Уравнения движения

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

${\ displaystyle v}$График vs для движущейся частицы при неоднородном ускорении .${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a}$

В физике , уравнения движения являются уравнения , описывающие поведение физической системы с точки зрения ее движения как функции времени. ^[1] Более конкретно, уравнения движения описывают поведение физической системы как набор математических функций в терминах динамических переменных. Эти переменные обычно являются пространственными координатами и временем, но могут включать компоненты импульса . Наиболее общий выбор - это обобщенные координаты, которые могут быть любыми удобными переменными, характерными для физической системы. ^[2] Функции определены в евклидовом пространстве.в классической механике , но заменены искривленными пространствами в теории относительности . Если динамика системы известна, уравнения являются решениями дифференциальных уравнений, описывающих движение динамики.

Есть два основных описания движения: динамика и кинематика . Динамика является общей, так как импульсы, сила и энергия этих частиц учитываются. В этом случае иногда термин динамика относится к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяет система (например, второму закону Ньютона или уравнениям Эйлера – Лагранжа ), а иногда и к решениям этих уравнений.

Однако кинематика проще. Это касается только переменных, полученных из положения предметов и времени. В условиях постоянного ускорения эти более простые уравнения движения обычно называют уравнениями СУВАТ , возникающими из определений кинематических величин: смещения ( s ), начальной скорости ( u ), конечной скорости ( v ), ускорения ( a ), и время ( t ).

Поэтому уравнения движения можно сгруппировать по этим основным классификаторам движения. Во всех случаях основными типами движения являются поступательные движения , вращения , колебания или любые их комбинации.

Дифференциальное уравнение движения, обычно идентифицируется как - то физический закон и применяя определения из физических величин , используются для установки уравнения для задачи. ^{[ требуется пояснение ]} Решение дифференциального уравнения приведет к общему решению с произвольными константами, причем произвольность соответствует семейству решений. Конкретное решение можно получить, задав начальные значения , которые фиксируют значения констант.

Для того, чтобы указать это формально, в общем уравнении движения M является функцией от положения г объекта, его скорость (в первый раз производную по г , v =d r/dt) и его ускорение (вторая производная от r , a =d ² r/dt ²), и время t . Евклидовы векторы в трехмерном пространстве обозначены жирным шрифтом. Это эквивалентно утверждению, что уравнение движения по r является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (ОДУ) по r ,

${\ displaystyle M \ left [\ mathbf {r} (t), \ mathbf {\ dot {r}} (t), \ mathbf {\ ddot {r}} (t), t \ right] = 0 \, ,}$

где t - время, а каждая точка обозначает одну производную по времени . В начальные условия задаются постоянными значениями при т = 0 ,

${\displaystyle \mathbf {r} (0)\,,\quad \mathbf {\dot {r}} (0)\,.}$

Решение r ( t ) уравнения движения с заданными начальными значениями описывает систему для всех моментов времени t после t = 0 . Другие динамические переменные, такие как импульс p объекта, или величины, полученные из r и p, такие как угловой момент , могут использоваться вместо r в качестве величины , которую необходимо найти из некоторого уравнения движения, хотя положение объекта в момент времени t это, безусловно, самое востребованное количество.

Иногда уравнение будет линейным и, скорее всего, будет точно решаемо. В общем, уравнение будет нелинейным и не может быть решено точно, поэтому необходимо использовать различные приближения. Решения нелинейных уравнений могут демонстрировать хаотическое поведение в зависимости от того, насколько чувствительна система к начальным условиям.

История [ править ]

Кинематика, динамика и математические модели Вселенной развивались постепенно на протяжении трех тысячелетий благодаря многим мыслителям, имена некоторых из которых мы знаем. В древности жрецы , астрологи и астрономы предсказывали солнечные и лунные затмения , солнцестояния и равноденствия Солнца и период Луны . Но у них не было ничего, кроме набора алгоритмов, которыми они руководствовались. Уравнения движения не записывались еще тысячу лет.

Средневековые ученые в тринадцатом веке - например, в относительно новых университетах в Оксфорде и Париже - опирались на древних математиков (Евклид и Архимед) и философов (Аристотель) для разработки новой совокупности знаний, которая теперь называется физикой.

