Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры гласит , что каждый не- постоянной одной переменной полиномом с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень . Это включает в себя многочлены с действительными коэффициентами, поскольку каждое действительное число является комплексным числом, мнимая часть которого равна нулю.

Эквивалентное (по определению), теорема утверждает , что поле из комплексных чисел является алгебраически замкнутым .

Теорема также сформулирована следующим образом: каждый ненулевой многочлен от одной переменной степени n с комплексными коэффициентами имеет, если считать с кратностью , ровно n комплексных корней. Эквивалентность двух утверждений может быть доказана с помощью последовательного полиномиального деления .

Несмотря на свое название, нет чисто алгебраического доказательства теоремы, поскольку любое доказательство должно использовать некоторую форму аналитической полноты действительных чисел , что не является алгебраическим понятием . ^[1] Кроме того, это не фундамент для современной алгебры ; его название было дано в то время, когда алгебра была синонимом теории уравнений .

История [ править ]

Питер Рот в своей книге « Философская арифметика» (опубликованной в 1608 году в Нюрнберге Иоганном Ланценбергером) ^[2] писал, что полиномиальное уравнение степени n (с действительными коэффициентами) может иметь n решений. Альбер Жирар в своей книге L'invention nouvelle en l'Algèbre (опубликованной в 1629 г.) утверждал, что полиномиальное уравнение степени n имеет nрешения, но он не утверждал, что они должны быть действительными числами. Кроме того, он добавил, что его утверждение справедливо, «если уравнение не является неполным», имея в виду, что ни один коэффициент не равен 0. Однако, когда он подробно объясняет, что он имеет в виду, становится ясно, что он действительно считает, что его утверждение является правильным. всегда правда; например, он показывает, что уравнение, хотя и неполное, имеет четыре решения (с учетом кратностей): 1 (дважды) и${\ displaystyle x ^ {4} = 4x-3,}$${\ displaystyle -1 + я {\ sqrt {2}},}$${\ displaystyle -1-i {\ sqrt {2}}.}$

Как будет снова упомянуто ниже, из фундаментальной теоремы алгебры следует, что любой непостоянный многочлен с действительными коэффициентами может быть записан как произведение многочленов с действительными коэффициентами, степень которых равна 1 или 2. Однако в 1702 году Лейбниц ошибочно сказал что ни многочлен типа х ⁴ + ⁴ (с реальной и отличной от 0) может быть написана таким образом. Позже Николаус Бернулли сделал то же утверждение относительно многочлена x ⁴ - 4 x ³ + 2 x ² + 4 x + 4 , но получил письмо от Эйлерав 1742 г. ^[3], в котором было показано, что этот многочлен равен

${\ displaystyle \ left (x ^ {2} - (2+ \ alpha) x + 1 + {\ sqrt {7}} + \ alpha \ right) \ left (x ^ {2} - (2- \ alpha) x + 1 + {\ sqrt {7}} - \ alpha \ right),}$

с Кроме того , Эйлер указал, что${\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {4 + 2 {\ sqrt {7}}}}.}$

${\ displaystyle x ^ {4} + a ^ {4} = \ left (x ^ {2} + a {\ sqrt {2}} \ cdot x + a ^ {2} \ right) \ left (x ^ { 2} -a {\ sqrt {2}} \ cdot x + a ^ {2} \ right).}$

Первая попытка доказательства теоремы была предпринята Даламбером в 1746 году, но его доказательство было неполным. Среди других проблем он неявно предполагал теорему (теперь известную как теорема Пюизо ), которая не будет доказана до более чем столетия спустя с использованием фундаментальной теоремы алгебры. Другие попытки были предприняты Эйлером (1749 г.), де Фонсенексом (1759 г.), Лагранжем (1772 г.) и Лапласом (1795 г.). Эти последние четыре попытки неявно исходили из утверждения Жирара; чтобы быть более точным, существование решений предполагалось, и все, что оставалось доказать, это то, что их форма была a  +  bi для некоторых действительных чисел a иб . Говоря современным языком, Эйлер, де Фонсенекс, Лагранж и Лаплас предполагали существование поля расщепления полинома p ( z ).

