Плимптон 322

Глиняная табличка Плимптон 322 с числами, написанными клинописью.

Плимптон 322 - это вавилонская глиняная табличка , содержащая пример вавилонской математики . Он имеет номер 322 в коллекции Г. А. Плимптона в Колумбийском университете . ^[1] Эта табличка, предположительно написанная около 1800 г. до н.э., содержит таблицу из четырех столбцов и 15 рядов чисел клинописью того периода.

В этой таблице перечислены два из трех чисел, которые сейчас называются пифагоровыми тройками , т. Е. Целые числа a , b и c, удовлетворяющие условию a ² + b ² = c ² . С современной точки зрения, метод построения таких троек является значительным ранним достижением, известным задолго до того, как греческие и индийские математики обнаружили решения этой проблемы. В то же время следует помнить, что автор таблички был писцом, а не профессиональным математиком; Было высказано предположение, что одной из его целей могло быть создание примеров школьных задач.

Существуют серьезные научные дебаты о природе и назначении таблички. Для ознакомления с популярными методами лечения этой таблетки см. Robson (2002) или, короче, Conway & Guy (1996) . Робсон (2001) представляет собой более подробное и техническое обсуждение интерпретации чисел на табличке с обширной библиографией.

Происхождение и датировка [ править ]

Плимптон 322 частично сломан, примерно 13 см шириной, 9 см высотой и 2 см толщиной. Нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел табличку у торговца археологами Эдгара Дж. Бэнкса примерно в 1922 году и завещал ее вместе с остальной частью своей коллекции Колумбийскому университету в середине 1930-х годов. По словам Бэнкса, табличка была доставлена ​​из Сенкере, места на юге Ирака, соответствующего древнему городу Ларса . ^[2]

Планшет , как полагают, была написана около 1800 г. до н.э., используя среднюю хронологию , ^[3] частично на основе стиля почерка используется для его клинописи : Робсон (2002) пишет , что это почерк «характерно для документов из южной части Ирака 4000–3500 лет назад ". В частности, основываясь на сходстве форматирования с другими таблицами из Ларсы, на которых написаны точные даты, Плимптон 322 вполне может относиться к периоду 1822–1784 гг. До н.э. ^[4] Робсон указывает, что Plimpton 322 был написан в том же формате, что и другие административные, а не математические документы того периода. ^[5]

Содержание [ править ]

Основное содержание Plimpton 322 - это таблица чисел с четырьмя столбцами и пятнадцатью строками в вавилонской шестидесятеричной системе счисления. Четвертый столбец - это просто номер строки в порядке от 1 до 15. Второй и третий столбцы полностью видны на сохранившейся табличке. Однако край первого столбца был отломан, и есть две последовательные экстраполяции того, что могут быть пропущенные цифры; эти интерпретации различаются только тем, начинается ли каждое число с дополнительной цифры, равной 1. С разными экстраполяциями, показанными в скобках, поврежденные части первого и четвертого столбцов, содержание которых предположительно показано курсивом, и шесть предполагаемых ошибок, выделенных жирным шрифтом. вместе с обычно предлагаемыми исправлениями в квадратных скобках внизу, эти числа

Обратите внимание, что показаны два возможных варианта исправления в строке 15: либо 53 в третьем столбце следует заменить на удвоенное значение, 1 46, либо 56 во втором столбце следует заменить на половину его значения, 28.

Не исключено, что в отломленной части планшета слева от этих столбцов присутствовали дополнительные столбцы. В вавилонской шестидесятеричной системе счисления не указывалась степень умножения числа 60 на каждое число, что делает интерпретацию этих чисел неоднозначной. Числа во втором и третьем столбцах обычно считаются целыми. Числа в первом столбце можно понимать только как дроби, и все их значения лежат между 1 и 2 (при условии, что начальная 1 присутствует - они лежат между 0 и 1, если она отсутствует). Эти дроби являются точными, а не округленными или округленными значениями. Десятичный перевод планшета при этих предположениях показан ниже. Большинство точных шестидесятеричных дробей в первом столбце не имеют завершающих десятичных разложений и округлены до семи десятичных знаков.

