История математики

Доказательство из « Элементов » Евклида (ок. 300 г. до н.э.), считающихся самым влиятельным учебником всех времен. ^[1]

Таблица цифр

Область исследования, известная как история математики, - это прежде всего исследование происхождения открытий в математике и, в меньшей степени, исследование математических методов и обозначений прошлого . До наступления современной эпохи и всемирного распространения знаний письменные примеры новых математических разработок появлялись лишь в нескольких местах. С 3000 г. до н.э. месопотамские государства Шумер , Аккад и Ассирия , за которыми следуют Древний Египет и левантийское государство Эбла, начали использовать арифметику , алгебру.и геометрия для целей налогообложения, коммерции, торговли, а также в закономерностях в природе , в области астрономии, а также для записи времени и составления календарей .

Самые ранние математические тексты доступны взяты из Месопотамии и Египта - Плимптон 322 ( Вавилонские с 2000 -. 1900 до н.э.), ^[2] Папирус Ахмес ( Египетский с 1800 г. до н.э.) . ^[3] и Московский математический папирус (Египетские с 1890. ДО Н.Э). Во всех этих текстах упоминаются так называемые тройки Пифагора , поэтому, исходя из этого, теорема Пифагора кажется наиболее древним и широко распространенным математическим развитием после основ арифметики и геометрии.

Изучение математики как «демонстративная дисциплина» начинается в 6 веке до н.э. с пифагорейцами , который ввел термин «математику» от древнего греческого μάθημα ( mathema ), что означает «предмет обучения». ^[4] Греческая математика значительно усовершенствовала методы (особенно за счет введения дедуктивного мышления и математической строгости в доказательствах ) и расширила предмет математики. ^[5] Хотя они практически не внесли вклад в теоретическую математику , древние римляне использовали прикладную математику в геодезии., строительная инженерия , машиностроение , бухгалтерия , создание лунных и солнечных календарей и даже декоративно-прикладное искусство . Китайская математика внесла ранний вклад, в том числе систему числовых значений и первое использование отрицательных чисел . ^{[6] [7]} индо-арабская система цифры и правила использования своих операций, используемые во всем мире сегодня эволюционировал в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западном мире черезИсламская математика через работы Мухаммада ибн Муса аль-Хваризми . ^{[8] [9]} Исламская математика, в свою очередь, развила и расширила математику, известную этим цивилизациям. ^[10] Одновременно с этими традициями, но независимо от них была математика, разработанная цивилизацией майя в Мексике и Центральной Америке , где понятие нуля было дано стандартным символом в числах майя .

Многие греческие и арабские тексты по математике были переведены на латынь с XII века, что привело к дальнейшему развитию математики в средневековой Европе . С древних времен до средневековья периоды математических открытий часто сменялись столетиями застоя. Начиная с эпохи Возрождения в Италии 15 века, новые математические разработки, взаимодействующие с новыми научными открытиями, делались все более быстрыми темпами, которые продолжаются и по сей день. Сюда входят новаторские работы Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница по развитию исчисления бесконечно малых.в течение 17 века. В конце 19 века был основан Международный конгресс математиков, который продолжает возглавлять достижения в этой области. ^{[ необходима цитата ]}

Доисторический[ редактировать ]

Истоки математической мысли лежат в понятиях числа , закономерностей в природе , величине и форме . ^[11] Современные исследования познания животных показали, что эти концепции не уникальны для людей. Такие концепции были бы частью повседневной жизни в обществах охотников-собирателей. Идея концепции «числа», постепенно эволюционирующей с течением времени, подтверждается существованием языков, в которых сохраняется различие между «одним», «двумя» и «многими», но не между числами больше двух. ^[11]

Обнаруженные в Африке доисторические артефакты возрастом 20 000 лет и более предполагают ранние попытки определить время. ^{[ Не прошли проверку ]} кость ишанго , найденная у верховий Нила реки (северо - восток Конго ), может быть более чем 20000 лет и состоит из ряда знаков , вырезанных в трех колонках , работающих под управлением длиной кости. Общие интерпретации , что кости показывают Ishango либо в Талли из самой ранней известной демонстрации последовательностей из простых чисел ^[12] или шести месяцев лунного календаря.^[13] Питер Рудман утверждает, что развитие концепции простых чисел могло произойти только после концепции деления, которую он датирует после 10 000 г. до н.э., при этом простые числа, вероятно, не были поняты примерно до 500 г. до н.э. Он также пишет, что «не было предпринято никаких попыток объяснить, почему при подсчете чего-либо должно отображаться кратное двум, простые числа от 10 до 20 и некоторые числа, которые почти кратны 10». ^[14] Кость Ишанго, по мнению ученого Александра Маршака , могла повлиять на более позднее развитие математики в Египте, поскольку, как и некоторые записи о кости Ишанго, египетская арифметика также использовала умножение на 2; это, однако, оспаривается. ^[15]

Додинастические египтяне 5-го тысячелетия до нашей эры наглядно представляли геометрические узоры. Утверждалось, что мегалитические памятники в Англии и Шотландии , датируемые 3-м тысячелетием до нашей эры, включают в свой дизайн геометрические идеи, такие как круги , эллипсы и пифагорейские тройки . ^{[16] Однако} все вышеперечисленное оспаривается, и самые старые неоспоримые в настоящее время математические документы взяты из вавилонских и династических египетских источников. ^[17]

Вавилонский [ править ]

Вавилонская математика относится к любой математике народов Месопотамии (современный Ирак ) со времен ранних шумеров через эллинистический период почти до зари христианства . ^[18] Большая часть вавилонских математических работ происходит из двух сильно разделенных периодов: первые несколько сотен лет второго тысячелетия до нашей эры (древневавилонский период) и последние несколько столетий первого тысячелетия до нашей эры ( период Селевкидов ). ^[19] Он назван вавилонской математикой из-за центральной роли Вавилона как учебного заведения. Позже при арабской империиМесопотамия, особенно Багдад , снова стала важным центром изучения исламской математики .

В отличие от скудности источников по египетской математике , знания о вавилонской математике получены из более чем 400 глиняных табличек, обнаруженных с 1850-х годов. ^[20] Написанные клинописью , скрижали были начертаны, пока глина была влажной, и сильно запеченной в духовке или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них выглядят как домашние задания с оценками. ^[21]

Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним шумерам , которые построили самую раннюю цивилизацию в Месопотамии. Они разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н.э. Примерно с 2500 г. до н.э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и занимались геометрическими упражнениями и задачами деления . К этому периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр. ^[22]

Вавилонская математика была написана с использованием шестидесятеричной системы счисления (с основанием 60) . ^[20] Отсюда и происходит современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 (60 × 6) градусов по кругу, а также использование секунд и угловых минут для обозначения дробей. степени. Скорее всего, была выбрана шестидесятеричная система, потому что 60 можно равномерно разделить на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. ^[20] Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, У вавилонян была настоящая система счисления значений, где цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения, почти как в десятичной системе. ^[19]Сила вавилонской системы обозначений заключалась в том, что ее можно было использовать для представления дробей так же легко, как и целых чисел; таким образом, умножение двух чисел, содержащих дроби, ничем не отличалось от умножения целых чисел, аналогичных современным обозначениям. ^[19] нотационная система вавилонян была лучшей из любой цивилизации и до Ренессанса , ^[23] и его власть позволила ему добиться внушительной точности вычислений; например, вавилонская табличка YBC 7289 дает приблизительное значение √ 2 с точностью до пяти десятичных знаков. ^[23]Однако у вавилонян не было эквивалента десятичной запятой, и поэтому значение символа часто приходилось выводить из контекста. ^[19] К периоду Селевкидов вавилоняне разработали нулевой символ в качестве заполнителя для пустых позиций; однако он использовался только для промежуточных позиций. ^[19] Этот нулевой знак не появляется в конечных позициях, таким образом, вавилоняне подошли близко, но не разработали истинную систему позиционных значений. ^[19]

Другие темы, охватываемые вавилонской математикой, включают дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление регулярных чисел и их взаимных пар . ^[24] Таблички также включают таблицы умножения и методы решения линейных , квадратных и кубических уравнений , что является выдающимся достижением для того времени. ^[25] Таблицы древневавилонского периода также содержат самое раннее известное утверждение теоремы Пифагора . ^[26]Однако, как и в случае с египетской математикой, вавилонская математика не демонстрирует понимания разницы между точным и приближенным решениями или разрешимости проблемы, и, что наиболее важно, нет явного заявления о необходимости доказательств или логических принципов. ^[21]

Египетский [ править ]

Египетская математика - это математика, написанная на египетском языке . В эллинистический период , греческий заменить египетский как письменности египетских ученых. Математическое обучение в Египте позже продолжилось в Арабской империи как часть исламской математики , когда арабский язык стал письменным языком египетских ученых.