В конце 18 века были опубликованы два новых доказательства, которые не предполагали существования корней, но ни одно из них не было полным. Один из них, принадлежащий Джеймсу Вуду и в основном алгебраический, был опубликован в 1798 году и был полностью проигнорирован. В доказательстве Вуда был алгебраический пробел. ^[4] Другой был опубликован Гауссом в 1799 году и был в основном геометрическим, но в нем был топологический пробел, который , как обсуждалось в Smale (1981) , заполнил только Александр Островский в 1920 году. ^[5] Первое строгое доказательство было опубликовано Арганом в 1806 году (и пересмотрено в 1813 году); ^[6]именно здесь впервые была сформулирована основная теорема алгебры для многочленов с комплексными коэффициентами, а не только для вещественных коэффициентов. Гаусс представил два других доказательства в 1816 году и еще одну неполную версию своего первоначального доказательства в 1849 году.

Первый учебник , содержащий доказательство теоремы был Коши «s Cours d'анализировать де l'École Royale Политехнического (1821). Он содержал доказательство Аргана, хотя Арганду это не приписывают.

Ни одно из приведенных до сих пор доказательств не является конструктивным . Именно Вейерштрасс впервые в середине XIX века поднял проблему нахождения конструктивного доказательства основной теоремы алгебры. Он представил свое решение, которое на современном языке сводится к комбинации метода Дюрана – Кернера с принципом продолжения гомотопии , в 1891 году. Другое доказательство такого рода было получено Хельмутом Кнезером в 1940 году и упрощено его сыном Мартином Кнезером в 1981 году.

Без использования счетного выбора невозможно конструктивно доказать фундаментальную теорему алгебры для комплексных чисел на основе действительных чисел Дедекинда (которые конструктивно не эквивалентны действительным числам Коши без счетного выбора). ^[7] Однако Фред Ричман доказал переформулированную версию теоремы, которая действительно работает. ^[8]

Доказательства [ править ]

Все нижеприведенные доказательства включают некоторый математический анализ или, по крайней мере, топологическую концепцию непрерывности действительных или сложных функций. Некоторые также используют дифференцируемые или даже аналитические функции. Этот факт привел к замечанию, что основная теорема алгебры не является ни фундаментальной, ни теоремой алгебры. ^{[ необходима цитата ]}

Некоторые доказательства теоремы только доказывают, что любой непостоянный многочлен с действительными коэффициентами имеет некоторый комплексный корень. Этого достаточно, чтобы установить теорему в общем случае, потому что для непостоянного многочлена p ( z ) с комплексными коэффициентами многочлен

${\ Displaystyle д (г) = п (г) {\ overline {р ({\ overline {z}})}}}$

имеет только действительные коэффициенты, и, если z является нулем q ( z ), то либо z, либо его сопряженный элемент является корнем p ( z ).

Большое количество неалгебраических доказательств теоремы использует тот факт (иногда называемый «леммой роста»), что полиномиальная функция n-й степени p ( z ), доминантный коэффициент которой равен 1, ведет себя как z ^n, когда | z | достаточно большой. Более точное утверждение: существует некоторое положительное действительное число R такое, что:

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} | z ^ {n} | <| p (z) | <{\ tfrac {3} {2}} | z ^ {n} |}$

когда | z | >  R .

Комплексно-аналитические доказательства [ править ]

Найдите замкнутый круг D радиуса r с центром в начале координат такой, что | p ( z ) | > | p (0) | всякий раз, когда | z | ≥  r . Минимум | p ( z ) | на D , который должен существовать , поскольку D является компактным , поэтому достигается в некоторой точке г ₀ во внутренней части D , но не в любой точке ее границы. Принцип максимума модуля (примененный к 1 / p ( z )) означает, что p ( z₀ ) = 0. Другими словами, z ₀ является нулем p ( z ).