${\displaystyle d^{2}/\ell ^{2}}$ или же ${\displaystyle s^{2}/\ell ^{2}}$	Короткая сторона ${\displaystyle s}$	Диагональ ${\displaystyle d}$	Ряд #
(1) .9834028	119	169	1
(1) .9491586	3 367	4 825	2
(1) .9188021	4 601	6 649	3
(1) .8862479	12 709	18 541	4
(1) .8150077	65	97	5
(1) .7851929	319	481	6
(1) .7199837	2,291	3,541	7
(1) .6927094	799	1,249	8
(1) .6426694	481	769	9
(1) .5861226	4961	8 161	10
(1) .5625	45 *	75 *	11
(1) .4894168	1,679	2 929	12
(1) .4500174	161	289	13
(1) .4302388	1,771	3229	14
(1) .3871605	56 *	106 *	15

^* Как и раньше, в альтернативном возможном исправлении в строке 15 содержится 28 во втором столбце и 53 в третьем столбце. Записи во втором и третьем столбцах строки 11, в отличие от записей всех других строк, за исключением, возможно, строки 15, содержат общий множитель. Возможно, что 45 и 1115 следует понимать как 3/4 и 5/4, что согласуется со стандартным (0,75,1,1,25) масштабированием знакомого (3,4,5) прямоугольного треугольника в вавилонской математике. .

В каждой строке число во втором столбце можно интерпретировать как более короткую сторону прямоугольного треугольника, а число в третьем столбце можно интерпретировать как гипотенузу треугольника. Во всех случаях, более длинная сторона также является целым числом, что делает , и два элемента Пифагора тройной . Число в первом столбце - это либо дробь (если «1» не включена), либо (если «1» включена). В любом случае длинная сторона - это обычное число.${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle s}$${\displaystyle d}$${\textstyle s^{2}/\ell ^{2}}$${\textstyle {\tfrac {d^{2}}{\ell ^{2}}}\,=\,1+{\tfrac {s^{2}}{\ell ^{2}}}}$${\displaystyle \ell }$, то есть целочисленный делитель степени 60 или, что то же самое, произведение степеней 2, 3 и 5. Именно по этой причине числа в первом столбце точны, так как деление целого числа на регулярное Число производит завершающее шестидесятеричное число. Например, строку 1 таблицы можно интерпретировать как описание треугольника с короткой стороной 119 и гипотенузой 169, подразумевающей длинную сторону , которая является правильным числом (2 ³ · 3 · 5). Число в столбце 1 - (169/120) ² или (119/120) ² .${\displaystyle {\sqrt {169^{2}-119^{2}}}=120}$

Заголовки столбцов [ править ]

У каждой колонки есть заголовок, написанный на аккадском языке . Некоторые слова представляют собой шумерские логограммы , которые читатели могли бы понять как символы аккадских слов. К ним относятся ÍB.SI ₈ для аккадского mithartum («квадрат»), MU.BI.IM для аккадского šumšu («его линия») и SAG для аккадского pūtum («ширина»). Каждому числу в четвертом столбце предшествует шумерограмма KI, которая, согласно Neugebauer & Sachs (1945), "придает им характер порядковых чисел". В приведенной выше шестидесятеричной таблице выделенные курсивом слова и части слов представляют собой части текста, которые нечитаемы из-за повреждения таблички или неразборчивости, и которые были реконструированы современными учеными. Термины ÍB.SI ₈ и takiltum остались непереведенными, поскольку их точное значение продолжаются.