Самый обширный египетский математический текст - папирус Ринда (иногда также называемый папирусом Ахмеса по имени его автора), датируемый ок. 1650 г. до н.э., но, вероятно, это копия более старого документа из Среднего царства примерно 2000–1800 гг. До н.э. ^[27] Это инструкция для студентов, изучающих арифметику и геометрию. Помимо формул площадей и методов умножения, деления и работы с единичными дробями, он также содержит доказательства других математических знаний ^[28], включая составные и простые числа ; арифметические , геометрические и гармонические средства ; и упрощенное понимание какРешето Эратосфена и совершенная теория чисел (а именно числа 6). ^[29] Здесь также показано, как решать линейные уравнения первого порядка ^[30], а также арифметические и геометрические ряды . ^[31]

Другой важный египетский математический текст - Московский папирус , также относящийся к периоду Среднего царства , датируемый ок. 1890 г. до н.э. ^[32] Он состоит из того, что сегодня называется задачами со словами или задачами рассказа , которые, по всей видимости, были предназначены для развлечения. Одна из проблем , считается особенно важным , поскольку он дает метод для нахождения объема усеченной (усеченной пирамиды).

Наконец, Берлинский папирус 6619 (около 1800 г. до н.э.) показывает, что древние египтяне могли решать алгебраическое уравнение второго порядка . ^[33]

Греческий [ править ]

Греческая математика относится к математике, написанной на греческом языке со времен Фалеса Милетского (~ 600 г. до н.э.) до закрытия Афинской академии в 529 г. н.э. ^[34] Греческие математики жили в городах, разбросанных по всему Восточному Средиземноморью, от Италии до Северной Африки, но были объединены культурой и языком. Греческую математику периода после Александра Великого иногда называют эллинистической математикой. ^[35]

Греческая математика была намного сложнее, чем математика, разработанная более ранними культурами. Все сохранившиеся записи догреческой математики показывают использование индуктивных рассуждений , то есть повторных наблюдений, используемых для установления практических правил. Греческие математики, напротив, использовали дедуктивное мышление . Греки использовали логику, чтобы делать выводы из определений и аксиом, и использовали математическую строгость, чтобы их доказать . ^[36]

Считается, что греческая математика началась с Фалеса Милетского (ок. 624 - ок. 546 до н. Э.) И Пифагора из Самоса (ок. 582 - ок. 507 до н. Э.). Хотя степень влияния оспаривается, они, вероятно, были вдохновлены египетской и вавилонской математикой . Согласно легенде, Пифагор отправился в Египет, чтобы изучать математику, геометрию и астрономию у египетских жрецов.

Фалес использовал геометрию для решения таких задач, как вычисление высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое применение дедуктивного мышления в геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . В результате он был провозглашен первым настоящим математиком и первым известным человеком, которому приписывают математическое открытие. ^[37] Пифагор основал пифагорейскую школу , доктрина которой заключалась в том, что математика управляла вселенной, и девизом которой было «Все есть число». ^[38]Термин «математика» изобрели пифагорейцы, с которых начинается изучение математики как таковой. Пифагорейцы приписывают первое доказательство теоремы Пифагора , ^[39] , хотя утверждение теоремы имеет длинную историю, и с доказательством существования иррациональных чисел . ^{[40] [41]} Несмотря на то, что он был предшествует вавилонянами и китайцы , ^[42] в неопифагорейских математик Ником (60-120 н.э.) при условии , один из самой ранней греко-римской таблицы умножения, в то время как самая старая из сохранившихся греческих таблиц умножения находится на восковой табличке, датируемой I веком нашей эры (теперь она находится в Британском музее ). ^[43] Связь неопифагорейцев с западным изобретением таблицы умножения очевидна в ее более позднем средневековом названии: mensa Pythagorica . ^[44]

Платон (428/427 до н.э. - 348/347 до н.э.) важен в истории математики как источник вдохновения и руководства для других. ^[45] Его Платоновская академия в Афинах стала математическим центром мира в 4 веке до нашей эры, и именно из этой школы пришли ведущие математики того времени, такие как Евдокс Книдский . ^[46] Платон также обсудил основы математики, ^[47] разъяснил некоторые определения (например, определение линии как «длины без ширины») и реорганизовал предположения. ^[48] аналитический метод приписывается Платон, в то время как формула для получения пифагорейских троек носит его имя. ^[46]

Евдокс (408 – ок. 355 г. до н.э.) разработал метод исчерпания , предшественник современной интеграции ^[49] и теорию соотношений, которая избегала проблемы несоизмеримых величин . ^[50] Первый позволил рассчитывать площади и объемы криволинейных фигур, ^{[51] в} то время как последний позволил последующим геометрам добиться значительных успехов в геометрии. Хотя он не сделал никаких конкретных технических математических открытий, Аристотель (384–322 гг. До н.э.) внес значительный вклад в развитие математики, заложив основы логики . ^[52]

В 3 веке до н.э., главным центром математического образования и научных исследований был Александрийский Мусейон в Александрии . ^[54] Именно там Евклид (ок. 300 г. до н.э.) преподавал и написал « Элементы» , которые широко считаются самым успешным и влиятельным учебником всех времен. ^[1] элементы ввел математическую строгость через аксиоматического метода и является самым ранним примером формата до сих пор используется в математике сегодня, что определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Хотя большая часть содержания Элементов уже была известна, Евклид организовал их в единую логическую структуру.^[55] Elements был известен всем образованным людям на Западе до до середины 20го векаи его содержание все еще преподается в классах геометрии сегодня. ^[56] В дополнение к знакомым теоремам евклидовой геометрии , « Элементы» предназначались как вводный учебник для всех математических дисциплин того времени, таких как теория чисел , алгебра и твердотельная геометрия , ^[55] включая доказательства того, что квадратный корень из двух иррационально и что простых чисел бесконечно много. Евклид также много писал на другие темы, такие как конические сечения ,оптика , сферическая геометрия и механика, но сохранилась только половина его работ. ^[57]

Архимед (ок. 287–212 до н. Э.) Из Сиракуз , широко считавшийся величайшим математиком древности, ^[58] использовал метод исчерпания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда таким образом, чтобы не слишком непохоже на современное исчисление. ^[59] Кроме того, он показал , можно было бы использовать метод истощения , чтобы вычислить значение П с такой же точностью , по желанию, и получили наиболее точное значение П , то известное, 310/71 <π <310/70. ^[60] Кроме того, он изучал спираль , носящую его имя, полученные формулы для объемов от поверхностей вращения (параболоид, эллипсоид, гиперболоид), ^[59] и гениальный метод экспоненциации для выражения очень больших чисел. ^[61] Хотя он также известен своим вкладом в физику и несколько передовых механических устройств, сам Архимед придавал гораздо большее значение продуктам своей мысли и общим математическим принципам. ^[62]Он считал своим величайшим достижением открытие площади поверхности и объема сферы, которые он получил, доказав, что они равны 2/3 площади поверхности и объема цилиндра, ограничивающего сферу. ^[63]

Аполлоний Пергский (ок. 262–190 до н. Э.) Добился значительных успехов в изучении конических сечений , показав, что можно получить все три разновидности конических сечений, варьируя угол плоскости, разрезающей конус с двойным ворсом. ^[64] Он также придумал терминологию, используемую сегодня для конических сечений, а именно парабола («место рядом» или «сравнение»), «эллипс» («недостаток») и «гипербола» («бросок за пределы»). ^[65] Его работа « Коники» - одна из наиболее известных и сохранившихся математических работ античности, и в ней он выводит множество теорем, касающихся конических сечений, которые окажутся неоценимыми для более поздних математиков и астрономов, изучающих движение планет.такие как Исаак Ньютон. ^[66]Хотя ни Аполлоний, ни какие-либо другие греческие математики не сделали шага к координатной геометрии, обращение Аполлония с кривыми в некотором смысле похоже на современное рассмотрение, и некоторые из его работ, кажется, предвосхищают развитие аналитической геометрии Декартом примерно 1800 лет спустя. ^[67]