Вариант этого доказательства не требует использования принципа максимума модуля (фактически, тот же аргумент с небольшими изменениями также дает доказательство принципа максимума модуля для голоморфных функций). Если от противного предположить, что a  : = p ( z ₀ ) ≠ 0, то, раскладывая p ( z ) по степеням z - z _0, мы можем написать

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Здесь c _j - это просто коэффициенты многочлена z → p ( z + z ₀ ), и мы позволяем k быть индексом первого коэффициента, следующего за постоянным членом, который не равен нулю. Но теперь мы видим, что для z, достаточно близкого к z _0, это имеет поведение, асимптотически аналогичное более простому полиному ,${\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}$

в том смысле, что (как легко проверить) функция

${\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|}$

ограничена некоторой положительной константой M в некоторой окрестности z ₀ . Следовательно, если мы определим и положим , то для любого достаточно малого положительного числа r (так что выполняется упомянутая выше оценка M ), используя неравенство треугольника, мы видим, что${\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

Когда r достаточно близко к 0, эта верхняя граница для | p ( z ) | строго меньше | a |, что противоречит определению z ₀ . (Геометрически мы нашли явное направление θ _0, такое, что если приблизиться к z ₀ с этого направления, можно получить значения p ( z ), меньшие по модулю, чем | p ( z ₀ ) |.)

Другое аналитическое доказательство может быть получено в соответствии с этим направлением мысли, наблюдая, что, поскольку | p ( z ) | > | p (0) | вне D минимум | p ( z ) | на всей комплексной плоскости достигается при z ₀ . Если | p ( z ₀ ) | > 0, то 1 / p - ограниченная голоморфная функция на всей комплексной плоскости, поскольку для каждого комплексного числа z | 1 / p ( z ) | ≤ | 1 / p ( z ₀ ) |. Применение теоремы Лиувилля, который утверждает, что ограниченная целая функция должна быть постоянной, это означало бы, что 1 / p постоянна и, следовательно, что p постоянна. Получили противоречие, поэтому p ( z ₀ ) = 0.

Еще одно аналитическое доказательство использует принцип аргумента . Пусть R будет положительным действительным числом, достаточно большим, чтобы каждый корень p ( z ) имел абсолютное значение меньше R ; такое число должно существовать, потому что каждая непостоянная полиномиальная функция степени n имеет не более n нулей. Для каждого r  >  R рассмотрим число

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}$

где c ( r ) - круг с центром в 0 и радиусом r, ориентированным против часовой стрелки; тогда принцип аргумента гласит, что это число является числом N нулей p ( z ) в открытом шаре с центром в 0 и радиусом r , который, поскольку r  >  R , является общим количеством нулей p ( z ). С другой стороны, интеграл от n / z вдоль c ( r ), деленный на 2π i , равен n. Но разница между двумя числами

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}$

Числитель интегрируемого рационального выражения имеет степень не выше n  - 1, а степень знаменателя равна n  + 1. Следовательно, указанное выше число стремится к 0 при r → + ∞. Но это число также равно N  -  n, поэтому N  =  n .

Еще одно комплексно-аналитическое доказательство можно дать, объединив линейную алгебру с теоремой Коши . Чтобы установить, что каждый комплексный многочлен степени n  > 0 имеет нуль, достаточно показать, что каждая комплексная квадратная матрица размера n  > 0 имеет (комплексное) собственное значение . ^[9] Доказательство последнего утверждения проводится от противоречия .

Пусть A - комплексная квадратная матрица размера n  > 0, а I _n - единичная матрица того же размера. Предположим, что A не имеет собственных значений. Рассмотрим резольвентную функцию

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},}$

которая является мероморфной функцией на комплексной плоскости со значениями в векторном пространстве матриц. Собственные значения A - это в точности полюсы R ( z ). Поскольку по предположению A не имеет собственных значений, функция R ( z ) является целой функцией и из теоремы Коши следует, что

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)\,dz=0.}$

С другой стороны, R ( z ) в виде геометрического ряда дает:

${\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }$

Эта формула справедлива вне замкнутого диска радиуса (далее оператор нормы из А ). Пусть Тогда${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle r>\|A\|.}$

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}$

(в котором только слагаемое k  = 0 имеет ненулевой интеграл). Противоречие, значит, у A есть собственное значение.

Наконец , теорема Руше дает, пожалуй, самое короткое доказательство теоремы.

