В алгебре , то теория уравнений является изучением алгебраических уравнений (также называемое «полиномиальных уравнения»), которые являются уравнением , определяемым с помощью полинома . Основная проблема теории уравнений заключалась в том, чтобы узнать, когда алгебраическое уравнение имеет алгебраическое решение . Эта проблема была полностью решена в 1830 году Эваристом Галуа , введя то, что сейчас называется теорией Галуа .
До Галуа не существовало четкого различия между «теорией уравнений» и «алгеброй». С тех пор алгебра была значительно расширена и теперь включает множество новых областей, а теории алгебраических уравнений уделяется гораздо меньше внимания. Таким образом, термин «теория уравнений» в основном используется в контексте истории математики , чтобы избежать путаницы между старым и новым значениями термина «алгебра».
История
До конца XIX века «теория уравнений» была почти синонимом «алгебры». Долгое время основной проблемой было найти решение одного нелинейного полиномиального уравнения с одним неизвестным . Тот факт, что комплексное решение всегда существует, является основной теоремой алгебры , которая была доказана только в начале XIX века и не имеет чисто алгебраического доказательства. Тем не менее, главной задачей алгебраистов было решить в терминах радикалов, то есть выразить решения формулой, построенной с помощью четырех операций арифметики и корней n-й степени . Это было сделано до четвертой степени в 16 веке. Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья открыли решения для кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге 1545 года Ars Magna вместе с решением уравнений четвертой степени , обнаруженным его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою «Алгебру», в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами, которые могут появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.
Случай более высоких степеней оставался открытым до 19 века, когда Нильс Хенрик Абель доказал, что некоторые уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах ( теорема Абеля – Руффини ), а Эварист Галуа ввел теорию (в настоящее время называемую теорией Галуа ), чтобы решить, какие уравнения решаются радикалами.
Дальнейшие проблемы
Другими классическими проблемами теории уравнений являются:
- Линейные уравнения : эта проблема была решена еще в древности.
- Одновременные линейные уравнения : общее теоретическое решение было предоставлено Габриэлем Крамером в 1750 году. Однако разработка эффективных методов ( алгоритмов ) для решения этих систем остается активным предметом исследований, которые теперь называются линейной алгеброй .
- Нахождение целочисленных решений уравнения или системы уравнений. Эти проблемы теперь называются диофантовыми уравнениями , которые считаются частью теории чисел (см. Также целочисленное программирование ).
- Системы полиномиальных уравнений : из-за своей сложности эти системы, за некоторыми исключениями, изучались только со второй половины XIX века. Они привели к развитию алгебраической геометрии .