Примерно в то же время Эратосфен из Кирены (ок. 276–194 до н. Э.) Изобрел Сито Эратосфена для поиска простых чисел . ^[68] III век до н.э. обычно считается «золотым веком» греческой математики, с прогрессом в чистой математике, который с тех пор находится в относительном упадке. ^[69] Тем не менее, в последующие века значительные успехи были достигнуты в прикладной математике, особенно в тригонометрии , в основном для удовлетворения потребностей астрономов. ^[69] Гиппарх Никейский (ок. 190–120 до н. Э.) Считается основоположником тригонометрии для составления первой известной тригонометрической таблицы, и ему также обязано систематическое использование круга на 360 градусов.^[70] Герону Александрийскому (ок. 10–70 гг. Н. Э.) Приписывают формулу Герона для определения площади разностороннего треугольника и то, что он первым признал возможность отрицательных чисел, имеющих квадратные корни. ^[71] Менелай Александрийский (около 100 г. н.э.) впервые применил сферическую тригонометрию с помощью теоремы Менелая . ^[72] Наиболее полное и влиятельная тригонометрические произведение древности является Almagest из Птолемея (ок. 90-168 н.э.), знаковый астрономического трактата которого тригонометрические таблицы будут использоваться астрономамитечение следующих тысяч лет. ^[73] Птолемею также приписываютТеорема Птолемея для получения тригонометрических величин и наиболее точное значение π за пределами Китая до средневековья, 3.1416. ^[74]

После периода застоя после Птолемея, период между 250 и 350 годами нашей эры иногда называют «серебряным веком» греческой математики. ^[75] В этот период Диофант добился значительных успехов в алгебре , особенно в области неопределенного анализа , который также известен как «Диофантов анализ». ^[76] Изучение диофантовых уравнений и диофантовых приближений является важной областью исследований и по сей день. Его основной работой была Арифметика , сборник из 150 алгебраических задач, связанных с точными решениями определенных и неопределенных уравнений . ^[77]Арифметика оказала значительное влияние на более поздних математиков, таких как Пьер де Ферма , который пришел к своей знаменитой Великой теореме после попытки обобщить задачу, которую он прочитал в арифметике (разделение квадрата на два квадрата). ^[78] Диофант также добился значительных успехов в системе обозначений. Арифметика стала первым примером алгебраической символики и синкопии. ^[77]

Среди последних великих греческих математиков - Папп Александрийский (4 век нашей эры). Он известен своего шестиугольник теорема и медианы теоремы , а также конфигурации Паппа и хохолок граф . Его коллекция является основным источником знаний по греческой математике, поскольку большая ее часть сохранилась. ^[79] Папп считается последним крупным новатором в греческой математике, и его последующие работы состояли в основном из комментариев к более ранним работам.

Первой женщиной-математиком, зарегистрированной в истории, была Гипатия Александрийская (350–415 гг. Н. Э.). Ей удалось ее отца ( Теон Александрийский ) в качестве библиотекаря в Великой библиотеке ^{[ править ]} и написал много работ по прикладной математике. Из-за политического спора христианская община Александрии публично раздели и казнила ее. ^[80] Ее смерть иногда считают концом эры александрийской греческой математики, хотя работа продолжалась в Афинах еще столетие с такими фигурами, как Прокл , Симплиций и Евтокий . ^[81] Хотя Прокл и Симплиций были скорее философами, чем математиками, их комментарии к более ранним работам являются ценными источниками по греческой математике. Закрытие Афинской неоплатонической академии императором Юстинианом в 529 году нашей эры традиционно считается концом эры греческой математики, хотя греческая традиция не прерывалась в Византийской империи с такими математиками, как Антемий из Тралл и Исидор. Милета , архитекторы Святой Софии . ^[82] Тем не менее, византийская математика состояла в основном из комментариев, с небольшими нововведениями, и к тому времени центры математических инноваций можно было найти где-то еще. ^[83]

Роман [ править ]

Хотя этнические греческие математики продолжали оставаться под властью поздней Римской республики и последующей Римской империи , в сравнении с ними не было достойных коренных латинских математиков. ^{[84] [85]} Древние римляне, такие как Цицерон (106–43 до н.э.), влиятельный римский государственный деятель, изучавший математику в Греции, считали, что римские геодезисты и калькуляторы гораздо больше интересовались прикладной математикой, чем теоретической математикой и геометрией, которые ценились. греками. ^[86] Неясно, впервые ли римляне получилиих числовая система прямо заимствована из греческого прецедента или из этрусских цифр, используемых этрусской цивилизацией, центром которой является нынешняя Тоскана , центральная Италия . ^[87]

Используя вычисления, римляне умели как подстрекать к финансовым махинациям , так и обнаруживать их , а также управляли налогами в казну . ^[88] Сикулус Флаккус , один из римских gromatici (то есть землемер), написал Категории полей , которые помогли римским геодезистам измерить площади выделенных земель и территорий. ^[89] Помимо управления торговлей и налогов, римляне также регулярно применяли математику для решения инженерных задач , включая возведение архитектурных сооружений, таких как мосты , строительство дорог., и подготовка к военным походам . ^[90] Искусство и ремесла, такие как римские мозаики , вдохновленные предыдущими греческими узорами , создали иллюзионистские геометрические узоры и богатые, подробные сцены, которые требовали точных измерений для каждой плитки тессеры , кусочков opus tessellatum в среднем размером восемь квадратных миллиметров и более тонкого opus vermiculatum части, имеющие среднюю площадь четыре квадратных миллиметра. ^{[91] [92]}

Создание римского календаря также потребовало основ математики. Первый календарь якобы восходит к 8 веку до нашей эры во времена Римского царства и включал 356 дней плюс високосный год через год. ^[93] Напротив, лунный календарь республиканской эры содержал 355 дней, что примерно на десять с четвертью дней короче солнечного года , и это несоответствие было устранено добавлением дополнительного месяца в календарь после 23 февраля. . ^[94] Этот календарь был вытеснен юлианским календарем , солнечным календарем, организованным Юлием Цезарем (100–44 до н.э.) и разработаннымСосигену Александрийскому включить високосный день каждые четыре года в 365-дневный цикл. ^[95] Этот календарь, который содержал ошибку 11 минут и 14 секунд, был позже исправлен григорианским календарем , организованного Папа Грегори XIII ( т . 1572-1585 ), практически такой же солнечный календарь , используемый в наше время в качестве международного стандарта календарь. ^[96]

Примерно в то же время ханьцы и римляне изобрели колесный одометр для измерения пройденного расстояния , римскую модель, впервые описанную римским инженером-строителем и архитектором Витрувием (ок. 80 г. до н. Э. - ок. 15 до н. Э.). ^[97] Устройство не использовалось по крайней мере , до царствования императора Коммода ( г 177 - 192. Н.э. ), но его дизайн , кажется, было потеряно , пока эксперименты не были сделаны в 15 - м веке в Западной Европе. ^[98] Возможно, полагаясь на аналогичные механизмы и технологии, найденные в механизме Antikythera.На одометре Витрувия были колеса колесницы диаметром 4 фута (1,2 м), совершавшие четыре сотни оборотов за одну римскую милю (примерно 4590 футов / 1400 м). С каждым оборотом ось с цапфой зацеплялась с зубчатым колесом с 400 зубьями, которое вращало вторую шестерню, которая сбрасывала камешки в ящик, причем каждый камешек представлял пройденную милю. ^[99]

Китайский [ править ]

Анализ ранней китайской математики продемонстрировал ее уникальное развитие по сравнению с другими частями мира, что заставило ученых предположить совершенно независимое развитие. ^[100] Самый старый сохранившийся математический текст из Китая является Zhoubi Suanjing , по- разному датируется между 1200 г. до н.э. до 100 г. до н.э., хотя дата около 300 г. до н.э. во время периода Воюющих государств представляется разумной. ^[101] Однако бамбуковые палочки Цинхуа , содержащие самую раннюю из известных десятичных таблиц умножения (хотя у древних вавилонян были таблицы с основанием 60), датируются примерно 305 годом до нашей эры и, возможно, являются самым старым из сохранившихся математических текстов Китая. ^[42]

Особо следует отметить использование в китайской математике десятичной позиционной системы счисления, так называемых «стержневых чисел», в которых различные шифры использовались для чисел от 1 до 10, а дополнительные шифры - для степеней десяти. ^[102] Таким образом, число 123 будет записано с использованием символа «1», за которым следует символ «100», затем символ «2», за которым следует символ «10», за которым следует символ « 3 дюйма. Это была самая продвинутая система счисления в мире в то время, очевидно, использовавшаяся за несколько веков до нашей эры и задолго до развития индийской системы счисления.^[103] Стержневые цифры позволяли отображать числа сколь угодно большого размера и позволяли проводить расчеты на сковороде., или китайские счеты. Датой изобретения Суан сковороду не уверен, но ранние письменные упоминания даты от 190 г. н.э., в Сю Юэ «s Дополнительные замечания по Искусству фиг .