Топологические доказательства [ править ]

Предположим минимум | p ( z ) | на всей комплексной плоскости достигается при z ₀ ; при доказательстве, использующем теорему Лиувилля, было видно, что такое число должно существовать. Мы можем записать p ( z ) в виде полинома от z  -  z ₀ : существует некоторое натуральное число k и некоторые комплексные числа c _k , c _{k  + 1} , ..., c _n такие, что c _k  ≠ 0 и:

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Если p ( z ₀ ) отлично от нуля, то если a является k- ^м корнем из - p ( z ₀ ) / c _k и если t положительно и достаточно мало, то | p ( z ₀  +  ta ) | <| p ( z ₀ ) |, что невозможно, так как | p ( z ₀ ) | это минимум | p | на D .

В качестве другого топологического доказательства от противного. Предположим, что многочлен p ( z ) не имеет корней и, следовательно, никогда не равен 0. Думайте о многочлене как о отображении комплексной плоскости в комплексную плоскость. Он отображает любой круг | z | =  R в замкнутый контур, кривую P ( R ). Мы будем рассматривать то , что происходит с обмоткой числа из P ( R ) в крайних , когда R очень велико , и когда R = 0. При Р достаточно большое число, то главный член г ^п о р ( г) доминирует над всеми другими терминами вместе взятыми; другими словами,

${\displaystyle \left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.}$

Когда z проходит круг один раз против часовой стрелки, затем вращается n раз против часовой стрелки вокруг начала координат (0,0), и P ( R ) аналогично. С другой стороны, с | z | = 0, кривая P (0) является просто единственной точкой p (0), которая должна быть отличной от нуля, потому что p ( z ) никогда не равна нулю. Таким образом, p (0) должен отличаться от начала координат (0,0), которое обозначает 0 на комплексной плоскости. Таким образом, число витков P (0) вокруг начала координат (0,0) равно 0. Теперь постоянное изменение R будет${\displaystyle Re^{i\theta }}$${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n)}$деформируйте петлю непрерывно . При некотором R номер намотки должен измениться. Но это может произойти только тогда , когда кривая P ( R ) включает в себя начало координат (0,0) для некоторого R . Но тогда для некоторого z на этом круге | z | =  R имеем p ( z ) = 0, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, в p ( z ) есть хотя бы один нуль.

Алгебраические доказательства [ править ]

Эти доказательства фундаментальной теоремы алгебры должны использовать следующие два факта о действительных числах, которые не являются алгебраическими, но требуют лишь небольшого количества анализа (точнее, теорему о промежуточном значении в обоих случаях):

• каждый многочлен с нечетной степенью и действительными коэффициентами имеет некоторый действительный корень;
• каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень.

Из второго факта вместе с квадратной формулой следует теорема для вещественных квадратичных многочленов. Другими словами, алгебраические доказательства основной теоремы на самом деле показывают, что если R - любое вещественно-замкнутое поле , то его расширение C = R ( √ −1 ) алгебраически замкнуто.

По индукции [ править ]

Как упоминалось выше, достаточно проверить утверждение «каждый непостоянный многочлен p ( z ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень». Это утверждение может быть доказано индукцией по наибольшему неотрицательному целому числу k, такому что 2 ^k делит степень n числа p ( z ). Пусть будет коэффициент г ^п в р ( г ) и пусть F быть полем разложения из р ( г ) над С ; другими словами, поле F содержитC и есть элементы z ₁ , z ₂ , ..., z _n в F такие, что

${\displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).}$

Если k  = 0, то n нечетно, и поэтому p ( z ) имеет вещественный корень. Теперь предположим, что n  = 2 ^k m (с нечетным m и k  > 0) и что теорема уже доказана, когда степень многочлена имеет вид 2 ^{k  - 1} m ′ с нечетным m ′. Для действительного числа t определите:

