Диофантово приближение

В теории чисел , изучение диофантовых приближений касается приближения действительных чисел по рациональным числам . Он назван в честь Диофанта Александрийского .

Первая проблема заключалась в том, чтобы узнать, насколько хорошо действительное число может быть аппроксимировано рациональными числами. Для этой задачи рациональное число a / b является "хорошим" приближением действительного числа α, если абсолютное значение разницы между a / b и α может не уменьшаться, если a / b заменяется другим рациональным числом с меньшим знаменатель. Эта проблема была решена в 18 веке с помощью непрерывных дробей .

Зная «наилучшие» приближения данного числа, основная проблема данной области состоит в том, чтобы найти точные верхние и нижние границы указанной выше разницы, выраженной как функция знаменателя . Похоже, что эти оценки зависят от природы приближаемых действительных чисел: нижняя оценка для приближения рационального числа другим рациональным числом больше, чем нижняя оценка для алгебраических чисел , которая сама по себе больше, чем нижняя оценка для все реальные числа. Таким образом, действительное число, которое может быть аппроксимировано лучше, чем оценка для алгебраических чисел, безусловно, является трансцендентным числом .

Это знание позволило Лиувиллю в 1844 году получить первое явное трансцендентное число. Позже аналогичным методом были получены доказательства трансцендентности π и e .

Диофантовы приближения и трансцендентная теория чисел - очень близкие области, разделяющие многие теоремы и методы. Диофантовы приближения также имеют важные приложения при изучении диофантовых уравнений .

Наилучшие диофантовы приближения действительного числа [ править ]

Для действительного числа α есть два способа определить наилучшее диофантово приближение α . Для первого определения, ^[1] рациональное число р / д является лучшим диофантовых приближений из & alpha ;, если

${\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <\ left | \ alpha - {\ frac {p '} {q'}} \ right |,}$

для любого рационального числа p ' / q', отличного от p / q, такого что 0 < q ′ ≤  q .

Для второго определения ^{[2] [3]} указанное выше неравенство заменяется на

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

Наилучшее приближение для второго определения также является наилучшим приближением для первого, но обратное неверно. ^[4]

Теория цепных дробей позволяет вычислить наилучшие приближения действительного числа: для второго определения, они являются дроби его выражения как обычный цепной дроби. ^{[3] [4] [5]} Для первого определения необходимо также рассмотреть полуконвергенции . ^[1]

Например, константа e = 2.718281828459045235 ... имеет (регулярное) представление непрерывной дроби

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

Его наилучшие приближения для второго определения:

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

в то время как для первого определения они

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Мера точности приближений [ править ]

Очевидная мера точности диофантова приближения действительного числа α рациональным числом p / q : Однако эту величину всегда можно сделать сколь угодно малой, увеличив абсолютные значения p и q ; таким образом, точность приближения обычно оценивается путем сравнения этой величины с некоторой функцией φ знаменателя q , обычно с ее отрицательной степенью.${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Для такого сравнения может потребоваться верхняя или нижняя границы точности. Нижняя граница обычно описывается теоремой типа «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел и каждого рационального числа p / q , которое мы имеем ». В некоторых случаях «каждое рациональное число» может быть заменено «всеми рациональными числами, кроме конечного их числа», что равносильно умножению φ на некоторую константу, зависящую от α .${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$

При оценке сверху необходимо учитывать, что не все «лучшие» диофантовы приближения, обеспечиваемые подходящими дробями, могут иметь желаемую точность. Следовательно, теоремы принимают вид «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел существует бесконечно много рациональных чисел p / q таких, что ».${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$

Плохо аппроксимируемые числа [ править ]

Плохо аппроксимируем номер является AN х , для которого существует положительная константа гр такого , что для все рационального р / д мы имеем

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Плохо аппроксимируемые числа - это в точности числа с ограниченными частными частными . ^[6]

Точно так же число плохо аппроксимируется тогда и только тогда, когда его константа Маркова ограничена.

