Трансцендентная теория чисел

Теория трансцендентных чисел - это раздел теории чисел, который исследует трансцендентные числа (числа, которые не являются решениями какого-либо полиномиального уравнения с целыми коэффициентами ) как качественно, так и количественно.

Превосходство [ править ]

Основная теорема алгебры говорит нам , что если мы имеем непостоянный многочлен с целыми коэффициентами , то , что полином будет иметь корень в комплексных числах . То есть для любого непостоянного многочлена P с целыми коэффициентами будет такое комплексное число α, что P (α) = 0. Теория трансцендентности занимается обратным вопросом: существует ли для комплексного числа α многочлен P с целые коэффициенты такие, что P (α) = 0? Если такого многочлена не существует, то число называется трансцендентным.

В более общем плане теория имеет дело с алгебраической независимостью чисел. Набор чисел {α ₁ , & alpha ; ₂ , ..., α _п } называется алгебраически независимы над полем K , если не существует ненулевой многочлен Р в п переменных с коэффициентами из K , таких , что P (α ₁ , α ₂ , …, Α _n ) = 0. Таким образом, определение того, является ли данное число трансцендентным, на самом деле является частным случаем алгебраической независимости, когда n  = 1, а поле K является полем рациональных чисел .

Связанное с этим понятие заключается в том, существует ли выражение для числа в замкнутой форме , включая экспоненты и логарифмы, а также алгебраические операции. Существуют различные определения «закрытой формы», и вопросы о закрытой форме часто сводятся к вопросам о трансцендентности.

История [ править ]

Приближение рациональными числами: от Лиувилля до Рота [ править ]

Использование термина трансцендентный для обозначения объекта, который не является алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что синус-функция не является алгебраической функцией . ^[1] Вопрос о том, могут ли определенные классы чисел быть трансцендентными, восходит к 1748 году ^[2], когда Эйлер утверждал ^[3], что число log _a b не было алгебраическим для рациональных чисел a и b при условии, что b не имеет формы b  =  a ^cдля некоторого рационального c .

Утверждение Эйлера не было доказано до двадцатого века, но почти через сто лет после его заявления Джозефу Лиувиллю удалось доказать существование чисел, не являющихся алгебраическими, что до того момента не было известно наверняка. В его оригинальных работах по этому вопросу 1840-х гг. Были изложены аргументы с использованием цепных дробей для построения трансцендентных чисел. Позже, в 1850-х годах, он дал необходимое условие алгебраичности числа и, таким образом, достаточное условие трансцендентности числа. ^[4] Этот критерий трансцендентности не был достаточно строгим, чтобы быть необходимым, и действительно не мог обнаружить, что число eтрансцендентен. Но его работа действительно предоставила более широкий класс трансцендентных чисел, теперь известных как числа Лиувилля в его честь.

Критерий Лиувилля, по сути, говорит, что алгебраические числа не могут быть очень хорошо аппроксимированы рациональными числами. Итак, если число может быть очень хорошо аппроксимировано рациональными числами, оно должно быть трансцендентным. Точное значение слова «очень хорошо аппроксимируется» в работе Лиувилля связано с определенной степенью. Он показал, что если α - алгебраическое число степени d  ≥ 2, а ε - любое число больше нуля, то выражение

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

может удовлетворяться только конечным числом рациональных чисел p / q . Использование этого в качестве критерия трансцендентности нетривиально, так как нужно проверить, существует ли бесконечно много решений p / q для любого d  ≥ 2.

В работе двадцатого века по Axel Thue , ^[5] Карл Зигель , ^[6] и Клаус Рот ^[7] уменьшил показатель в работе Лиувилля от D  + ε к д / 2 + 1 + ε, и , наконец, в 1955 году, до 2 + е. Этот результат, известный как теорема Туэ – Зигеля – Рота , якобы является наилучшим из возможных, поскольку, если показатель степени 2 + ε заменить только на 2, результат больше не верен. Однако Серж Ланг предположил, что результат Рота можно улучшить; в частности, он предположил, что q ^{2 + ε} в знаменателе правой части может быть уменьшено до q ²  log (q ) ^{1 + ε} .