${\displaystyle q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).}$

Тогда коэффициенты q _t ( z ) являются симметричными многочленами от z _i с действительными коэффициентами. Следовательно, они могут быть выражены как полиномы с действительными коэффициентами в элементарных симметричных полиномах , то есть in - a ₁ , a ₂ , ..., (−1) ⁿ a _n . Таким образом, q _t ( z ) фактически имеет действительные коэффициенты. Кроме того, степень q _t ( z ) равна n ( n  - 1) / 2 = 2 ^k−1 m ( n  - 1), а m ( n  - 1) - нечетное число. Итак, используя предположение индукции, q _t имеет по крайней мере один комплексный корень; другими словами, z _i  +  z _j  +  tz _i z _j является комплексным для двух различных элементов i и j из {1, ..., n }. Поскольку действительных чисел больше, чем пар ( i , j ), можно найти различные действительные числа t и s такие, что z _i  +  z_j  +  tz _i z _j и z _i  +  z _j  +  sz _i z _j являются комплексными (для тех же i и j ). Итак, как z _i  +  z _{j, так} и z _i z _j - комплексные числа. Легко проверить, что каждое комплексное число имеет комплексный квадратный корень, следовательно, каждый комплексный многочлен степени 2 имеет комплексный корень по формуле корней квадратного уравнения. Отсюда следует, что z _i и z _jявляются комплексными числами, так как они являются корнями квадратичного многочлена z ²  - ( z _i  +  z _j ) z  +  z _i z _j .

Джозеф Шипман показал в 2007 году, что предположение о том, что многочлены нечетной степени имеют корни, сильнее, чем необходимо; любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто (поэтому «нечетное» можно заменить на «нечетное простое», и это верно для полей всех характеристик). ^[10] Для аксиоматизации алгебраически замкнутых полей это лучший вариант, поскольку есть контрпримеры, если исключить одно простое число. Однако эти контрпримеры полагаются на квадратный корень −1. Если мы возьмем поле, в котором −1 не имеет квадратного корня, и каждый многочлен степени n  ∈  I имеет корень, где I - любое фиксированное бесконечное множество нечетных чисел, то каждый многочлен f ( x) нечетной степени имеет корень (так как ( x ² + 1) ^k f ( x ) имеет корень, где k выбрано так, что deg ( f ) + 2 k ∈ I ). Мохсен Алиабади обобщил ^{[ сомнительно - обсудить ]} результат Шипмана в 2013 году, предоставив независимое доказательство того, что достаточным условием алгебраической замкнутости произвольного поля (любой характеристики) является наличие корня для каждого многочлена простой степени. ^[11]

Из теории Галуа [ править ]

Другое алгебраическое доказательство основной теоремы может быть дано с помощью теории Галуа . Достаточно показать, что C не имеет собственного конечного расширения поля . ^[12] Пусть K / C - конечное расширение. Так как нормальное замыкание из K над R все еще имеет конечную степень над C (или R ), можно считать , без ограничения общности , что К является нормальным расширением из R (следовательно , она является расширением Галуа , так как каждое алгебраическим расширение поля изхарактеристика 0 отделима ). Пусть G является группой Галуа этого расширения, и пусть Н быть Силова 2-подгруппа группы G , так что порядок из Н является степенью 2, а индекс из H в G нечетно. По основной теореме теории Галуа , существует подрасширение L из K / R такое , что Gal ( К / л ) =  Н . Как [ L : R ] = [G : H ] нечетно, и нет никаких нелинейных неприводимых вещественных многочленов нечетной степени, мы должны иметь L  = R , таким образом, [ K : R ] и [ K : C ] являются степенями двойки. Предполагая от противного, что [ K : C ]> 1, заключаем, что 2-группа Gal ( K / C ) содержит подгруппу индекса 2, поэтому существует подрасширение M группы C степени 2. Однако Cне имеет расширения степени 2, потому что каждый квадратный комплексный многочлен имеет комплексный корень, как упоминалось выше. Это показывает, что [ K : C ] = 1, а значит, K = C , что завершает доказательство.

Геометрические доказательства [ править ]

Существует еще один способ приблизиться к фундаментальной теореме алгебры, предложенный Дж. М. Альмирой и А. Ромеро: римановы геометрические аргументы. Основная идея здесь , чтобы доказать , что существование непостоянного полинома р ( г ) без нулей предполагает существование такой плоская римановая метрики над сферой S ² . Это приводит к противоречию, поскольку сфера не плоская.