Нижние оценки диофантовых приближений [ править ]

Аппроксимация рационального другими рациональными числами [ править ]

Рациональное число может быть очевидно и идеально аппроксимировано для любого положительного целого числа i .${\displaystyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}}$

Если у нас есть${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

потому что является положительным целым числом и, следовательно, не меньше 1. Таким образом, точность приближения плохая по сравнению с иррациональными числами (см. следующие разделы).${\displaystyle |aq-bp|}$

Можно заметить, что в предыдущем доказательстве используется вариант принципа голубиной дыры : неотрицательное целое число, отличное от 0, не меньше 1. Это очевидно тривиальное замечание используется почти во всех доказательствах нижних оценок диофантовых приближений, даже самые сложные.

Таким образом, рациональное число прекрасно аппроксимируется само по себе, но плохо аппроксимируется любым другим рациональным числом.

Аппроксимация алгебраических чисел, результат Лиувилля [ править ]

В 1840-х годах Джозеф Лиувилль получил первую нижнюю оценку аппроксимации алгебраических чисел : если x - иррациональное алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существует постоянная c ( x )> 0 такая, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

выполняется для всех целых чисел p и q, где q > 0 .

Этот результат позволил ему получить первый проверенный пример трансцендентного числа - константу Лиувилля.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

что не удовлетворяет теореме Лиувилля, какая бы степень n ни была выбрана.

Эта связь между диофантовыми приближениями и трансцендентной теорией чисел продолжается и по сей день. Многие методы доказательства используются в этих двух областях.

Аппроксимация алгебраических чисел, теорема Туэ – Зигеля – Рота [ править ]

Более чем за столетие было предпринято множество попыток улучшить теорему Лиувилля: каждое улучшение оценки позволяет нам доказать, что больше чисел трансцендентны. Основные улучшения были внесены Акселем Туэ  ( 1909 ), Сигелем  ( 1921 ), Фрименом Дайсоном  ( 1947 ) и Клаусом Ротом  ( 1955 ), что в конечном итоге привело к теореме Туэ – Зигеля – Рота: если x - иррациональное алгебраическое число и ε (малое) положительное действительное число, то существует положительная постоянная c ( x , ε ) такая, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

выполняется для любых целых p и q таких, что q > 0 .

В каком-то смысле этот результат является оптимальным, поскольку при ε = 0 теорема была бы неверной . Это непосредственное следствие приведенных ниже оценок сверху.

Совместные приближения алгебраических чисел [ править ]

Впоследствии, Вольфганг М. Шмидт обобщен это на случай совместных приближений, доказательства того, что: если х ₁ , ..., х _п являются алгебраические числа , такие , что 1, х ₁ , ..., х _п являются линейно независимыми над рациональным чисел и ε - любое заданное положительное действительное число, то существует только конечное число рациональных n -наборов ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) таких, что

${\displaystyle |x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Опять же, этот результат оптимален в том смысле, что нельзя удалить ε из показателя степени.

Эффективные границы [ править ]

Все предыдущие нижние оценки не эффективны в том смысле, что доказательства не предоставляют никакого способа вычислить константу, подразумеваемую в утверждениях. Это означает, что нельзя использовать результаты или их доказательства для получения оценок размера решений связанных диофантовых уравнений. Однако эти методы и результаты часто можно использовать для оценки количества решений таких уравнений.

Тем не менее, уточнение теоремы Бейкера Фельдманом дает эффективную оценку: если x - алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существуют эффективно вычислимые константы c ( x )> 0 и 0 <  d ( x ) <  n такие который

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

выполняется для всех целых рациональных чисел.

Однако, как и для любой эффективной версии теоремы Бейкера, константы d и 1 / c настолько велики, что этот эффективный результат не может быть использован на практике.

Верхние оценки диофантовых приближений [ править ]

Общая верхняя граница [ править ]

Первым важным результатом об оценках сверху диофантовых приближений является аппроксимационная теорема Дирихле , из которой следует, что для любого иррационального числа α существует бесконечно много дробей таких, что${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Отсюда сразу следует, что нельзя исключить ε в формулировке теоремы Туэ-Зигеля-Рота.