Самая старая существующая работа по геометрии в Китае происходит из философского канона Моизма ок. 330 г. до н.э., составлено последователями Мози (470–390 гг. До н.э.). Мо Цзин описаны различные аспекты многих областях , связанных с физической наукой, и при условии , небольшое количество геометрических теорем , а также. ^[104] Он также определяет понятия окружности , диаметра , радиуса и объема . ^[105]

В 212 г. до н.э. император Цинь Шихуан приказал сжечь все книги в Империи Цинь, кроме официально разрешенных. Этот указ не повсеместно соблюдался, но, как следствие этого приказа, мало что известно о древней китайской математике до этой даты. После сожжения книг в 212 г. до н.э. династия Хань (202 г. до н.э. - 220 г. н.э.) выпустила математические работы, которые предположительно расширили труды, которые сейчас утеряны. Самая важная из них - Девять глав математического искусства., полное название которого появилось к 179 году нашей эры, но частично существовало под другими названиями до этого. Он состоит из 246 задач, связанных с сельским хозяйством, бизнесом, использованием геометрии для вычисления пролетов высот и соотношений размеров башен китайских пагод , инженерного дела, геодезии и включает материалы о прямоугольных треугольниках . ^[101] Он создал математическое доказательство теоремы Пифагора , ^[106] и математическую формулу для исключения Гаусса . ^[107] Трактат также предоставляет значения π , ^[101] которые китайские математики первоначально аппроксимировали равными 3, пока Лю Синь(ум. 23 г. н.э.) предоставил цифру 3,1457, а затем Чжан Хэн (78–139) аппроксимировал число пи как 3,1724, ^[108], а также 3,162, взяв квадратный корень из 10. ^{[109] [110]} Лю Хуэй прокомментировал это. в главах Девять в 3 веке нашей эры и дал величину π с точностью до 5 знаков после запятой (т.е. 3,14159). ^{[111] [112]} Хотя в большей степени вопрос вычислительной выносливости, чем теоретической проницательности, в V веке нашей эры Цзу Чунчжи вычислил значение π с точностью до семи десятичных знаков (т.е. 3,141592), что оставалось наиболее точным значением π почти на протяжении всего периода времени. следующие 1000 лет. ^[111][113] Он также установил метод, который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы . ^[114]

Пик китайской математики пришелся на 13 век, во второй половине династии Сун (960–1279), с развитием китайской алгебры. Самым важным текстом того периода является « Драгоценное зеркало четырех элементов » Чжу Шицзе (1249–1314), в котором рассматривается решение одновременных алгебраических уравнений высшего порядка с использованием метода, аналогичного методу Хорнера . ^[111] « Драгоценное зеркало» также содержит диаграмму треугольника Паскаля с коэффициентами биномиального разложения в восьмой степени, хотя оба они появляются в китайских работах уже в 1100 году. ^[115]Китайцы также использовали сложную комбинаторную диаграмму, известную как магический квадрат и магические круги , описанную в древние времена и усовершенствованную Ян Хуэем (1238–1298 гг. Н. Э.). ^[115]

Даже после того, как европейская математика начала процветать в эпоху Возрождения , европейская и китайская математика были отдельными традициями, а значительная китайская математика пришла в упадок, начиная с 13 века. Иезуитские миссионеры, такие как Маттео Риччи, переносили математические идеи между двумя культурами с 16 по 18 века, хотя в этот момент в Китай приходило гораздо больше математических идей, чем уходило. ^[115]

Японская математика , корейская математика и вьетнамская математика традиционно рассматриваются как происходящие из китайской математики и принадлежащие к восточноазиатской культурной сфере, основанной на конфуцианстве . ^[116] Корейская и японская математика находились под сильным влиянием алгебраических работ, созданных во время китайской династии Сун, тогда как вьетнамская математика во многом обязана популярным работам китайской династии Мин (1368–1644). ^[117] Например, хотя вьетнамские математические трактаты были написаны либо на китайском, либо на родном вьетнамском языке Чо Номскрипт, все они следовали китайскому формату представления набора задач с алгоритмами их решения с последующими числовыми ответами. ^[118] Математика во Вьетнаме и Корее была в основном связана с профессиональной придворной бюрократией математиков и астрономов , тогда как в Японии она была более распространена в сфере частных школ . ^[119]

Индийский [ править ]

Самая ранняя цивилизация на Индийском субконтиненте - цивилизация долины Инда (зрелая фаза: 2600–1900 гг. До н.э.), которая процветала в бассейне реки Инд . Их города были построены с геометрической регулярностью, но никаких известных математических документов этой цивилизации не сохранилось. ^[121]

Самыми древними дошедшими до нас математическими записями из Индии являются Сутры Сульба (датируемые по-разному между 8-м веком до нашей эры и 2-м веком нашей эры) ^[122], приложения к религиозным текстам, в которых даются простые правила построения алтарей различных форм, таких как квадраты, прямоугольники и т. Д. параллелограммы и другие. ^[123] Как и в случае с Египтом, озабоченность храмовыми функциями указывает на происхождение математики в религиозных ритуалах. ^[122] Сутры Сульбы дают методы построения круга примерно такой же площади, что и данный квадрат , которые подразумевают несколько различных приближений значения π . ^{[124] [125] [a]} Кроме того, они вычисляютквадратный корень из 2 с точностью до нескольких десятичных знаков, список троек Пифагора и утверждение теоремы Пифагора . ^[125] Все эти результаты присутствуют в вавилонской математике, что указывает на влияние Месопотамии. ^[122] Неизвестно, в какой степени сутры Сульбы повлияли на более поздних индийских математиков. Как и в Китае, в индийской математике отсутствует преемственность; значительные достижения отделяются длительными периодами бездействия. ^[122]

Панини (ок. V в. До н. Э.) Сформулировал правила грамматики санскрита . ^[126] Его обозначения были похожи на современные математические обозначения и использовали метаправила, преобразования и рекурсию . ^[127] Пингала (примерно 3–1 вв. До н.э.) в своем трактате просодии использует устройство, соответствующее двоичной системе счисления . ^{[128] [129]} Его обсуждение комбинаторики в метрах соответствует элементарной версии биномиальной теоремы . Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи.(называемый матрамеру ). ^[130]

Следующими значительными математическими документами из Индии после Сульба-сутр являются Сиддханты , астрономические трактаты 4-5 веков нашей эры ( период Гупта ), демонстрирующие сильное эллинистическое влияние. ^[131] Они важны тем, что содержат первый пример тригонометрических отношений, основанных на полуаккорде, как в современной тригонометрии, а не на полном хорде, как это было в тригонометрии Птолемея. ^[132] Из-за ряда ошибок перевода слова «синус» и «косинус» произошли от санскритских «джия» и «коджиа». ^[132]

Примерно в 500 году нашей эры Арьябхата написал Арьябхатию , небольшой том, написанный стихами, предназначенный для дополнения правил вычислений, используемых в астрономии и математических измерениях, но без чувства логики или дедуктивной методологии. ^[133] Хотя примерно половина введенных значений неверны, именно в Арьябхатии впервые появляется десятичная система счисления. Несколько веков спустя мусульманский математик Абу Райхан Бируни описал Арьябхатию как «смесь обычных гальок и дорогих кристаллов». ^[134]