Заголовки столбцов 2 и 3 можно перевести как «квадрат ширины» и «квадрат диагонали», но Робсон (2001) (стр. 173–174) утверждает, что термин ÍB.SI ₈ может относиться либо к площадь квадрата или сторону квадрата, и в этом случае это следует понимать как «сторона квадрата» или, возможно, «квадратный корень». Точно так же Бриттон, Пруст и Шнидер (2011) (стр. 526) отмечают, что этот термин часто встречается в задачах, где завершение квадрата используется для решения того, что теперь понимается как квадратные уравнения, в этом контексте он относится к стороне заполненный квадрат, но он также может служить для обозначения того, «что имеется в виду линейный размер или линейный сегмент». Нойгебауэр иСакс (1945)(стр. 35, 39), с другой стороны, демонстрируют случаи, когда термин относится к результатам широкого спектра различных математических операций и предлагает перевод «решающее число ширины (или диагонали)». Фриберг (1981) (стр. 300) предлагает перевод «корень».

В графе 1 повреждены первые части обеих строк заголовка. Neugebauer & Sachs (1945) реконструировали первое слово как takilti (форма takiltum ), чтение, которое было принято большинством последующих исследователей. Заголовок обычно считался непереводимым до тех пор, пока Робсон (2001) не предложил вставить 1 в оторванную часть строки 2 и не сумел расшифровать неразборчивое последнее слово, получив значение, указанное в таблице выше. Основываясь на подробном лингвистическом анализе, Робсон предлагает переводить такилтум как «удерживающий квадрат». ^[6] Бриттон, Пруст и Шнидер (2011)сделайте обзор относительно немногих известных употреблений этого слова в древневавилонской математике. Хотя они отмечают, что почти во всех случаях это относится к линейному размеру вспомогательного квадрата, добавляемому к фигуре в процессе завершения квадрата, и является величиной, вычтенной на последнем шаге решения квадратичной, они согласны с Робсоном. что в данном случае следует понимать как относящуюся к площади квадрата. Фриберг (2007) , с другой стороны, предполагает, что в отрывной части заголовка такилтуму могло предшествовать a-ša("площадь"). В настоящее время широко распространено мнение о том, что заголовок описывает соотношение между квадратами по ширине (короткая сторона) и диагональю прямоугольника длиной (длинная сторона) 1: вычитание («вырывание») площади 1 из квадрата на диагональных листах. площадь квадрата по ширине.

Ошибки [ править ]

Как указано в таблице выше, большинство ученых считают, что табличка содержит шесть ошибок, и, за исключением двух возможных исправлений в строке 15, существует широкое согласие относительно того, какими должны быть правильные значения. Меньше согласия о том, как произошли ошибки и что они означают в отношении метода вычисления планшета. Ниже приводится сводка ошибок.

Ошибки в строке 2, столбце 1 (игнорирование оставления пробелов между 50 и 6 для отсутствующих единиц и десятков) и в строке 9, столбце 2 (запись 9 вместо 8) повсеместно рассматриваются как незначительные ошибки при копировании с рабочего планшета (или, возможно, из более ранней копии таблицы). Ошибка в строке 8, столбце 1 (замена двух шестидесятеричных цифр 45 14 их суммой 59), похоже, не была замечена в некоторых ранних статьях на табличке. Иногда это рассматривается (например, в Robson (2001) ) как простая ошибка, сделанная писцом в процессе копирования с рабочего планшета. Как обсуждалось в Britton, Proust & Shnider (2011)однако ряд ученых предположили, что эту ошибку гораздо более правдоподобно объяснить как ошибку в вычислении, ведущем к числу, например, писец пропускает средний ноль (пустое пространство, представляющее нулевую цифру) при выполнении умножения. . Такое объяснение ошибки совместимо с обоими основными предложениями по способу построения таблицы. (Смотри ниже.)