Риманова поверхность ( M , g ) называется плоской, если ее гауссова кривизна, которую мы обозначим через K _g , тождественно равна нулю. Теперь, Гаусс-Бонн теорема , применительно к сфере S ² , утверждает , что

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

что доказывает, что сфера не плоская.

Предположим теперь, что n > 0 и

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

для каждого комплексного числа z . Определим

${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Очевидно, что р * ( г ) ≠ 0 для всех г в С . Рассмотрим многочлен f ( z ) =  p ( z ) p * ( z ). Тогда е ( г ) ≠ 0 для каждого г в С . Более того,

${\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).}$

Мы можем использовать это функциональное уравнение, чтобы доказать, что g , заданное формулой

${\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}$

для w в C и

${\displaystyle g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}}$

для ш  ∈  S ² \ {0}, является хорошо определена риманова метрика над сферой S ² (который мы определить с расширенной комплексной плоскости C  ∪ {∞}).

Теперь простое вычисление показывает, что

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C} :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}$

поскольку действительная часть аналитической функции гармонична. Это доказывает, что K _g  = 0.

Следствия [ править ]

Поскольку основную теорему алгебры можно рассматривать как утверждение, что поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым , отсюда следует, что любая теорема, касающаяся алгебраически замкнутых полей, применима к полю комплексных чисел. Вот еще несколько следствий теоремы, которые касаются либо поля действительных чисел, либо связи между полем действительных чисел и полем комплексных чисел:

• Поле комплексных чисел - это алгебраическое замыкание поля действительных чисел.
• Каждый многочлен от одной переменной г с комплексными коэффициентами является произведением комплексной константы и многочленов вида г  +  с с комплексом.
• Каждый многочлен от одной переменной х с вещественными коэффициентами может быть однозначно записано как произведение константы, полиномы вида х  +  с более реально, и многочленов вида х ²  +  ах  +  Ь с и б реальной и в ²  - 4 b  <0 (это то же самое, что сказать, что многочлен x ²  +  ax  +  b не имеет действительных корней). (По теореме Абеля – Руффини действительные числа a и bне обязательно выражаются в терминах коэффициентов полинома, основных арифметических операций и извлечения корней n -й степени.) Это означает, что количество невещественных комплексных корней всегда четно и остается даже при их подсчете с учетом их кратности.
• Каждую рациональную функцию от одной переменной x с действительными коэффициентами можно записать как сумму полиномиальной функции с рациональными функциями вида a / ( x  -  b ) ⁿ (где n - натуральное число, а a и b - действительные числа) и рациональные функции вида ( ax  +  b ) / ( x ²  +  cx  +  d ) ⁿ (где n - натуральное число, а a , b , c иd - действительные числа такие, что c ²  - 4 d  <0). Следствием этого является то, что всякая рациональная функция от одной переменной и вещественными коэффициентами имеет элементарный примитивный .
• Каждое алгебраическое расширение вещественного поля изоморфно либо вещественному полю, либо комплексному полю.

Границы нулей многочлена [ править ]

Хотя основная теорема алгебры утверждает общий результат существования, представляет определенный интерес, как с теоретической, так и с практической точки зрения, иметь информацию о расположении нулей данного многочлена. Более простой результат в этом направлении изобилует модулем: все нули ζ монического многочлена удовлетворяют неравенству | ζ | ≤ R _∞ , где${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$

${\displaystyle R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.}$

Обратите внимание, что, как указано, это еще не результат существования, а скорее пример того, что называется априорной оценкой: в нем говорится, что если есть решения, то они лежат внутри замкнутого круга с центром в начале координат и радиусом R _∞ . Однако в сочетании с основной теоремой алгебры он говорит, что на самом деле диск содержит по крайней мере одно решение. В более общем случае оценка может быть дано непосредственно в терминах любой р-нормы в п -вектором коэффициентов , который | ζ | ≤ R _p , где R _p - это в точности q -норма 2-вектора q, являющегося сопряженным показателем${\displaystyle a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}),}$${\displaystyle (1,\|a\|_{p}),}$ р , для любого 1 ≤ р ≤ ∞. Таким образом, модуль любого решения также ограничен величиной${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$