В 7 - м века, Brahmagupta определил теорему Брахмагупта , тождество Брахмагупты и формулу Брахмагуптов , и в первый раз, в Брахма-sphuta-сиддханте , он доходчиво объяснил использование нуля и как заполнитель и десятичный знак , и объяснил Hindu- Система арабских цифр . ^[135] Именно из перевода этого индийского текста по математике (ок. 770 г.) исламские математики познакомились с этой системой счисления, которую они адаптировали как арабские цифры.. Исламские ученые принесли знания об этой системе счисления в Европу к XII веку, и теперь она вытеснила все старые системы счисления во всем мире. Различные наборы символов используются для представления чисел в индийско-арабской системе счисления, все из которых произошли от цифр брахми . У каждого из примерно дюжины основных письменностей Индии есть свои цифровые символы. В 10 - м века, Халейудх «s комментарии на Пингал » s работе содержит исследование последовательности Фибоначчи и треугольник Паскаля , и описывают формирование матрицы . ^{[ необходима цитата ]}

В XII веке Бхаскара II ^[136] жил на юге Индии и много писал по всем известным тогда разделам математики. Его работа содержит математические объекты, эквивалентные или приблизительно эквивалентные бесконечно малым, производным, теореме о среднем значении и производной синусоидальной функции. Насколько он предвосхитил изобретение математического анализа, является спорным вопросом среди историков математики. ^[137]

В XIV веке Мадхава Сангамаграма , основатель математической школы Кералы , нашел ряд Мадхавы – Лейбница и получил из него преобразованный ряд , первые 21 член которого он использовал для вычисления значения π как 3,14159265359. Мадхава также нашел ряд Мадхава-Грегори для определения арктангенса, ряд степеней Мадхава-Ньютона для определения синуса и косинуса и приближение Тейлора для функций синуса и косинуса. ^[138] В 16 веке Джьештхадева обобщил многие разработки и теоремы школы Кералы в Юкти-бхане . ^{[139] [140]}Утверждалось, что достижения керальской школы, заложившей основы исчисления, были переданы в Европу в 16 веке. ^[141] через иезуитских миссионеров и торговцев, которые действовали в то время вокруг древнего порта Музирис и, как следствие, напрямую повлияли на более поздние европейские разработки в области анализа и расчетов. ^[142] Однако другие ученые утверждают, что школа Кералы не сформулировала систематическую теорию дифференциации и интеграции , и что есть какие-либо прямые доказательства того, что их результаты передаются за пределы Кералы. ^{[143] [144] [145] [146]}

Исламская империя [ править ]

Исламская империя создана по Персии , на Ближнем Востоке , Центральной Азии , Северной Африке , Iberia , и в некоторых частях Индии в 8 - м веке внесли значительный вклад в математику. Хотя большинство исламских текстов по математике были написаны на арабском языке , большинство из них не были написаны арабами , поскольку, как и статус греческого языка в эллинистическом мире, арабский язык использовался в качестве письменного языка неарабских ученых во всем исламском мире в время. Персы внесли свой вклад в мир математики вместе с арабами.

В IX веке персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Харизми написал важную книгу по индусско-арабским числам и одну по методам решения уравнений. Его книга « О вычислении с помощью индусских цифр» , написанная около 825 года, наряду с работами Аль-Кинди , сыграла важную роль в распространении индийской математики и индийских цифр на Запад. Слово алгоритм происходит от латинизации его имени, Алгоритми, и слова алгебра из названия одной из его работ, Аль-Китаб аль-мухтагар фи хисаб аль-Табр ва'л-мукабала (Сборник по расчетам по завершению и балансировке . Он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями ^[147], и он был первым, кто преподает алгебру в элементарной форме и ради нее самой. ^[148] Он также обсудил фундаментальный метод « редукции » и «уравновешивания», имея в виду перенос вычитаемых членов на другую сторону уравнения, то есть сокращение одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хваризми первоначально назвал аль-джабр . ^[149] Его алгебра также больше не была озабочена «рядом проблем, которые нужно было решить, ноИзложение, которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явным образом составляют истинный объект исследования ». Он также изучал уравнение само по себе и« в общем смысле, поскольку оно не просто возникают в процессе решения проблемы, но специально призваны определять бесконечный класс проблем » ^[150].

В Египте Абу Камиль расширил алгебру до набора иррациональных чисел , приняв квадратные корни и корни четвертой степени в качестве решений и коэффициентов квадратных уравнений. Он также разработал методы, используемые для решения трех нелинейных одновременных уравнений с тремя неизвестными переменными. Одной из уникальных черт его работ была попытка найти все возможные решения некоторых из его проблем, в том числе решение, в котором он нашел 2676 решений. ^[151] Его работы сформировали важную основу для развития алгебры и повлияли на более поздних математиков, таких как аль-Караджи и Фибоначчи.

Дальнейшие разработки в области алгебры были сделаны аль-Караджи в его трактате аль-Фахри , где он расширяет методологию, чтобы включить целые степени и целые корни неизвестных величин. Нечто близкое к доказательству с помощью математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 г. н.э., который использовал ее для доказательства биномиальной теоремы , треугольника Паскаля и суммы целых кубов . ^[152] историк математики, Ф. Woepcke, ^[153] оценил Аль-Караджа за то , что «первым , кто ввел теорию о алгебраическом исчисление » . Также в 10 веке Абул Вафа перевел труды Диофанта на арабский язык. Ибн аль-Хайтам был первым математиком, который вывел формулу для суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщается для определения общего формула для суммы любых целочисленных степеней. Он выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоида , и смог обобщить свой результат для интегралов от многочленов до четвертой степени . Таким образом, он приблизился к поиску общей формулы для интегралов от многочленов, но его не интересовали никакие многочлены выше четвертой степени.^[154]

В конце 11 века Омар Хайям написал « Обсуждения трудностей в Евклиде» , книгу о том, что он считал недостатками в « Элементах » Евклида , особенно о параллельном постулате . Он также был первым, кто нашел общее геометрическое решение кубических уравнений . Он также оказал большое влияние на календарную реформу . ^[155]

В 13 веке Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сферической тригонометрии . Он также написал влиятельную работу по Евклид «с постулатом . В 15 веке Гият аль-Каши вычислил значение π до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм для вычисления корней n- й степени, который был частным случаем методов, данных много столетиями позже Руффини и Хорнером .

Другие достижения мусульманских математиков в этот период включают добавление десятичной точки к арабским цифрам , открытие всех современных тригонометрических функций, кроме синуса, введение аль-Кинди криптоанализа и частотного анализа , развитие аналитической геометрии от Ибн аль-Хайтам , начало алгебраической геометрии путем Омара Хайяма и разработке алгебраических обозначений по ал-Qalasādī . ^[156]

Во времена Османской империи и империи Сефевидов с 15 века развитие исламской математики застопорилось.

Майя [ править ]

В доколумбовой Северной и Южной Америке , то цивилизация майя , которая процветала в Мексике и Центральной Америке в течение 1 - го тысячелетия до нашей эры разработал уникальную традицию математики , которая, в силу своей географической изоляции, был полностью независимым от существующих европейских, египетскую и азиатской математике. ^[157] цифры майя использовали основу 20, в двадцатеричной систему, а не базу десять , которая образует основу десятичной системы , используемого большинство современных культур. ^[157] Майя использовали математику для создания календаря майя, а также для предсказания астрономических явлений на своей родине.Астрономия майя . ^[157] В то время как понятие нуля необходимо было вывести в математике многих современных культур, майя разработали для него стандартный символ. ^[157]

Средневековый европеец [ править ]

Интерес средневековых европейцев к математике был обусловлен проблемами, совершенно отличными от интересов современных математиков. Один приводной элемент было убеждение , что математика при условии , что ключ к пониманию созданного порядка природы, часто оправдывается Plato «s Тимей и библейский отрывок (в Книге Мудрости ) , что Бог все расположил мерой, и номер, и вес . ^[158]

Боэций предоставил место математике в учебной программе в VI веке, когда он ввел термин квадривиум для описания изучения арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Он написал « De Institée arithmetica» , вольный перевод с греческого « Введения в арифметику» Никомаха ; De Institée musica , также полученное из греческих источников; и ряд отрывков из « Элементов » Евклида . Его работы были теоретическими, а не практическими, и были основой математических исследований до восстановления греческих и арабских математических работ. ^{[159] [160]}

В XII веке европейские ученые отправились в Испанию и Сицилию в поисках научных арабских текстов , в том числе «Сводной книги по расчетам путем завершения и уравновешивания » аль-Харизми , переведенной на латинский язык Робертом Честерским , и полного текста « Элементов Евклида» в переводе в различных версиях Аделарда из Бата , Германа из Каринтии и Жерара из Кремоны . ^{[161] [162]} Эти и другие новые источники вызвали обновление математики.