Работа Рота фактически завершила работу, начатую Лиувиллем, и его теорема позволила математикам доказать трансцендентность многих других чисел, таких как постоянная Чамперноуна . Однако теорема все еще недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа, и многие известные константы, включая e и π, либо не являются, либо не очень хорошо аппроксимируются в указанном выше смысле. ^[8]

Вспомогательные функции: от Эрмита до Бейкера [ править ]

К счастью, в девятнадцатом веке были впервые применены другие методы для работы с алгебраическими свойствами e и, следовательно, π через тождество Эйлера . Эта работа была сосредоточена на использовании так называемой вспомогательной функции . Это функции, которые обычно имеют много нулей в рассматриваемых точках. Здесь «много нулей» может означать много различных нулей или всего один ноль, но с высокой кратностью , или даже много нулей, все с высокой кратностью. Чарльз Эрмит использовал вспомогательные функции, которые аппроксимируют функции e ^kx для каждого натурального числа k , чтобы доказать трансцендентностьe в 1873 году. ^[9] Его работа была основана Фердинандом фон Линдеманом в 1880-х годах ^[10] , чтобы доказать, что e ^α трансцендентно для ненулевых алгебраических чисел α. В частности, это доказало, что π трансцендентно, поскольку e ^{π i} является алгебраическим, и, таким образом, отрицательно ответило на вопрос древности о том, можно ли было возвести круг в квадрат . Карл Вейерштрасс развил их работу еще дальше и в конце концов доказал теорему Линдемана – Вейерштрасса в 1885 году ^[11].

В 1900 году Давид Гильберт поставил свой знаменитый сборник задач . Седьмой из них , и один из самых сложных в оценке Гильберта, вопрос о трансцендентности чисел вида ^б где и б алгебраические, не равен нулю или один, и б является иррациональным . В 1930-х годах Александр Гельфонд ^[12] и Теодор Шнайдер ^[13] доказали, что все такие числа действительно трансцендентны, используя неявную вспомогательную функцию, существование которой подтверждается леммой Зигеля . Этот результат,Теорема Гельфонда – Шнайдера доказала трансцендентность таких чисел, как e π и константа Гельфонда – Шнайдера .

Следующий крупный результат в этой области произошел в 1960-х годах, когда Алан Бейкер продвинулся в решении поставленной Гельфондом задачи о линейных формах в логарифмах . Самому Гельфонду удалось найти нетривиальную нижнюю оценку величины

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

где все четыре неизвестных являются алгебраическими, причем αs не является ни нулем, ни единицей, а βs иррациональными. Однако Гельфонду не удалось найти аналогичные нижние границы для суммы трех или более логарифмов. Доказательство теоремы Бейкера содержало такие оценки, решая проблему числа классов Гаусса для первого класса. Эта работа принесла Бейкеру медаль Филдса за ее использование при решении диофантовых уравнений . С чисто теоретико-трансцендентной точки зрения Бейкер доказал, что если α ₁ , ..., α _n - алгебраические числа, ни одно из них не равно нулю или единице, а β ₁ , ..., β _n - такие алгебраические числа, что 1, β ₁, ..., β _п являются линейно независимы над полем рациональных чисел, то число

${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$

трансцендентен. ^[14]

Другие техники: Кантор и Зильбер [ править ]

В 1870-х годах Георг Кантор начал развивать теорию множеств и в 1874 году опубликовал статью, доказывающую, что алгебраические числа могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел , и, таким образом, что набор трансцендентных чисел должен быть бесчисленным . ^[15] Позже, в 1891 году, Кантор использовал свой более знакомый диагональный аргумент, чтобы доказать тот же результат. ^[16] Хотя результат Кантора часто цитируется как чисто экзистенциальный и, следовательно, непригодный для построения единственного трансцендентного числа, ^{[17] [18]}доказательства в обеих упомянутых выше статьях дают методы построения трансцендентных чисел. ^[19]

В то время как Кантор использовал теорию множеств, чтобы доказать полноту трансцендентных чисел, недавним достижением стало использование теории моделей в попытках доказать нерешенную проблему в теории трансцендентных чисел. Задача состоит в том, чтобы определить степень трансцендентности поля.

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

для комплексных чисел x ₁ , ..., x _n , линейно независимых над рациональными числами. Стивен Шенуэль предположил, что ответ не меньше n , но доказательства не известны. Однако в 2004 году Борис Зильбер опубликовал статью, в которой с помощью методов теории моделей создал структуру, которая ведет себя очень похоже на комплексные числа, снабженные операциями сложения, умножения и возведения в степень. Более того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шануэля действительно верна. ^[20] К сожалению, пока не известно, что эта структура на самом деле такая же, как комплексные числа с упомянутыми операциями; могла существовать какая-то другая абстрактная структура, которая ведет себя очень похоже на комплексные числа, но в которой гипотеза Шануэля не верна. Зильбер предоставил несколько критериев, которые доказывают, что рассматриваемая структура является C , но не смог доказать так называемую аксиому сильного экспоненциального замыкания. Простейший случай этой аксиомы с тех пор доказан ^[21], но для завершения доказательства гипотезы требуется доказательство того, что она верна в полной общности.

Подходы [ править ]

Типичная проблема в этой области математики - выяснить, является ли данное число трансцендентным. Кантор использовал аргумент мощности, чтобы показать, что существует только счетное число алгебраических чисел, и, следовательно, почти все числа трансцендентны. Таким образом, трансцендентные числа представляют собой типичный случай; даже в этом случае может быть чрезвычайно сложно доказать, что данное число трансцендентно (или даже просто иррационально).