В Оксфорде Мертон-колледж приютил группу ученых, занимающихся естественными науками, в основном физикой, астрономией и математикой, которые по уровню были сопоставимы с интеллектуалами Парижского университета. Томас Брэдвардин расширил аристотелевские величины, такие как расстояние и скорость, и приписал им интенсивность и протяженность. Брэдвардин предложил экспоненциальный закон, включающий силу, сопротивление, расстояние, скорость и время. Николас Орем расширил аргументы Брэдвардина. Школа Мертона доказала, что количество движения тела, совершающего равноускоренное движение, равно количеству равномерного движения со скоростью, достигаемой на полпути через ускоренное движение.

Для авторов кинематики до Галилея , поскольку малые временные интервалы не могли быть измерены, сходство между временем и движением было неясным. Они использовали время как функцию от расстояния, а в свободном падении - большую скорость в результате большей высоты. Только Доминго де Сото , испанский теолог, в своем комментарии к « Физике Аристотеля ».опубликованный в 1545 году, после определения «равномерного дифформного» движения (которое является равномерно ускоренным движением) - слово скорость не использовалось - как пропорционального времени, правильно заявил, что этот вид движения можно отождествить со свободно падающими телами и снарядами, без его доказывая эти утверждения или предлагая формулу, связывающую время, скорость и расстояние. Комментарии Де Сото в высшей степени верны в отношении определений ускорения (ускорение - это скорость изменения движения (скорости) во времени) и наблюдения, что ускорение будет отрицательным во время подъема.

Подобные дискурсы распространились по Европе, сформировав работы Галилео Галилея и других, и помогли заложить основы кинематики. ^[3] Галилей вывел уравнение s =1/2gt ² в своей работе геометрически, ^[4] используя правило Мертона , теперь известное как частный случай одного из уравнений кинематики.

Галилей был первым, кто показал, что путь снаряда - парабола . Галилей имел представление о центробежной силе и дал правильное определение количества движения . Этот упор на импульс как на фундаментальную величину динамики имеет первостепенное значение. Он измерил импульс как произведение скорости и веса; Масса - это более поздняя концепция, разработанная Гюйгенсом и Ньютоном. Галилей говорит в « Рассуждениях» ^[5], «качая простой маятник».что «каждый импульс, приобретенный при спуске по дуге, равен тому, который заставляет одно и то же движущееся тело подниматься по той же дуге». Его анализ снарядов показывает, что Галилей понял первый закон и второй закон движения. Он не обобщал и не делал их применимыми к телам, не подверженным земному притяжению. Этот шаг был вкладом Ньютона.

Термин «инерция» использовал Кеплер, применив его к телам в состоянии покоя. (Первый закон движения теперь часто называют законом инерции.)

Галилей не полностью понимал третий закон движения, закон равенства действия и противодействия, хотя он исправил некоторые ошибки Аристотеля. Вместе со Стевином и другими Галилей писал также о статике. Он сформулировал принцип параллелограмма сил, но не полностью осознал его масштабы.

Галилей также интересовался законами маятника, первые его наблюдения за ним были в молодости. В 1583 году, когда он молился в соборе в Пизе, его внимание привлекло движение зажженной лампы, которая оставалась раскачивающейся, чтобы отсчитывать время от его собственного пульса. Для него период казался тем же самым, даже после того, как движение сильно уменьшилось, обнаружив изохронизм маятника.

Более тщательные эксперименты, проведенные им позже и описанные в его «Рассуждениях», показали, что период колебаний зависит от квадратного корня из длины, но не зависит от массы маятника.

Таким образом, мы приходим к Рене Декарту , Исааку Ньютону , Готфриду Лейбницу и др .; и развитые формы уравнений движения, которые начинают признаваться современными.

Позже уравнения движения также появились в электродинамике , при описании движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях сила Лоренца является общим уравнением, которое служит определением того, что понимается под электрическим полем и магнитным полем . С появлением специальной теории относительности и общей теории относительности теоретические модификации пространства-времени означали, что классические уравнения движения также были изменены с учетом конечной скорости света и кривизны пространства-времени.. Во всех этих случаях дифференциальные уравнения были в терминах функции, описывающей траекторию частицы в терминах пространственных и временных координат, под влиянием сил или преобразований энергии. ^[6]

Однако уравнения квантовой механики также можно рассматривать как «уравнения движения», так как они являются дифференциальными уравнениями волновой функции , которая описывает аналогичное поведение квантового состояния с использованием пространственных и временных координат частиц. Существуют аналоги уравнений движения в других областях физики для совокупностей физических явлений, которые можно рассматривать как волны, жидкости или поля.