Леонардо Пизанский, ныне известный как Фибоначчи , по счастливой случайности узнал об индусско-арабских цифрах во время поездки в то место, которое сейчас является Беджая , Алжир, со своим отцом-купцом. (Европа все еще использовала римские цифры .) Там он обнаружил систему арифметики (в частности, алгоритм ), которая из-за позиционного обозначения индусско-арабских цифр была намного более эффективной и значительно облегчила торговлю. Леонардо написал Liber Abaci в 1202 году (обновлено в 1254 году), вводя технику в Европу и положив начало долгому периоду ее популяризации. Книга также принесла в Европу то, что сейчас известно какПоследовательность Фибоначчи (известная индийским математикам за сотни лет до этого), которая использовалась в тексте как ничем не примечательный пример.

В 14 веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. ^[163] Одним из важных вкладов было развитие математики местного движения.

Томас Брэдвардайн предположил, что скорость (V) увеличивается в арифметической пропорции по мере того, как отношение силы (F) к сопротивлению (R) увеличивается в геометрической пропорции. Брэдвардин выразил это серией конкретных примеров, но, хотя логарифм еще не был придуман, мы можем выразить его заключение анахронично, написав: V = log (F / R). ^[164] Анализ Брэдвардайна является примером переноса математической техники, используемой аль-Кинди и Арнальдом Виллановой для количественной оценки природы сложных лекарств, на другую физическую проблему. ^[165]

Один из оксфордских калькуляторов XIV века , Уильям Хейтсбери , лишенный дифференциального исчисления и концепции пределов , предложил измерять мгновенную скорость «по пути, который описал бы [тело], если бы ... оно двигалось равномерно в том же направлении. степень скорости, с которой он перемещается в данный момент ". ^[167]

Хейтсбери и другие математически определили расстояние, пройденное телом, совершающим равномерно ускоренное движение (сегодня это решается интегрированием ), заявив, что «движущееся тело, равномерно приобретая или теряя это приращение [скорости], пройдет в некоторый заданный промежуток времени [расстояние], полностью равное к тому, что он пересек бы, если бы он двигался непрерывно в одно и то же время со средней степенью [скорости] ". ^[168]

Николай Орем в Университете Парижа и Италии Джованни ди Casali независимо друг от друга при условии , графические демонстрации этих отношений, утверждая , что площадь под линией , изображающей постоянное ускорение, представленное общее расстояние , пройденное. ^[169] В более позднем математическом комментарии к Элементам Евклида Орем провел более подробный общий анализ, в котором он продемонстрировал, что тело приобретает с каждым последовательным приращением времени приращение любого качества, которое увеличивается по мере увеличения нечетных чисел. Поскольку Евклид продемонстрировал, что сумма нечетных чисел - это квадратные числа, общее качество, приобретаемое телом, увеличивается как квадрат времени. ^[170]

Возрождение [ править ]

В эпоху Возрождения развитие математики и бухгалтерского учета было переплетено. ^[171] Хотя нет прямой связи между алгеброй и бухгалтерским учетом, преподавание предметов и публикуемые книги часто предназначались для детей торговцев, которые были отправлены в счетные школы (во Фландрии и Германии ) или школы абака (известные как abbaco в Италия), где они получили навыки, полезные для торговли и коммерции. Вероятно, нет необходимости в алгебре при выполнении бухгалтерских операций, но для сложных бартерных операций или расчета сложных процентов., базовые знания арифметики были обязательными, а знание алгебры было очень полезным.

Пьеро делла Франческа (ок. 1415–1492) написал книги о твердой геометрии и линейной перспективе , в том числе De Prospectiva Pingendi (О перспективе живописи) , Trattato d'Abaco (Трактат о абаках ) и De quinque corporibus regularibus (О пяти правильных телах). ) . ^{[172] [173] [174]}

Лука Пачоли «s Summa де Арифметика, Geometria, Proportioni и др Proportionalità (итал„Обзор арифметике , геометрии , Ratio и Пропорции “) была впервые напечатана и издана в Венеции в 1494 году Он включал в себя 27-страничный трактат по бухгалтерии , «Particularis de Computis et Scripturis » (итальянский:« Детали расчета и записи »). Он был написан в первую очередь и продавался в основном купцам, которые использовали книгу в качестве справочного материала, как источник удовольствия от математических головоломок, которые она содержала, и для помощи в обучении своих сыновей. ^[175]В Summa Arithmetica Пачоли впервые в печатной книге ввел символы для плюса и минуса , которые стали стандартными обозначениями в математике итальянского Возрождения. «Сумма арифметика» также была первой известной книгой по алгебре, изданной в Италии . Пачоли получил многие свои идеи от Пьеро Делла Франческа, которого он заимствовал.

В Италии в первой половине 16 века Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья открыли решения для кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге 1545 года Ars Magna вместе с решением уравнений четвертой степени , обнаруженным его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою «Алгебру», в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами, которые могут появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.

Книга Саймона Стевина De Thiende («Искусство десятичных долей»), впервые опубликованная на голландском языке в 1585 году, содержала первую систематическую трактовку десятичной системы счисления , которая повлияла на все последующие работы над системой вещественных чисел .

Под влиянием требований навигации и растущей потребности в точных картах больших территорий тригонометрия стала одним из основных разделов математики. Bartholomaeus Pitiscus был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою Trigonometria в 1595 году. Таблица синусов и косинусов Региомонтана была опубликована в 1533 году ^[176].

В эпоху Возрождения желание художников реалистично представить мир природы вместе с заново открытой философией греков побудило художников изучать математику. Они также были инженерами и архитекторами того времени и в любом случае нуждались в математике. Искусство рисования в перспективе и связанные с этим разработки в области геометрии были предметом интенсивного изучения. ^[177]

Математика во время научной революции [ править ]

17 век [ править ]

В 17 веке по всей Европе наблюдался беспрецедентный рост математических и научных идей. Галилей наблюдал спутники Юпитера на орбите этой планеты, используя телескоп, основанный на игрушке, привезенной из Голландии. Тихо Браге собрал огромное количество математических данных, описывающих положение планет на небе. Будучи помощником Браге, Иоганн Кеплер впервые столкнулся с темой движения планет и серьезно затронул ее. Расчеты Кеплера были сделаны проще по одновременным изобретениям логарифмов по John Napier и Бюргами . Кеплеру удалось сформулировать математические законы движения планет. ^[178]Аналитическая геометрия , разработанная Рене Декарта (1596-1650) позволила те орбиты , которые будут нанесены на график в декартовой системе координат .

Основываясь на более ранних работах многих предшественников, Исаак Ньютон открыл законы физики, объясняющие законы Кеплера , и объединил концепции, теперь известные как исчисление . Независимо от этого, Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал исчисление и большую часть его обозначений, которые используются до сих пор. Наука и математика стали международным делом, которое вскоре распространилось по всему миру. ^[179]

В дополнение к применению математики к изучению неба, прикладная математика начала расширяться в новые области с перепиской Пьера де Ферма и Блеза Паскаля . Паскаль и Ферма заложили основу для исследований теории вероятностей и соответствующих правил комбинаторики в своих обсуждениях азартной игры . Паскаль, сделав ставку , попытался использовать недавно разработанную теорию вероятностей, чтобы отстаивать жизнь, посвященную религии, на том основании, что даже если вероятность успеха мала, вознаграждение будет бесконечным. В некотором смысле это предвещало развитие теории полезности. в 18–19 вв.

18 век [ править ]

Возможно, самым влиятельным математиком XVIII века был Леонард Эйлер (1707-1783). Его вклады варьируются от основания исследования теории графов с проблемой семи мостов Кенигсберга до стандартизации многих современных математических терминов и обозначений. Например, он назвал квадратный корень из минус 1 символом i и популяризировал использование греческой буквы для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру. Он внес большой вклад в изучение топологии, теории графов, исчисления, комбинаторики и комплексного анализа, о чем свидетельствует множество теорем и обозначений, названных в его честь.${\ displaystyle \ pi}$

Среди других важных европейских математиков 18-го века были Жозеф Луи Лагранж , который проделал новаторскую работу в области теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и вариационного исчисления, и Лапласа, который во времена Наполеона проделал важную работу по основам небесного по механике и по статистике .