Остальные три ошибки влияют на способ вычисления планшета. Число 7 12 1 в строке 13 столбца 2 представляет собой квадрат правильного значения 2 41. Предполагая, что либо длины в столбце 2 были вычислены путем извлечения квадратного корня из площади соответствующего квадрата, либо длина и площадь были вычислены вместе, эту ошибку можно объяснить либо игнорированием извлечения квадратного корня, либо копированием неправильного числа с рабочего планшета. ^[7]

Если под ошибкой в ​​строке 15 понимать, что в столбце 2 написано 56 вместо 28, то ошибка может быть объяснена как результат неправильного применения алгоритма конечной части, который требуется, если таблица была вычислена с помощью взаимных пар. как описано ниже. Эта ошибка сводится к применению итерационной процедуры для удаления обычных факторов, общих для чисел в столбцах 2 и 3, неправильное количество раз в одном из столбцов. ^[8]

Число в строке 2 столбца 3 не имеет очевидного отношения к правильному числу, и все объяснения того, как это число было получено, предполагают множественные ошибки. Брюинз (1957) заметил, что 3 12 01 могло быть простым неверным копированием 3 13. Если бы это было так, то объяснение неправильного числа 3 13 аналогично объяснению ошибки в строке 15. ^[9]

Исключением из общего консенсуса является Friberg (2007) , где в отличие от более раннего анализа того же автора ( Friberg (1981) ) предполагается, что числа в строке 15 не ошибочные, а были записаны как предполагалось, и что единственная ошибка в строке 2, столбце 3 заключалась в неправильном написании 3 13 как 3 12 01. Согласно этой гипотезе, необходимо переосмыслить столбцы 2 и 3 как «ядра передней и диагональной части с уменьшенным коэффициентом». Ядро числа с уменьшенным множителем - это число, из которого удалены регулярные множители полного квадрата; Вычисление ядра с уменьшенным коэффициентом было частью процесса вычисления квадратных корней в древневавилонской математике. По словам Фриберга, «автор Plimpton 322 никогда не намеревался сокращать свой ряд нормализованныхдиагональные тройки (с длиной, равной 1 в каждой тройке) до соответствующей серии примитивных диагональных троек (с лицевой стороной, длиной и диагональю, равными целым числам без общих множителей) ». ^[10]

Построение таблицы [ править ]

Ученые до сих пор расходятся во мнениях относительно того, как были получены эти числа. Бак (1980) и Робсон (2001) выделяют два основных предложения по методу построения таблицы: метод генерации пар, предложенный Neugebauer & Sachs (1945) , и метод взаимных пар, предложенный Брюинсом ^{[11 ]} и разработан Voils, ^[12] Schmidt (1980) и Friberg. ^[13]

Генерация пар [ править ]

Используя современную терминологию, если p и q - такие натуральные числа, что p > q, то ( p ² - q ² , 2 pq , p ² + q ² ) образует пифагорову тройку. Тройной примитивно, то есть три треугольника стороны не имеют общих множителей, если р и д являются взаимно простыми , а не оба нечетные. Нойгебауэр и Сакс предполагают, что табличка была сгенерирована путем выбора p и q в качестве взаимно простых регулярных чисел (но оба могут быть нечетными - см. Строку 15) и вычисления d= p ² + q ² , s = p ² - q ² и l = 2 pq (так что l также является правильным числом). Например, строка 1 будет сгенерирована путем установки p = 12 и q = 5. Бак и Робсон оба отмечают, что присутствие столбца 1 в этом предложении загадочно, поскольку оно не играет никакой роли в построении, и что предложение не имеет значения. объясните, почему строки таблицы упорядочены так, как они есть, а не, скажем, в соответствии со значением или${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$, которые, согласно этой гипотезе, могли быть перечислены в столбцах слева в оторванной части таблички. Робсон также утверждает, что это предложение не объясняет, как могли возникнуть ошибки в таблице, и не соответствует математической культуре того времени.

Взаимные пары [ править ]

В предложении взаимных пар отправной точкой является обычная шестидесятеричная дробь x вместе с обратной величиной 1 / x . «Правильная шестидесятеричная дробь» означает, что x является произведением (возможно, отрицательных) степеней 2, 3 и 5. Тогда величины ( x −1 / x ) / 2, 1 и ( x + 1 / x ) / 2 образуют то, что сейчас назвали бы рациональной пифагорейской тройкой. Более того, все три стороны имеют конечные шестидесятеричные представления.