Кинематические уравнения для одной частицы [ править ]

Кинематические величины [ править ]

Из мгновенного положения r = r ( t ) , мгновенное значение в момент времени t , мгновенная скорость v = v ( t ) и ускорение a = a ( t ) имеют общие, не зависящие от координат определения; ^[7]

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\,\!}$

Обратите внимание, что скорость всегда указывает в направлении движения, другими словами, для криволинейного пути это касательный вектор . Грубо говоря, производные первого порядка связаны с касательными кривых. По-прежнему для криволинейных траекторий ускорение направлено к центру кривизны траектории. Опять же, грубо говоря, производные второго порядка связаны с кривизной.

Аналогами вращения являются «угловой вектор» (угол поворота частицы вокруг некоторой оси) θ = θ ( t ) , угловая скорость ω = ω ( t ) и угловое ускорение α = α ( t ) :

θ = θ n ^ , ω = d θ d t , α = d ω d t , {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,}

где n̂ - единичный вектор в направлении оси вращения, а θ - угол, на который объект поворачивает вокруг оси.

Следующее соотношение выполняется для точечной частицы, вращающейся вокруг некоторой оси с угловой скоростью ω : ^[8]

v = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \,\!}

где r - вектор положения частицы (радиально от оси вращения), а v - тангенциальная скорость частицы. Для вращающегося твердого тела сплошной среды эти соотношения выполняются для каждой точки твердого тела.

Равномерное ускорение [ править ]

Дифференциальное уравнение движения для частицы с постоянным или равномерным ускорением по прямой простое: ускорение постоянно, поэтому вторая производная положения объекта постоянна. Результаты этого дела кратко изложены ниже.

Постоянное поступательное ускорение по прямой [ править ]

Эти уравнения применимы к частице, движущейся линейно, в трех измерениях по прямой с постоянным ускорением . ^[9] Поскольку положение, скорость и ускорение коллинеарны (параллельны и лежат на одной линии) - необходимы только величины этих векторов, а поскольку движение происходит по прямой линии, проблема эффективно уменьшается с трех измерений. к одному.

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=at+v_{0}\quad [1]\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}\quad [2]\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t\quad [3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)\quad [4]\\r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}\quad [5]\\\end{aligned}}}$

куда:

• r ₀ - начальное положение частицы
• r - конечное положение частицы
• v ₀ - начальная скорость частицы
• v - конечная скорость частицы
• а - ускорение частицы
• t - временной интервал

Здесь a - постоянное ускорение, или в случае тел, движущихся под действием силы тяжести , используется стандартная сила тяжести g . Обратите внимание, что каждое из уравнений содержит четыре из пяти переменных, поэтому в этой ситуации достаточно знать три из пяти переменных, чтобы вычислить оставшиеся две.

В элементарной физике одни и те же формулы часто записываются в разных обозначениях как:

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=u+at\quad [1]\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}\quad [2]\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t\quad [3]\\v^{2}&=u^{2}+2as\quad [4]\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}\quad [5]\\\end{aligned}}}$

где u заменил v ₀ , s заменяет r - r ₀ . Их часто называют уравнениями SUVAT , где «SUVAT» является аббревиатурой от переменных: s = перемещение, u = начальная скорость, v = конечная скорость, a = ускорение, t = время. ^{[10] [11]}

Постоянное линейное ускорение в любом направлении [ править ]

Векторы начального положения, начальной скорости и ускорения не обязательно должны быть коллинеарными и принимать почти идентичную форму. Единственная разница в том, что квадратные величины скоростей требуют скалярного произведения . Выводы по существу такие же, как и в коллинеарном случае,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\quad [1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\quad [2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t\quad [3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\quad [4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\quad [5]\\\end{aligned}}}$

хотя уравнение Торричелли [4] может быть получено с использованием свойства распределения скалярного произведения следующим образом:

${\displaystyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}}$

${\displaystyle (2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}}$

${\displaystyle \therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))}$

Приложения [ править ]

Простые и частые примеры в кинематике включают в себя снаряды , например, мяч, подброшенный вверх в воздух. Зная начальную скорость u , можно рассчитать, как высоко мяч пролетит, прежде чем начнет падать. Ускорение - это местное ускорение свободного падения g . Здесь нужно помнить, что, хотя эти величины кажутся скалярами , важно направление смещения, скорости и ускорения. Фактически их можно было бы рассматривать как однонаправленные векторы. Выбирая s для измерения от земли, ускорение a фактически должно быть −g , поскольку сила тяжести действует вниз и, следовательно, ускоряет мяч за счет этого.