${\displaystyle R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},}$

${\displaystyle R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},}$

для 1 < p <∞ и, в частности,

${\displaystyle R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}}$

(где мы определим в _п означает 1, что является разумным , так как 1 действительно п -й коэффициент нашего многочлена). Случай общего многочлена степени n ,

${\displaystyle P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},}$

это, конечно , сводится к случаю унитарный, разделив все коэффициенты с помощью в _п ≠ 0. Кроме того , в случае, когда 0 не является корнем, т.е. ₀ ≠ 0, оценки снизу на корнях ζ следуют непосредственно в пределах от выше на , то есть корни${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta }}}$

${\displaystyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.}$

И, наконец, расстояние от корней z , в любую точку можно оценить снизу и сверху, видя как нули полинома , коэффициенты которого являются разложение Тейлора из Р ( г ) в${\displaystyle |\zeta -\zeta _{0}|}$${\displaystyle \zeta _{0}}$${\displaystyle \zeta -\zeta _{0}}$${\displaystyle P(z+\zeta _{0})}$${\displaystyle z=\zeta _{0}.}$

Пусть ζ - корень многочлена

${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};}$

для доказательства неравенства | ζ | ≤ R _p можно, конечно, считать | ζ | > 1. Запишем уравнение в виде

${\displaystyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},}$

и используя неравенство Гёльдера, находим

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.}$

Теперь, если p = 1, это

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},}$

таким образом

${\displaystyle |\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.}$

В случае 1 < p ≤ ∞ с учетом формулы суммирования геометрической прогрессии имеем

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},}$

таким образом

${\displaystyle |\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}}$

и упрощая,

${\displaystyle |\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.}$

Следовательно

${\displaystyle |\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}}$

выполняется для всех 1 ≤ p ≤ ∞.

См. Также [ править ]

• Теорема факторизации Вейерштрасса , обобщение теоремы на другие целые функции

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Исторические источники [ править ]

• Коши, Огюстен-Луи (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1 ère partie: Analyze Algébrique , Paris: Éditions Jacques Gabay (опубликовано в 1992 г.), ISBN 978-2-87647-053-8(Тр. Курс анализа Королевской политехнической академии , часть 1: Алгебраический анализ)
• Эйлер, Леонард (1751), "Recherches sur les racines imaginaires des équations" , Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin , Берлин, 5 , стр. 222–288. Английский перевод: Эйлер, Леонард (1751), «Исследования мнимых корней уравнений» (PDF) , Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin , Берлин, 5 , стр. 222–288
• Гаусс, Карл Фридрих (1799), Demonstratio nova Theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse , Helmstedt : C.G Fleckeisen (tr. Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени).
• Гаусс, Карл Фридрих (1866), Карл Фридрих Гаусс Верке , Группа III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
  1. Demonstratio nova Theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), стр. 1–31. , п. 1 в Google Книгах - первое доказательство.
  2. Demonstratio nova altera Theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (декабрь 1815 г.), стр. 32–56. , п. 32, в Google Книгах - второе доказательство.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrum in factores reales демонстрация tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816, январь), стр. 57–64. , п. 57, в Google Книгах - третье доказательство.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), стр. 71–103. , п. 71, в Google Книгах - четвертое доказательство.
• Кнезер, Хельмут (1940), "Der Fundamentalsatz дер алгебры унд дер Intuitionismus" , Mathematische Zeitschrift , 46 ., Стр 287-302, DOI : 10.1007 / BF01181442 , ISSN  0025-5874(Основная теорема алгебры и интуиционизма ).
• Кнезер, Martin (1981), "Ergänzung цу етег Arbeit фон Хельмут Кнезер über ден Fundamentalsatz дер Алгебра" , Mathematische Zeitschrift , 177 (2), стр 285-287,. Дои : 10.1007 / BF01214206 , ISSN  0025-5874(tr. Расширение работы Хельмута Кнезера по фундаментальной теореме алгебры).
• Островский, Александр (1920), "Uber den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra" , Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2 (Тр. О первом и четвертом гауссовских доказательствах основной теоремы алгебры).
• Вейерштрасс, Карл (1891). "Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze обоснование Функция einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen" . Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . С. 1085–1101. (tr. Новое доказательство теоремы о том, что каждая целая рациональная функция одной переменной может быть представлена ​​как произведение линейных функций той же переменной).