С годами эта теорема была улучшена до следующей теоремы Эмиля Бореля (1903 г.). ^[7] Для любого иррационального числа α существует бесконечно много дробей таких, что${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Следовательно, это верхняя граница диофантовых приближений любого иррационального числа. Константу в этом результате нельзя улучшить без исключения некоторых иррациональных чисел (см. Ниже).${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

Эквивалентные действительные числа [ править ]

Определение : два действительных числа называются эквивалентными ^{[8] [9],} если существуют целые числа с такими, что:${\displaystyle x,y}$${\displaystyle a,b,c,d\;}$${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Таким образом, эквивалентность определяется целочисленным преобразованием Мёбиуса действительных чисел или членом модульной группы , набора обратимых матриц 2 × 2 над целыми числами. Каждое рациональное число эквивалентно 0; таким образом, рациональные числа являются классом эквивалентности этого отношения.${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$

Эквивалентность может быть прочитана на представлении регулярной непрерывной дроби, как показано следующей теоремой Серре :

Теорема : два иррациональных числа x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют два натуральных числа h и k такие, что представления x и y регулярной цепной дробью

${\displaystyle x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,}$

${\displaystyle y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,}$

проверять

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

для каждого неотрицательного целого i . ^[10]

Таким образом, за исключением конечной начальной последовательности, эквивалентные числа имеют такое же представление непрерывной дроби.

Эквивалентные числа аппроксимируются в одинаковой степени в том смысле, что они имеют одну и ту же константу Маркова .

Спектр Лагранжа [ править ]

Как было сказано выше, константа в теореме Бореля не может быть улучшена, как показал Адольф Гурвиц в 1891 году. ^[11] Позвольте быть золотым сечением . Тогда для любой действительной константы c с существует только конечное число рациональных чисел p / q таких, что ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Следовательно, улучшение может быть достигнуто, только если исключить числа, эквивалентные . Точнее: ^{[12] [13]} Для любого иррационального числа , которое не эквивалентно , существует бесконечное множество дробей, таких что${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Посредством последовательных исключений - затем нужно исключить числа, эквивалентные - все большего и большего числа классов эквивалентности, нижняя граница может быть еще больше расширена. Значения, которые могут быть получены таким образом, являются числами Лагранжа , которые являются частью спектра Лагранжа . Они сходятся к числу 3 и связаны с числами Маркова . ^{[14] [15]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Теорема Хинчина о метрических диофантовых приближениях и расширениях [ править ]

Позвольте быть положительной действительной функцией на положительных целых числах (т. Е. Положительная последовательность), такая, что не возрастает. Действительное число х (не обязательно алгебраический) называется - аппроксимируемо , если существует бесконечно много рациональных чисел р / д , такие , что${\displaystyle \psi }$${\displaystyle q\psi (q)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

Александр Хинчин доказал в 1926 году, что если ряд расходится, то почти каждое действительное число (в смысле меры Лебега ) -аппроксимируемо, а если ряд сходится, то почти каждое действительное число не -аппроксимируемо. Круг идей, окружающих эту теорему и ее родственников, известен как метрическое диофантово приближение или метрическая теория диофантова приближения (не путать с «метриками» высоты в диофантовой геометрии ) или метрическая теория чисел .${\displaystyle \sum _{q}\psi (q)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

Даффин и Шеффер (1941) доказали обобщение результата Хинчина и выдвинули то, что теперь известно как гипотеза Даффина – Шеффера по аналогу дихотомии Хинчина для общих, не обязательно убывающих, последовательностей . Бересневич и Велани (2006) доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая является априори более слабой. В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили о доказательстве гипотезы. ^{[16] [17]}${\displaystyle \psi }$

Хаусдорфова размерность исключительных множеств [ править ]

Важным примером функции, к которой применима теорема Хинчина, является функция , где c  > 1 - действительное число. Для этой функции соответствующий ряд сходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждая точка не является -аппроксимируемой. Таким образом, множество -аппроксимируемых чисел образует подмножество вещественной прямой нулевой меры Лебега. Теорема Ярника-Безиковича, принадлежащая В. Ярнику и А.С. Безиковичу , утверждает, что размерность Хаусдорфа этого множества равна . ^[18] В частности, набор чисел, который является -приближаемым для некоторых (известный как набор${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle 1/c}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle c>1}$очень хорошо аппроксимируемые числа ) имеет размерность Хаусдорфа один, в то время как набор чисел, которые являются -аппроксимируемыми для всех (известный как набор чисел Лиувилля ), имеет размерность Хаусдорфа нуль.${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle c>1}$