Современный [ править ]

19 век [ править ]

На протяжении XIX века математика становилась все более абстрактной. Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) олицетворяет эту тенденцию. Он сделал революционную работу на функции от комплексных переменных , в геометрии , и о сходимости рядов , оставляя в стороне его большой вклад в науку. Он также дал первые удовлетворительные доказательства основной теоремы алгебры и квадратичного закона взаимности .

В этом столетии развились две формы неевклидовой геометрии , где постулат о параллельности евклидовой геометрии больше не действует. Русский математик Николай Иванович Лобачевский и его соперник, венгерский математик Янош Бойяи независимо друг от друга определили и изучили гиперболическую геометрию , в которой больше не существует единственности параллелей. В этой геометрии сумма углов в треугольнике составляет менее 180 °. Эллиптическая геометрия была разработана позже в 19 веке немецким математиком Бернхардом Риманом.; здесь нет параллели, и углы в треугольнике в сумме составляют более 180 °. Риман также разработал риманову геометрию , которая объединяет и широко обобщает три типа геометрии, и определил концепцию многообразия , которая обобщает идеи кривых и поверхностей .

В 19 веке началась большая часть абстрактной алгебры . Герман Грассманн в Германии дал первую версию векторных пространств , Уильям Роуэн Гамильтон в Ирландии разработал некоммутативную алгебру . Британский математик Джордж Буль изобрел алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в электротехнике и информатике . Огюстен-Луи Коши , Бернхард Риман, и Карл Вейерштрасс переформулировал исчисление более строго.

Кроме того, впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель , норвежец, и Эварист Галуа , француз, доказали, что не существует общего алгебраического метода решения полиномиальных уравнений степени выше четырех ( теорема Абеля – Руффини ). Другие математики XIX века использовали это в своих доказательствах того, что одной линейки и циркуля недостаточно, чтобы разрезать произвольный угол пополам , построить сторону куба, вдвое превышающую объем данного куба, или построить квадрат, равный по площади заданному. круг. Математики тщетно пытались решить все эти проблемы еще со времен древних греков. С другой стороны, ограничение трех измеренийв геометрии был превзойден в 19 веке благодаря рассмотрению пространства параметров и гиперкомплексных чисел .

Исследования Абеля и Галуа решений различных полиномиальных уравнений заложили основу для дальнейшего развития теории групп и связанных с ней областей абстрактной алгебры . В 20-м веке физики и другие ученые считали теорию групп идеальным способом изучения симметрии .

В конце 19 века Георг Кантор заложил первые основы теории множеств , которые позволили строго трактовать понятие бесконечности и стали общим языком почти всей математики. Теория множеств Кантора и возникновение математической логики в руках Пеано , Л. Дж. Брауэра , Дэвида Гильберта , Бертрана Рассела и А. Н. Уайтхеда положили начало длительной дискуссии об основах математики .

В 19 веке был основан ряд национальных математических обществ: Лондонское математическое общество в 1865 году, Société Mathématique de France в 1872 году, Circolo Matematico di Palermo в 1884 году, Эдинбургское математическое общество в 1883 году и Американское математическое общество в 1888. Первое международное общество особых интересов, Quaternion Society , было образовано в 1899 году в контексте споров о векторах .

В 1897 году Гензель ввел p-адические числа .

20 век [ править ]

В 20 веке математика стала важной профессией. Каждый год присуждались тысячи новых докторских степеней по математике, и были доступны рабочие места как в сфере преподавания, так и в промышленности. Попытка каталогизировать области и приложения математики была предпринята в энциклопедии Кляйна .

В 1900 выступлении на Международном конгрессе математиков , Давид Гильберт изложил список 23 нерешенных проблем в области математики . Эти проблемы, охватывающие многие области математики, занимали центральное место в математике 20-го века. Сегодня 10 решены, 7 решены частично, а 2 все еще открыты. Остальные 4 сформулированы слишком слабо, чтобы можно было сказать, решены они или нет.

Наконец-то были подтверждены известные исторические догадки. В 1976 году Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель доказали теорему о четырех цветах , спорную в то время для использования компьютера. Эндрю Уайлс , опираясь на работы других, доказал Великую теорему Ферма в 1995 году. Пол Коэн и Курт Гёдель доказали, что гипотеза континуума не зависит от стандартных аксиом теории множеств (не может быть ни доказана, ни опровергнута) . В 1998 году Томас Каллистер Хейлз доказал гипотезу Кеплера .

Математические коллаборации беспрецедентных размеров и размаха имели место. Примером может служить классификация конечных простых групп (также называемая «огромной теоремой»), доказательство которой в период с 1955 по 2004 год потребовало более 500 журнальных статей примерно 100 авторов и заняло десятки тысяч страниц. Группа французских математиков, включая Жана Дьедонне и Андре Вейля , публиковавшаяся под псевдонимом « Николя Бурбаки », попыталась представить всю известную математику как единое строгое целое. Получившиеся несколько десятков томов оказали неоднозначное влияние на математическое образование. ^[180]

Дифференциальная геометрия стала самостоятельной, когда Альберт Эйнштейн использовал ее в общей теории относительности . Совершенно новые области математики , такие как математическая логика , топология и Джон фон Нейман «s теория игр изменили виды вопросов , которые можно были бы ответить математическими методами. Все виды структур были абстрагированы с использованием аксиом и получили имена, такие как метрические пространства , топологические пространства и т. Д. Как и математики, понятие абстрактной структуры само абстрагировалось и привело к теории категорий . Гротендик и Серрпреобразовать алгебраическую геометрию, используя теорию пучков . Большой прогресс был достигнут в качественном исследовании динамических систем, которое Пуанкаре начал в 1890-х годах. Теория меры была разработана в конце 19 - начале 20 вв. Применения мер включают интеграл Лебега , аксиоматизацию теории вероятностей Колмогорова и эргодическую теорию . Теория узлов значительно расширилась. Квантовая механика привела к развитию функционального анализа . Другие новые области включают Лорана Шварца «Sтеория распределения , теория неподвижной точки , теория особенностей и Рене Тома «s теория катастроф , теория моделей , и Мандельброт » s фрактал . Теория Ли с ее групп Ли и алгебр Ли стал одним из основных направлений исследования.

Нестандартный анализ , введенный Абрахамом Робинсоном , реабилитировал бесконечно малый подход к исчислению, который потерял репутацию в пользу теории пределов , расширив поле действительных чисел до гиперреальных чисел, которые включают бесконечно малые и бесконечные величины. Еще большую систему счисления, сюрреалистические числа, открыл Джон Хортон Конвей в связи с комбинаторными играми .

Развитие и постоянное совершенствование компьютеров , сначала механических аналоговых машин, а затем цифровых электронных машин, позволило промышленности работать с все большими и большими объемами данных для облегчения массового производства, распространения и коммуникации, и для решения этой проблемы были разработаны новые области математики. : Алан Тьюринг «S теории вычислимости ; теория сложности ; Использование Дерриком Генри Лемером ENIAC для развития теории чисел и теста Лукаса-Лемера ; Рожа Петер «S теории рекурсивных функций ; Claude Shannon «s теория информации; обработка сигналов ; анализ данных ; оптимизация и другие области исследования операций . В предыдущие века большое внимание в математике уделялось исчислению и непрерывным функциям, но рост вычислительных и коммуникационных сетей привел к возрастанию значения дискретных концепций и расширению комбинаторики, включая теорию графов . Скорость и возможности компьютеров по обработке данных также позволили решать математические задачи, которые требовали слишком много времени для решения карандашных и бумажных вычислений, что привело к таким областям, как числовой анализ и символьные вычисления.. Некоторые из наиболее важных методов и алгоритмов 20 - го века являются: симплексный алгоритм , то быстрое преобразование Фурье , коды коррекции , тем фильтр Калмана из теории управления и алгоритм RSA в криптографии с открытым ключом .