В самой высокой точке мяч будет покоиться: поэтому v = 0 . Используя уравнение [4] в приведенном выше наборе, мы имеем:

${\displaystyle s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}.}$

Подстановка и удаление знаков минус дает:

${\displaystyle s={\frac {u^{2}}{2g}}.}$

Постоянное круговое ускорение [ править ]

Аналоги приведенных выше уравнений можно записать для вращения . Опять же, все эти аксиальные векторы должны быть параллельны оси вращения, поэтому необходимы только величины векторов,

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=\omega _{0}+\alpha t\\\theta &=\theta _{0}+\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\theta &=\theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t\\\omega ^{2}&=\omega _{0}^{2}+2\alpha (\theta -\theta _{0})\\\theta &=\theta _{0}+\omega t-{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\end{aligned}}}$

где α - постоянное угловое ускорение , ω - угловая скорость , ω ₀ - начальная угловая скорость, θ - угол поворота ( угловое смещение ), θ ₀ - начальный угол, а t - время, необходимое для поворота от начальное состояние до конечного состояния.

Общее плоское движение [ править ]

Это кинематические уравнения для частицы, проходящей путь в плоскости, описываемой положением r = r ( t ) . ^[12] Они представляют собой просто производные по времени вектора положения в плоских полярных координатах с использованием приведенных выше определений физических величин для угловой скорости ω и углового ускорения α . Это мгновенные величины, которые меняются со временем.

Положение частицы

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$

где ê _r и ê _θ - полярные единичные векторы. Дифференцирование по времени дает скорость

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$

с радиальной составляющей доктор/dtи дополнительная составляющая rω за счет вращения. Дифференцирование по времени снова дает ускорение

${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$

который прерывается в радиальном ускорении d ² r/dt ², центростремительное ускорение - rω ² , кориолисово ускорение 2 ωдоктор/dt, и угловое ускорение rα .

Частные случаи движения, описанные этими уравнениями, качественно резюмированы в таблице ниже. Два уже обсуждались выше в случаях, когда либо радиальные компоненты, либо угловые компоненты равны нулю, а ненулевой компонент движения описывает равномерное ускорение.

Общие 3D-движения [ править ]

В трехмерном пространстве уравнения в сферических координатах ( r , θ , φ ) с соответствующими единичными векторами ê _r , ê _θ и ê _φ , положение, скорость и ускорение обобщаются соответственно на

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!}$

В случае постоянного φ это сводится к приведенным выше плоским уравнениям.

Динамические уравнения движения [ править ]

Ньютоновская механика [ править ]

Первым разработанным общим уравнением движения был второй закон движения Ньютона. В самом общем виде он утверждает, что скорость изменения количества движения p = p ( t ) = m v ( t ) объекта равна силе F = F ( x ( t ), v ( t ), t ), действующей на него. , ^[13]

F = d p d t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}

Сила в уравнении - это не сила, которую оказывает объект. Заменяя импульс на массу, умноженную на скорость, закон также записан более известным как

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

поскольку m - константа в механике Ньютона .

Второй закон Ньютона применим к точечным частицам и ко всем точкам твердого тела . Они также применимы к каждой точке континуума масс, например, к деформируемым твердым телам или жидкостям, но движение системы необходимо учитывать; см. материальную производную . В случае, если масса непостоянна, недостаточно использовать правило произведения для производной по времени от массы и скорости, а второй закон Ньютона требует некоторой модификации, согласующейся с сохранением количества движения ; см. систему переменной массы .

Записать уравнения движения в векторной форме с использованием законов движения Ньютона может быть просто, но компоненты могут изменяться сложным образом в зависимости от пространственных координат и времени, и решить их непросто. Часто для полного решения проблемы требуется избыток переменных, поэтому законы Ньютона не всегда являются наиболее эффективным способом определения движения системы. В простых случаях прямоугольной геометрии законы Ньютона отлично работают в декартовых координатах, но в других системах координат могут стать чрезвычайно сложными.