Другой важный пример - функция , где - действительное число. Для этой функции соответствующий ряд расходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждое число является -аппроксимируемым. Это то же самое, что сказать, что каждое такое число хорошо аппроксимируется , где число называется хорошо аппроксимируемым, если оно не плохо аппроксимируется. Таким образом, подходящий аналог теоремы Ярника-Безиковича должен касаться размерности Хаусдорфа множества плохо аппроксимируемых чисел. И действительно, В. Ярник доказал, что размерность Хаусдорфа этого множества равна единице. Этот результат был улучшен В. М. Шмидтом , который показал, что множество плохо аппроксимируемых чисел несжимаемо , а это означает, что если${\displaystyle \psi _{\epsilon }(q)=\epsilon q^{-1}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$является последовательностью билипшицевых отображений, то множество чисел x, для которых все плохо аппроксимируются, имеет размерность Хаусдорфа один. Шмидт также обобщил теорему Ярника на более высокие измерения, что является значительным достижением, поскольку аргумент Ярника по существу одномерный, в зависимости от аппарата непрерывных дробей.${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$

Равномерное распределение [ править ]

Еще одна тема, которая получила серьезное развитие, - это теория равномерного распределения mod 1 . Возьмем последовательность a ₁ , a ₂ , ... действительных чисел и рассмотрим их дробные части . То есть, более абстрактно, посмотрите на последовательность в R / Z , которая представляет собой круг. Для любого интервала I на окружности мы смотрим на пропорции элементов последовательности, что лежит в ней, вплоть до некоторых целого числа N , и сравнить его с долей окружности , занятой I . Равномерное распределение означает, что в пределе при Nрастет, доля совпадений на интервале стремится к «ожидаемому» значению. Герман Вейль доказал основной результат, показывающий, что это эквивалентно оценкам экспоненциальных сумм, образованных из последовательности. Это показало, что результаты диофантова приближения были тесно связаны с общей проблемой сокращения в экспоненциальных суммах, которая возникает во всей аналитической теории чисел при ограничении членов ошибки.

С равномерным распределением связана тема неоднородностей распределения , которая носит комбинаторный характер.

Нерешенные проблемы [ править ]

Есть еще просто заявил , оставшиеся в теории диофантовых приближений, например , нерешенные проблемы гипотезы Литтлвуда и одинокую бегун догадку . Также неизвестно, есть ли алгебраические числа с неограниченными коэффициентами в их разложении в цепную дробь.

Последние события [ править ]

В своем пленарном выступлении на Международном математическом конгрессе в Киото (1990) Григорий Маргулис изложил обширную программу, основанную на эргодической теории, которая позволяет доказывать теоретико-числовые результаты, используя динамические и эргодические свойства действий подгрупп полупростых групп Ли . Работа Д. Клейнбока, Г. Маргулиса и их сотрудников продемонстрировала силу этого нового подхода к классическим проблемам в диофантовом приближении. Среди его заметных успехов - доказательство многолетней гипотезы Оппенгейма.Маргулиса, с более поздними расширениями Дани и Маргулиса и Эскина – Маргулиса – Мозеса, а также доказательство гипотез Бейкера и Спринджука в диофантовых приближениях на многообразиях Клейнбоком и Маргулисом. В этих рамках также были получены различные обобщения приведенных выше результатов Александра Хинчина в метрическом диофантовом приближении.

См. Также [ править ]

• Теорема Давенпорта – Шмидта
• Гипотеза Даффина – Шеффера
• Набор Хайльбронн
• Последовательность с низким расхождением

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Диофантово приближение: исторический очерк . Из курса Мишеля Вальдшмидта « Введение в диофантовы методы » .
• "Диофантовы приближения" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]