В то же время было сделано глубокое понимание ограничений математики. В 1929 и 1930 годах было доказано, что истинность или ложность всех утверждений, сформулированных о натуральных числах плюс одно о сложении и умножении, разрешима , то есть может быть определена с помощью некоторого алгоритма. В 1931 году Курт Гёдель обнаружил, что это не относится к натуральным числам плюс как сложению, так и умножению; эта система, известная как арифметика Пеано , на самом деле была неполной . (Арифметика Пеано пригодна для значительной части теории чисел , включая понятие простого числа .) Следствие двух теорем Гёделя о неполнотесостоит в том, что в любой математической системе, которая включает арифметику Пеано (включая весь анализ и геометрию ), истина обязательно опережает доказательство, т.е. есть истинные утверждения, которые не могут быть доказаны в рамках системы. Следовательно, математику нельзя свести к математической логике, и мечту Давида Гильберта о том, чтобы сделать всю математику полной и последовательной, необходимо было переформулировать.

Одной из наиболее ярких фигур в математике 20-го века был Шриниваса Айянгар Рамануджан (1887–1920), индийский самоучитель, который предположил или доказал более 3000 теорем, включая свойства очень сложных чисел , статистическую сумму и ее асимптотику , а также имитирующие тета-функции. . Он также провел серьезные исследования в области гамма-функций , модулярных форм , расходящихся рядов , гипергеометрических рядов и теории простых чисел.

Пол Эрдеш опубликовал больше работ, чем любой другой математик в истории, работая с сотнями сотрудников. У математиков есть игра, эквивалентная игре Кевина Бэкона , которая приводит к числу Эрдёша математика. Это описывает «совместное расстояние» между человеком и Полом Эрдёшем, измеренное совместным авторством математических статей.

Многие называют Эмми Нётер самой важной женщиной в истории математики. ^[181] Она изучала теории колец , полей и алгебр .

Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в век науки привел к специализации: к концу века в математике были сотни специализированных областей, а классификация математических предметов занимала десятки страниц. ^[182] Все больше и больше математических журналов публиковалось, и к концу века развитие Всемирной паутины привело к онлайн-публикациям.

21 век [ править ]

В 2000 году Институт математики Клэя объявил о семи задачах , удостоенных премии тысячелетия , а в 2003 году гипотеза Пуанкаре была решена Григорием Перельманом (который отказался принять награду, поскольку он критиковал математический истеблишмент).

Большинство математических журналов теперь имеют онлайн-версии, а также печатные версии, и многие журналы открываются только онлайн. Растет стремление к публикации в открытом доступе , впервые популяризированной arXiv .

Будущее [ править ]

В математике наблюдается множество наблюдаемых тенденций, наиболее примечательными из которых является то, что предмет становится все шире, компьютеры становятся все более важными и мощными, применение математики в биоинформатике быстро расширяется, а объем данных, производимых наукой и промышленностью, с помощью компьютеров, стремительно расширяется. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Берггрен, Леннарт; Borwein, Jonathan M .; Борвейн, Питер Б. (2004), Pi: A Source Book , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7
• Бойер, CB (1991) [1989], История математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8
• Куомо, Серафина (2001), Древняя математика , Лондон: Routledge, ISBN 978-0-415-16495-5
• Гудман, Майкл, KJ (2016), Введение в раннее развитие математики , Hoboken: Wiley, ISBN 978-1-119-10497-1
• Гуллберг, Ян (1997), Математика: от рождения чисел , Нью-Йорк: WW Norton and Company, ISBN 978-0-393-04002-9
• Джойс, Хетти (июль 1979), "Форма, функции и техники в Тротуары Делос и Помпей", Американский журнал Археологии , 83 (3): 253-63, DOI : 10,2307 / 505056 , JSTOR  505056 .
• Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-321-01618-8
• Кац, Виктор Дж. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
• Нидхэм, Джозеф ; Ван, Лин (1995) [1959], Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небесах и Земле , 3 , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8
• Нидхэм, Джозеф; Ван, Лин (2000) [1965], Наука и цивилизация в Китае: Физика и физические технологии: Машиностроение , 4 (переиздание), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-05803-2
• Sleeswyk, Андре (октябрь 1981), "одометр Витрувий", Scientific American , 252 (4): 188-200, Bibcode : 1981SciAm.245d.188S , DOI : 10.1038 / scientificamerican1081-188 .
• Straffin, Philip D. (1998), "Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики", Математика Magazine , 71 (3): 163-81, DOI : 10,1080 / 0025570X.1998.11996627
• Тан, Биргит (2005), Делос, Карфаген, Ампуриас: жилье трех средиземноморских торговых центров , Рим: L'Erma di Bretschneider (Accademia di Danimarca), ISBN 978-88-8265-305-7.
• Волков, Алексей (2009), «Математика и математическое образование в традиционном Вьетнаме», Робсон, Элеонора; Стедалл, Жаклин (ред.), Оксфордский справочник по истории математики , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 153–76, ISBN 978-0-19-921312-2

Дальнейшее чтение [ править ]

Общие [ править ]

• Обое, Асгер (1964). Эпизоды из ранней истории математики . Нью-Йорк: Рэндом Хаус.
• Белл, ET (1937). Математики . Саймон и Шустер.
• Бертон, Дэвид М. История математики: Введение . Макгроу Хилл: 1997.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2003). Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук . Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 978-0-8018-7397-3.
• Клайн, Моррис. Математическая мысль от древних до наших дней .
• Струик, DJ (1987). Краткая история математики , четвертое исправленное издание. Dover Publications, Нью-Йорк.

Книги определенного периода [ править ]

• Жиллингс, Ричард Дж. (1972). Математика во времена фараонов . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.
• Хит, сэр Томас (1981). История греческой математики . Дувр. ISBN 978-0-486-24073-2.
• ван дер Варден, Б.Л. , Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5 . 

Книги по определенной теме [ править ]

• Корри, Лео (2015), Краткая история чисел , Oxford University Press, ISBN 978-0-471-54397-8
• Хоффман, Пол (1998). Человек, который любил только числа: история Пола Эрдеша и поиски математической истины . Гиперион. ISBN 0-7868-6362-5.
• Меннингер, Карл В. (1969). Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел . MIT Press. ISBN 978-0-262-13040-0.
• Стиглер, Стивен М. (1990). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года . Белкнап Пресс. ISBN 978-0-674-40341-3.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты по теме: История математики.

Документальные фильмы [ править ]

• BBC (2008). История математики .
• Renaissance Mathematics , дискуссия BBC Radio 4 с Робертом Капланом, Джимом Беннеттом и Джеки Стедаллом ( In Our Time , 2 июня 2005 г.)

Учебный материал [ править ]

• Архив истории математики MacTutor (Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон; Университет Сент-Эндрюс, Шотландия). Отмеченный наградами веб-сайт, содержащий подробные биографии многих исторических и современных математиков, а также информацию по примечательным кривым и различным темам из истории математики.
• Домашняя страница истории математики (Дэвид Э. Джойс; Университет Кларка). Статьи по различным темам истории математики с обширной библиографией.
• История математики (Дэвид Р. Уилкинс; Тринити-колледж, Дублин). Сборники материалов по математике 17-19 веков.
• Самые ранние известные применения некоторых слов математики (Джефф Миллер). Содержит информацию о самых ранних известных случаях использования терминов в математике.
• Раннее использование различных математических символов (Джефф Миллер). Содержит информацию по истории математических обозначений.
• Математические слова: происхождение и источники (Джон Олдрич, Саутгемптонский университет) Обсуждает происхождение современного математического словарного запаса.
• Биографии женщин-математиков (Ларри Риддл; Колледж Агнес Скотт).
• Математики африканской диаспоры (Скотт Уильямс; Университет Буффало).
• Примечания к мини-курсу МАА: преподавание курса истории математики. (2009) ( В. Фредерик Рики и Виктор Дж. Кац ).

Библиографии [ править ]

• Библиография из архива собрания сочинений и корреспонденции математиков от 2007/3/17 (Стивен В. Рокки; Библиотека Корнельского университета).

Организации [ править ]

• Международная комиссия по истории математики

Журналы [ править ]

• Historia Mathematica
• Конвергенция , Математическая ассоциация американского журнала истории математики онлайн
• История математики Math Archives (Университет Теннесси, Ноксвилл)
• История / Биография Математический форум (Университет Дрекселя)
• История математики (Мемориальная библиотека Кортрайта).
• История веб-сайтов по математике (Дэвид Калвис; Колледж Болдуина-Уоллеса)
• История математики в Curlie
• Historia de las Matemáticas (Universidad de La Guna )
• História da Matemática (Университет Коимбры)
• Использование истории в математическом классе
• Математические ресурсы: история математики (Бруно Кевиус)
• История математики (Роберта Туччи)