Форма импульса предпочтительна, поскольку ее легко обобщить на более сложные системы, такие как специальная и общая теория относительности (см. Четыре импульса ). ^[13] Его также можно использовать с сохранением импульса. Однако законы Ньютона не более фундаментальны, чем сохранение импульса, потому что законы Ньютона просто согласуются с тем фактом, что нулевая результирующая сила, действующая на объект, подразумевает постоянный импульс, тогда как результирующая сила подразумевает, что импульс непостоянен. Сохранение импульса всегда верно для изолированной системы, не подверженной действию равнодействующих сил.

Для ряда частиц (см. Задачу многих тел ) уравнение движения одной частицы i под влиянием других частиц имеет вид ^{[7] [14]}

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}\,\!}$

где p _i - импульс частицы i , F _ij - сила, действующая на частицу i со стороны частицы j , а F _E - результирующая внешняя сила, создаваемая любым агентом, не являющимся частью системы. Частица i не действует на себя.

Законы движения Эйлера похожи на законы Ньютона, но применяются конкретно к движению твердых тел . Уравнения Ньютона – Эйлера объединяют силы и моменты, действующие на твердое тело, в одно уравнение.

Второй закон Ньютона для вращения принимает форму, аналогичную трансляционному случаю ^[15]

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,}$

приравниванием крутящий момент , действующий на тело со скоростью изменения его углового момента L . Аналогично умножению массы на ускорение, тензор момента инерции I зависит от распределения массы вокруг оси вращения, а угловое ускорение - это скорость изменения угловой скорости,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}.}$

Опять же, эти уравнения применимы к точечным частицам или к каждой точке твердого тела.

Аналогично, для ряда частиц уравнение движения для одной частицы i имеет вид ^[16]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,}$

где L _i - угловой момент частицы i , τ _ij - крутящий момент на частице i со стороны частицы j , а τ _E - результирующий внешний крутящий момент (из-за любого агента, не являющегося частью системы). Частица i не оказывает на себя крутящего момента.

Приложения [ править ]

Некоторые примеры ^[17] закона Ньютона включают описание движения простого маятника ,

${\displaystyle -mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(l\theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{l}}\sin \theta \,,}$

и затухающий гармонический генератор с синусоидальным возбуждением ,

${\displaystyle F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.}$

Для описания движения масс под действием силы тяжести закон всемирного тяготения Ньютона может быть объединен со вторым законом Ньютона. В двух примерах шар массы m, брошенный в воздух, в потоках воздуха (таких как ветер) описывается векторным полем сил сопротивления R = R ( r , t ) ,

${\displaystyle -{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A} \,\!}$

где G - гравитационная постоянная , M - масса Земли, а A =р/м- ускорение снаряда за счет воздушных потоков в положении r и времени t .

Классическая задача N тел для N частиц, каждая из которых взаимодействует друг с другом под действием гравитации, представляет собой набор из N нелинейно связанных ОДУ второго порядка,

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{i}m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})}$

где i = 1, 2,…, N обозначает величины (массу, положение и т. д.), связанные с каждой частицей.

Аналитическая механика [ править ]

В использовании всех трех координат трехмерного пространства нет необходимости, если в системе есть ограничения. Если система имеет N степеней свободы , то можно использовать набор из N обобщенных координат q ( t ) = [ q ₁ ( t ), q ₂ ( t ) ... q _N ( t )] , чтобы определить конфигурацию системы. Они могут быть в виде длин дуги или углов.. Они значительно упрощают описание движения, поскольку используют внутренние ограничения, которые ограничивают движение системы, а количество координат сокращено до минимума. Производные по времени от обобщенных координат - это обобщенные скорости

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}\,.}$

Эти уравнения Эйлера-Лагранжа являются ^{[2] [19]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

где лагранжиан является функцией конфигурации q и скорости ее изменения во времениd q/dt(и, возможно, время t )

${\displaystyle L=L\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t\right]\,.}$

Устанавливая лагранжиан системы, затем подставляя в уравнения и оценивая частные производные и упрощая, получается набор N связанных ОДУ второго порядка по координатам.

Уравнения Гамильтона являются ^{[2] [19]}

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

где гамильтониан

${\displaystyle H=H\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t\right]\,,}$

является функцией конфигурации q и сопряженных «обобщенных» импульсов

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,,}$

в котором ∂/∂ q= (∂/∂ q ₁, ∂/∂ q ₂,…, ∂/∂ q _N) является сокращенным обозначением векторачастных производныхпо указанным переменным (см., например,матричное исчислениедля этого обозначения знаменателя) и, возможно, времени t ,

Устанавливая гамильтониан системы, затем подставляя в уравнения и оценивая частные производные и упрощая, получают набор связанных 2 N ОДУ первого порядка по координатам q _i и импульсам p _i .