Сторонники этого предложения указывают на то, что регулярные взаимные пары ( x , 1 / x ) проявляются в другой задаче примерно из того же времени и в том же месте, что и Плимптон 322, а именно в задаче нахождения сторон прямоугольника области 1, длинная сторона которого превышает его короткую сторону на заданную длину c (которая в настоящее время может быть вычислена как решение квадратного уравнения ). Робсон (2002) анализирует планшет YBC 6967, в котором такая задача решается путем вычисления последовательности промежуточных значений v ₁ = c / 2, v ₂ = v ₁ ² , v ₃ = 1 +${\textstyle x-{\tfrac {1}{x}}=c}$v ₂ и v ₄ = v ₃ ^1/2 , из которых можно вычислить x = v ₄ + v ₁ и 1 / x = v ₄ - v ₁ . Хотя необходимость вычисления квадратного корня из v ₃ , как правило, приводит к ответам, не имеющим конечных шестидесятеричных представлений, задача YBC 6967 была поставлена ​​- то есть значение c было выбрано подходящим образом - чтобы дать хороший ответ. Фактически, отсюда и вышеприведенная спецификация, согласно которой x является правильной шестидесятеричной дробью:х таким образом гарантирует , что оба х и 1 / х имеет конечного шестидесятеричные представления. Чтобы спроектировать проблему с хорошим ответом, установщику задачи просто нужно будет выбрать такой x и позволить исходным данным c равным x - 1 / x . В качестве побочного эффекта это дает рациональную тройку Пифагора с катетами v ₁ и 1 и гипотенузой v ₄ .

Следует отметить, что задача на YBC 6967 фактически решает уравнение , которое влечет за собой замену выражения для v ₃ выше на v ₃ = 60 + v ₂ . Побочный эффект получения рационального тройной, таким образом , теряется , так как стороны стали V ₁ , и V ₄ . В этом предложении следует предположить, что вавилоняне были знакомы с обоими вариантами проблемы.${\textstyle x-{\tfrac {1\ 00}{x}}=x-{\tfrac {60}{x}}=c}$${\displaystyle {\sqrt {60}}}$

Робсон утверждает, что колонки Плимптона 322 можно интерпретировать как:

v ₃ = (( x + 1 / x ) / 2) ² = 1 + ( c / 2) ² в первом столбце,

a · v ₁ = a · ( x - 1 / x ) / 2 для подходящего множителя a во втором столбце, и

a · v ₄ = a · ( x + 1 / x ) / 2 в третьем столбце.

В этой интерпретации x и 1 / x (или, возможно, v ₁ и v ₄ ) должны были появиться на таблетке в оторванной части слева от первого столбца. Поэтому наличие столбца 1 объясняется как промежуточный шаг в вычислении, а порядок строк осуществляется по убыванию значений x (или v ₁ ). Множитель aиспользуется для вычисления значений в столбцах 2 и 3, которые можно рассматривать как изменение масштаба сторон, возникает в результате применения «алгоритма конечной части», в котором оба значения многократно умножаются на обратную величину любого обычного общего множителя. до последних шестидесятеричных цифр обеих, пока не останется такого общего множителя. ^[14] Как обсуждалось выше, все ошибки в табличке имеют естественное объяснение в предложении о взаимных парах. С другой стороны, Робсон указывает, что роль столбцов 2 и 3 и необходимость множителя aостаются необъясненными этим предложением, и предполагает, что целью автора планшета было предоставить параметры не для квадратичных задач того типа, который решен на YBC 6967, а, скорее, «для какого-то рода задач прямоугольного треугольника». Она также отмечает, что метод, использованный для создания таблицы, и использование, для которого она предназначалась, не обязательно должны совпадать. ^[15]