По этой причине теория трансцендентности часто работает в направлении более количественного подхода. Таким образом, учитывая конкретное комплексное число α, можно спросить, насколько α близко к алгебраическому числу. Например, если предположить, что число α является алгебраическим, то можно ли показать, что оно должно иметь очень высокую степень или минимальный многочлен с очень большими коэффициентами? В конечном счете, если можно показать, что никакой конечной степени или размера коэффициента недостаточно, то число должно быть трансцендентным. Поскольку число α трансцендентно тогда и только тогда, когда P (α) ≠ 0 для любого ненулевого многочлена P с целыми коэффициентами, к этой проблеме можно подойти, попытавшись найти нижние границы вида

${\displaystyle |P(a)|>F(A,d)}$

где правая рука некоторая положительная функция , зависящая от некоторой меры А от размера коэффициентов из Р , и его степень д , и таким образом, что эти нижние границы применяются ко всем P ≠ 0 такая оценка называется трансцендентности мерой .

Случай d  = 1 - это случай "классического" диофантова приближения, требующего оценки снизу для

${\displaystyle |ax+b|}$.

У методов теории трансцендентности и диофантова приближения много общего: оба они используют понятие вспомогательной функции .

Основные результаты [ править ]

Теорема Гельфонда – Шнайдера явилась крупным достижением теории трансцендентности в период 1900–1950 годов. В 1960 - х годах метод Алан Бейкер на линейных форм логарифмов в алгебраических чисел реанимирован теории трансцендентности, с приложениями к многочисленным классическим задачам и диофантовых уравнений .

Классификация Малера [ править ]

Курт Малер в 1932 году распределяли трансцендентные числа в 3 -х классов, называется S , Т и U . ^[22] Определение этих классов основывается на расширении идеи числа Лиувилля (цитированной выше).

Мера иррациональности действительного числа [ править ]

Один из способов определить число Лиувилля - это рассмотреть, насколько малым заданное действительное число x делает линейные многочлены | qx  -  p | не делая их ровно 0. Здесь p , q - целые числа с | p |, | q | ограниченный натуральный  H .

Пусть m ( x , 1,  H ) будет минимальным ненулевым абсолютным значением, которое принимают и принимают эти многочлены:

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,1,H).}$

ω ( x , 1) часто называют мерой иррациональности действительного числа  x . Для рациональных чисел ω ( x , 1) = 0 и не меньше 1 для иррациональных действительных чисел. Число Лиувилля определяется как имеющее бесконечную меру иррациональности. Теорема Рота гласит, что иррациональные вещественные алгебраические числа имеют меру иррациональности 1.

Мера превосходства комплексного числа [ править ]

Затем рассмотрим значения многочленов при комплексном числе x , когда эти многочлены имеют целые коэффициенты, степень не выше n и высоту не выше H , где n , H - положительные целые числа.

Пусть m ( x , n , H ) будет минимальным ненулевым абсолютным значением, которое такие многочлены принимают в x и принимают:

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,n,H).}$

Предположим, что это бесконечно для некоторого минимального натурального числа  n . Комплексное число x в этом случае называется U-числом степени  n .

Теперь мы можем определить

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\,\omega (x,n).}$

ω ( х ) часто называют меру трансцендентности от  й . Если ω ( х , п ) ограничены, то ω ( х ) конечна, и х называется число S . Если ω ( х , п ) является конечным , но неограничен, х называются Т - номер . x  является алгебраическим тогда и только тогда, когда ω ( x ) = 0.

Ясно, что числа Лиувилля являются подмножеством чисел U. Уильям Левек в 1953 году построил числа U любой желаемой степени. ^[23] числа Лиувиллевы и , следовательно , числа U являются несчетные множества. Это множества меры 0. ^[24]

T-числа также составляют набор меры 0. ^[25] Потребовалось около 35 лет, чтобы показать их существование. Вольфганг М. Шмидт в 1968 году показал, что примеры существуют. Однако почти все комплексные числа являются числами S. ^[26] Малер доказал, что экспоненциальная функция переводит все ненулевые алгебраические числа в S-числа: ^{[27] [28]} это показывает, что e является S-числом, и дает доказательство трансцендентности π . Это число π, как известно, не является числом U. ^[29] Многие другие трансцендентные числа остаются несекретными.

Два числа x , y называются алгебраически зависимыми, если существует ненулевой многочлен P от двух неопределенных с целыми коэффициентами, такой что P ( x ,  y ) = 0. Существует мощная теорема о том, что два алгебраически зависимых комплексных числа принадлежат к тот же класс Малера. ^{[23] [30]} Это позволяет строить новые трансцендентные числа, такие как сумма числа Лиувилля с e или  π .

