, Benjamin C & Голнараги MF (2003). Системы автоматического управления (Восьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. §7.3 с. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.