Сильная дополнительная поддержка идеи о том, что числа на планшете были сгенерированы с использованием взаимных пар, исходит от двух планшетов, MS 3052 и MS 3971, из коллекции Шёйена . Йоран Фриберг перевел и проанализировал две таблички и обнаружил, что обе содержат примеры вычисления диагонали и длины сторон прямоугольника с использованием взаимных пар в качестве отправной точки. Обе таблички являются древневавилонскими, примерно того же возраста, что и Плимптон 322, и обе, как полагают, происходят из Урука, недалеко от Ларсы. ^[16] Дальнейший анализ двух табличек был проведен в Britton, Proust & Shnider (2011).. MS 3971 содержит список из пяти задач, третья из которых начинается с «Чтобы вы видели пять диагоналей» и заканчивается «пятью диагоналями». Приведенные данные для каждой из пяти частей задачи состоят из обратной пары. Для каждой части вычисляется длина диагонали и ширина (короткая сторона) прямоугольника. Длина (длинная сторона) не указана, но расчет подразумевает, что она принята равной 1. С современной точки зрения расчет происходит следующим образом: при заданных x и 1 / x сначала вычисляется ( x + 1 / x ) / 2, диагональ. Затем вычислите

${\displaystyle {\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},}$

ширина. Из-за повреждения части планшета, содержащей первую из пяти частей, постановка задачи для этой части, за исключением следов исходных данных, и решение были утеряны. Остальные четыре части по большей части не повреждены и содержат очень похожий текст. Причина, по которой диагональ принимается за половину суммы обратной пары, не указана в неизменном тексте. Обратите внимание, что вычисление ширины эквивалентно ( x −1 / x ) / 2, но этот более прямой метод вычисления не использовался, правило, связывающее квадрат диагонали с суммой квадратов сторон был предпочтительным.

Текст второй задачи MS 3052 также был сильно поврежден, но то, что осталось, структурировано аналогично пяти частям MS 3971, Задача 3. Задача содержит фигуру, которая, по мнению Фриберга, вероятно, представляет собой «прямоугольник без любые диагонали ». ^[17] Бриттон, Пруст и Шнидер (2011) подчеркивают, что в сохраненных частях текста явно указано, что длина равна 1, и явно вычисляется 1, которая вычитается из квадрата диагонали в процессе вычисления ширины как квадрата. длины. Исходные данные, а также расчетная ширина и диагональ для шести задач на двух планшетах приведены в таблице ниже.

Параметры MS 3971 § 3a недостоверны из-за повреждения планшета. Обратите внимание, что параметры задачи из MS 3052 соответствуют изменению масштаба стандартного (3,4,5) прямоугольного треугольника, который отображается как строка 11 в Plimpton 322. Ни один из параметров в задачах из MS 3971 не соответствует ни одному из строки Плимптона 322. Как обсуждается ниже, все строки Плимптона 322 имеют x ≥9 / 5, в то время как все задачи на MS 3971 имеют x <9/5. Однако все параметры MS 3971 соответствуют строкам предложенного де Солла Прайса расширения таблицы Plimpton 322, также обсуждаемого ниже.

Следует подчеркнуть, что роль обратной пары в задаче на YBC 6967 иная, чем на MS 3052 и MS 3971 (и, соответственно, на Plimpton 322). В задаче YBC 6967 членами обратной пары являются длины сторон прямоугольника области 1. Геометрическое значение x и 1 / x не указано в сохранившемся тексте задач MS 3052 и MS. 3971. Похоже, что целью было применить известную процедуру для создания прямоугольников с конечной шестидесятеричной шириной и диагональю. ^[18] Следует также отметить, что алгоритм конечной точки не использовался для изменения масштаба сторон в этих задачах.