Символ S, вероятно, означал имя учителя Малера Карла Людвига Сигеля , а T и U - всего лишь следующие две буквы.

Эквивалентная классификация Коксмы [ править ]

Юрьен Коксма в 1939 году предложил другую классификацию, основанную на приближении алгебраическими числами. ^{[22] [31]}

Рассмотрим приближение комплексного числа х с помощью алгебраических чисел степени ≤  п и высоты ≤  H . Пусть α - такое алгебраическое число этого конечного множества, что | х  - α | имеет минимальное положительное значение. Определим ω * ( x , H , n ) и ω * ( x , n ) следующим образом:

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega ^{*}(x,n,H).}$

Если для наименьшего положительного целого числа n ω * ( x , n ) бесконечно, x называется U * -числом степени  n .

Если ω * ( x , n ) ограничены и не сходятся к 0, x называется S * -числом ,

Число x называется A * -числом, если ω * ( x , n ) сходится к 0.

Если все ω * ( x , n ) конечны, но не ограничены, x называется T * -числом ,

Классификации Коксмы и Малера эквивалентны в том, что они делят трансцендентные числа на одни и те же классы. ^[31] A * -чисел являются алгебраические числа. ^[26]

Конструкция Левека [ править ]

Позволять

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}.}$

Можно показать, что корень n- й степени из λ (числа Лиувилля) является U-числом степени n . ^[32]

Эту конструкцию можно улучшить, чтобы создать несчетное семейство U-чисел степени n . Пусть Z - множество, состоящее из всех остальных степеней 10 в приведенном выше ряду для λ. Множество всех подмножеств Z несчетно. Удаление любого из подмножеств Z из ряда для λ создает несчетное количество различных чисел Лиувилля, корни n- й степени которых являются U-числами степени n .

Тип [ редактировать ]

Верхняя грань последовательности {со ( х ,  п )} называется типом . Почти все действительные числа являются S числами типа 1, что минимально для действительных S чисел. Почти все комплексные числа являются S числами типа 1/2, который также минимален. Претензии почти всех чисел были предположены Малером и в 1965 году доказаны Владимиром Спринджуком. ^[33]

Открытые задачи [ править ]

Хотя теорема Гельфонда – Шнайдера доказала, что большой класс чисел трансцендентен, этот класс все еще был счетным. Многие известные математические константы до сих пор не известны как трансцендентные, а в некоторых случаях даже не известно, рациональны они или иррациональны. Неполный список можно найти здесь .

Основная проблема теории трансцендентности состоит в том, чтобы показать, что определенный набор чисел является алгебраически независимым, а не просто показать, что отдельные элементы трансцендентны. Итак, хотя мы знаем, что e и π трансцендентны, это не означает, что e  +  π трансцендентен, или другие их комбинации (кроме e ^π , постоянной Гельфонда , которая, как известно, трансцендентна). Еще одна серьезная проблема связана с числами, не связанными с экспоненциальной функцией. Основные результаты теории трансцендентности, как правило, вращаются вокруг e и функция логарифма, что означает, что обычно требуются совершенно новые методы для работы с числами, которые не могут быть выражены в терминах этих двух объектов элементарным способом.

Гипотеза Шануэля решила бы первую из этих проблем в некоторой степени, поскольку она касается алгебраической независимости и действительно подтвердила бы, что e + π трансцендентно. Однако он по-прежнему вращается вокруг экспоненциальной функции и поэтому не обязательно будет иметь дело с числами, такими как константа Апери или константа Эйлера – Маскерони . Еще одна чрезвычайно сложная нерешенная проблема - это так называемая проблема константы или идентичности . ^[34]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бейкер, Алан (1975). Теория трансцендентных чисел . издание в мягкой обложке 1990. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-20461-5. Zbl  0297.10013 .
• Гельфонд, АО (1960). Трансцендентные и алгебраические числа . Дувр. Zbl  0090.26103 .
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Аддисон-Уэсли. Zbl  0144.04101 .
• Натараджан, Сарадха ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы теории трансцендентных чисел . Springer Verlag . ISBN 978-981-15-4154-4.
• Спринджук, Владимир Григорьевич (1969). Проблема Малера в метрической теории чисел (1967) . Переводы математических монографий AMS. Перевод с русского Б. Фолькманна. Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-4442-6.
• Спринджук, Владимир Г. (1979). Метрическая теория диофантовых приближений . Серия Scripta по математике. Перевод с русского Ричарда А. Сильвермана. Предисловие Дональда Дж. Ньюмана. Вайли . ISBN 0-470-26706-2. Zbl  0482.10047 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Алан Бейкер и Гисберт Вюстхольц , Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2