Уравнение Гамильтона – Якоби имеет вид ^[2]

${\displaystyle -{\frac {\partial S(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)\,.}$

куда

${\displaystyle S[\mathbf {q} ,t]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\,dt\,,}$

является основной функцией Гамильтона , которая также называется классическое действие является функциональным из L . В этом случае импульсы определяются выражением

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,.}$

Несмотря на то уравнение имеет простую общую форму, для данного гамильтониана это фактически один первый заказ нелинейный ФДЭ , в N + 1 переменных. Действие S позволяет идентифицировать сохраняющиеся величины для механических систем, даже когда сам механическая проблема не может быть решена полностью, потому что любая дифференцируемая симметрия в действии физической системы имеет соответствующий закон сохранения , теорема из - за Нётер .

Все классические уравнения движения могут быть выведены из вариационного принципа, известного как принцип наименьшего действия Гамильтона.

${\displaystyle \delta S=0\,,}$

указав путь система принимает через пространство конфигурации является одним с наименьшим действием S .

Электродинамика [ править ]

В электродинамике сила, действующая на заряженную частицу с зарядом q, называется силой Лоренца : ^[20]

F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!}

В сочетании со вторым законом Ньютона получается дифференциальное уравнение движения первого порядка с точки зрения положения частицы:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {B} \right)\,\!}$

или его импульс:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {p} \times \mathbf {B} }{m}}\right)\,\!}$

Такое же уравнение можно получить, используя лагранжиан (и применяя приведенные выше уравнения Лагранжа) для заряженной частицы массы m и заряда q : ^[21]

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi }$

где A и ϕ - поля электромагнитного скалярного и векторного потенциала. Лагранжиан указывает на дополнительную деталь: канонический импульс в лагранжевой механике определяется выражением:

${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} }$

а не просто m v , подразумевая, что движение заряженной частицы в основном определяется массой и зарядом частицы. Выражение Лагранжа было впервые использовано для вывода уравнения силы.

В качестве альтернативы гамильтониан (и подставив в уравнения): ^[19]

${\displaystyle H={\frac {\left(\mathbf {P} -q\mathbf {A} \right)^{2}}{2m}}+q\phi \,\!}$

можно вывести уравнение силы Лоренца.

Общая теория относительности [ править ]

Геодезическое уравнение движения [ править ]

Приведенные выше уравнения справедливы в плоском пространстве-времени. В искривленном пространстве-времени все становится математически более сложным, поскольку нет прямой линии; это обобщается и заменяется геодезической искривленного пространства-времени (кратчайшая длина кривой между двумя точками). Для криволинейных многообразий с метрическим тензором g метрика обеспечивает понятие длины дуги (подробности см. В элементе линии ). Дифференциала длины дуги определяется следующим образом: ^[23]

d s = g α β d x α d x β {\displaystyle ds={\sqrt {g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}}

а уравнение геодезических - это дифференциальное уравнение второго порядка по координатам. Общее решение - семейство геодезических: ^[24]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}}$

где Γ  ^μ _αβ - символ Кристоффеля второго рода , содержащий метрику (относительно системы координат).

Учитывая распределение массы-энергии, обеспечиваемое тензором энергии-импульса T  ^αβ , уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор нелинейных уравнений в частных производных второго порядка в метрике и подразумевают, что кривизна пространства-времени эквивалентна гравитационному полю ( см. принцип эквивалентности ). Падение массы в искривленном пространстве-времени эквивалентно падению массы в гравитационном поле, потому что гравитация - это фиктивная сила . Относительное ускорение одной геодезической на другой в искривленном пространстве - времени задается уравнением геодезического отклонения :

${\displaystyle {\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}}$

где ξ ^α = x ₂ ^α - x ₁ ^α - вектор разделения между двумя геодезическими,D/ds( не толькоd/ds) - ковариантная производная , а R ^α _βγδ - тензор кривизны Римана , содержащий символы Кристоффеля. Другими словами, уравнение геодезического отклонения - это уравнение движения масс в искривленном пространстве-времени, аналогичное уравнению силы Лоренца для зарядов в электромагнитном поле. ^[25]

Для плоского пространства-времени метрика является постоянным тензором, поэтому символы Кристоффеля обращаются в нуль, а уравнение геодезических имеет решения прямых линий. Это также предельный случай, когда массы движутся согласно закону всемирного тяготения Ньютона .