Недавняя литература [ править ]

• Альмира, JM; Ромеро, А. (2007), "Еще одно приложение теоремы Гаусса-Бонне для сферы" , Бюллетень Бельгийского математического общества , 14 , стр. 341–342.
• Альмира, JM; Ромеро, А. (2012), "Некоторые римановы геометрические доказательства фундаментальной теоремы алгебры" (PDF) , Дифференциальная геометрия - Динамические системы , 14 , стр. 1–4
• де Оливейра, ORB (2011), «Основная теорема алгебры: элементарное и прямое доказательство», Mathematical Intelligencer , 33 (2), стр. 1-2, doi : 10.1007 / s00283-011-9199-2
• де Оливейра, ORB (2012), «Фундаментальная теорема алгебры: из четырех основных операций», American Mathematical Monthly , 119 (9), стр. 753–758, arXiv : 1110.0165 , doi : 10.4169 / amer.math.monthly .119.09.753
• Хорошо, Бенджамин; Розенбергер, Герхард (1997), Основная теорема алгебры , Тексты для студентов по математике , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94657-3, Руководство по ремонту  1454356
• Герстен, С.М.; Столлингс, Джон Р. (1988), «О первом доказательстве Гаусса фундаментальной теоремы алгебры», Proceedings of the AMS , 103 (1), pp. 331–332, doi : 10.2307 / 2047574 , ISSN  0002-9939 , JSTOR  2047574
• Жилен, Кристиан (1991), «Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et Calcul intégral», Архив истории точных наук , 42 (2), стр. 91–136, doi : 10.1007 / BF00496870 , ISSN  0003-9519(Тр. по истории фундаментальной теоремы алгебры: теории уравнений и интегрального исчисления .)
• Нетто, Евгений ; Ле Вавассер, Раймон (1916), «rationnelles §80–88: Le théorème fondamental», в Мейере, Франсуа; Молк, Жюль (ред.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, том I, т. 2 , Издания Жака Габа (опубликовано в 1992 г.), ISBN 978-2-87647-101-6 (Тр. Рациональные функции §80–88: основная теорема).
• Реммерт, Райнхольд (1991), «Основная теорема алгебры», в Эббингауз, Хайнц-Дитер; Гермес, Ганс; Хирцебрух, Фридрих (ред.), Числа , Тексты для выпускников по математике 123, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97497-2
• Шипман, Джозеф (2007), "Совершенствование основной теоремы алгебры", Математическая Интеллидженсер , 29 . (4), с 9-14, DOI : 10.1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
• Смейл, Стив (1981), "Основная теорема алгебры и теории сложности", Бюллетень (новая серия) Американского математического общества , 4 (1) [3]
• Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике , Дувр , ISBN 978-0-486-64690-9
• Кузниц, Frank (2000), "Забытая бумаги на основной теоремы алгебры", заметки и отчеты Королевского общества , 54 (3), стр 333-341,. DOI : 10.1098 / rsnr.2000.0116 , ISSN  0035-9149
• Тейлор, Пол (2 июня 2007 г.), второе доказательство Гаусса основной теоремы алгебры - Английский перевод второго доказательства Гаусса.
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra , I (7-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-40624-4

Внешние ссылки [ править ]

Латинский Wikisource имеет оригинальный текст, связанный с этой статьей: Первое доказательство Гаусса

• Алгебра, основная теорема в энциклопедии математики
• Основная теорема алгебры  - сборник доказательств
• От фундаментальной теоремы алгебры к астрофизике: «гармоничный» путь
• Первое доказательство Гаусса (на латыни) в Google Книгах
• Первое доказательство Гаусса (на латыни) в Google Книгах
• Подтверждение системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74