Вращающиеся объекты [ править ]

В общей теории относительности вращательное движение описывается релятивистским тензором углового момента , включая тензор спина , которые входят в уравнения движения при ковариантных производных по собственному времени . Уравнения Матиссона – Папапетру – Диксона описывают движение вращающихся объектов, движущихся в гравитационном поле .

Аналоги волн и полей [ править ]

В отличие от уравнений движения для описания механики частиц, которые представляют собой системы связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичные уравнения, управляющие динамикой волн и полей , всегда являются уравнениями в частных производных , поскольку волны или поля являются функциями пространства и времени. Для конкретного решения необходимо указать граничные условия вместе с начальными условиями.

Иногда в следующих контекстах уравнения волны или поля также называют «уравнениями движения».

Полевые уравнения [ править ]

Уравнения, описывающие пространственную зависимость и временную эволюцию полей, называются уравнениями поля . К ним относятся

• Уравнения Максвелла для электромагнитного поля ,
• Уравнение Пуассона для ньютоновских потенциалов гравитационного или электростатического поля,
• уравнение поля Эйнштейна для гравитации ( закон тяготения Ньютона является частным случаем для слабых гравитационных полей и малых скоростей частиц).

Эта терминология не является универсальной: например , хотя уравнение Навьего-Стокс регулирует поле скоростей в жидкости , они обычно не называют «полевые уравнениями», так как в этом контексте они представляют импульс жидкости и называются «импульс уравнение " вместо.

Волновые уравнения [ править ]

Уравнения волнового движения называются волновыми уравнениями . Решения волнового уравнения дают временную и пространственную зависимость амплитуды . Граничные условия определяют, описывают ли решения бегущие или стоячие волны .

Из классических уравнений движения и уравнений поля; Могут быть выведены уравнения механических, гравитационных и электромагнитных волн . Общее линейное волновое уравнение в 3D:

${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X}$

где X = X ( r , t ) - любая амплитуда механического или электромагнитного поля, скажем: ^[26]

• поперечная или продольное смещение вибрирующего стержня, проволока, кабель, мембрана и т.д.,
• колеблющееся давление среды, звуковое давление ,
• электрическое поле Е или D , или магнитное поле В или Н ,
• напряжения V или ток I в переменном токе цепи,

и v является фазовой скоростью . Нелинейные уравнения моделируют зависимость фазовой скорости от амплитуды, заменяя v на v ( X ) . Существуют и другие линейные и нелинейные волновые уравнения для очень конкретных приложений, см., Например, уравнение Кортевега – де Фриза .

Квантовая теория [ править ]

В квантовой теории появляются концепции как волны, так и поля.

В квантовой механике , в которой частицы также обладают волнообразными свойствами согласно дуальности волна-частица , аналогом классических уравнений движения (закона Ньютона, уравнения Эйлера-Лагранжа, уравнения Гамильтона-Якоби и т. Д.) Является уравнение Шредингера в его наиболее общая форма:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$

где Ψ - волновая функция системы, Ĥ - квантовый гамильтонов оператор , а не функция, как в классической механике, а ħ - постоянная Планка, деленная на 2 π . Установка гамильтониана и вставка его в уравнение приводит к волновому уравнению, решением которого является волновая функция как функция пространства и времени. Само уравнение Шредингера сводится к уравнению Гамильтона-Якоби , когда один рассматривает принцип соответствия , в пределе , что ħ становится равным нулю.

Во всех аспектах квантовой теории, релятивистской или нерелятивистской, существуют различные формулировки, альтернативные уравнению Шредингера, которые управляют временной эволюцией и поведением квантовой системы, например:

• уравнение Гейзенберга движения напоминает эволюцию классических наблюдаемые как функция положения, импульс и время, если заменить динамическую наблюдаемый на их квантовые операторах и классической скобке Пуассона со стороны коммутатора ,
• формулировка фазового пространства близко следует классической механики Гамильтона, помещая положение и импульс на равных,
• формулировка интеграла по траекториям Фейнмана распространяет принцип наименьшего действия на квантовую механику и теорию поля, делая упор на использовании лагранжианов, а не гамильтонианов.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]