Сравнение предложений [ править ]

Величина x в предложении обратной пары соответствует отношению p  /  q в предложении генерирующей пары. В самом деле, хотя эти два предложения различаются по методу расчета, математическая разница между результатами незначительна, поскольку оба дают одинаковые тройки, за исключением общего коэффициента 2 в случае, когда p и q нечетные. (К сожалению, единственное место, где это происходит в таблице, - это строка 15, которая содержит ошибку и поэтому не может использоваться для различения предложений.) Сторонники предложения о взаимной паре расходятся во мнениях относительно того, был ли x вычислен из базового p и q, но только с комбинациями p  /  q и q  /  p, используемыми в планшетных вычислениях ^[19], или с тем, был ли x получен непосредственно из других источников, таких как обратные таблицы. ^[20] Одна из трудностей с последней гипотезой заключается в том, что некоторые из необходимых значений x или 1 / x являются четырехзначными шестидесятеричными числами, а четырехзначные взаимные таблицы не известны. Фактически, Нойгебауэр и Закс отметили возможность использования взаимных пар в своей первоначальной работе и отвергли ее по этой причине. Робсон, однако, утверждает, что известные источники и вычислительные методы древневавилонского периода могут объяснить все значениях используется.

Подбор пар [ править ]

Нойгебауэр и Сакс отмечают, что размеры треугольника на табличке варьируются от размеров почти равнобедренного прямоугольного треугольника (с короткой ножкой, 119, почти равной длинной ножке, 120) до размеров прямоугольного треугольника с острыми углами, близкими к 30 ° и 60 °. ° и угол уменьшается довольно равномерно с шагом примерно 1 °. Они предполагают, что пары p , q были выбраны сознательно с этой целью.

Де Солла Прайс (1964) заметил , что каждая строка таблицы генерируется q, которое удовлетворяет 1 ≤  q <60, то есть q всегда является однозначным шестидесятеричным числом. номер. Отношение p / q принимает наибольшее значение, 12/5 = 2,4, в строке 1 таблицы и, следовательно, всегда меньше, чем условие, которое гарантирует, что p ²  -  q ² - длинная ветвь, а 2 pq - короткая. катетом треугольника, что, говоря современным языком, означает, что угол, противоположный катету, длиной p ²  -  q${\displaystyle {\sqrt {2}}+1\approx 2.414}$² меньше 45 °. Наименьшее соотношение в строке 15, где p / q = 9/5 для угла около 31,9 °. Кроме того, существует ровно 15 регулярных соотношений между 9/5 и 12/5 включительно, для которых q - однозначное шестидесятеричное число, и они находятся во взаимно однозначном соответствии со строками таблицы. Он также указывает, что четный интервал между числами мог быть не преднамеренным: он также мог возникнуть просто из-за плотности соотношений регулярных чисел в диапазоне чисел, рассматриваемом в таблице.

Де Солла Прайс утверждал, что естественной нижней границей для отношения будет 1, что соответствует углу 0 °. Он обнаружил, что при сохранении требования о том, чтобы q было однозначным шестидесятеричным числом, есть 23 пары в дополнение к парам, представленным на табличке, всего 38 пар. Он отмечает, что вертикальная отметка между столбцами на планшете была продолжена на обратной стороне, предполагая, что писец, возможно, намеревался расширить таблицу. Он утверждает, что на доступном месте можно было бы правильно разместить 23 дополнительных ряда. Сторонники предложения о взаимной паре также поддерживают эту схему. ^[21]

Робсон (2001) не рассматривает это предложение напрямую, но соглашается с тем, что таблица не была «полной». Она отмечает, что в предложении о взаимных парах каждый x, представленный в таблице, является не более чем четырехзначным шестидесятеричным числом с не более чем четырехзначным обратным числом, и что общее количество мест в x и 1 / x вместе никогда не бывает более 7. Если эти свойства принять как требования, на табличке «пропущено» ровно три значения x , которые, по ее мнению, могли быть опущены, потому что они непривлекательны по-разному. Она признает "шокирующе спонтанный"характер этой схемы, которая служит главным образом риторическим приемом для критики всех попыток угадать критерии отбора автора таблички. ^[22]

Цель и авторство [ править ]

Отто Э. Нойгебауэр  ( 1957 ) выступал за теоретико-числовую интерпретацию, но также полагал, что записи в таблице были результатом преднамеренного процесса выбора, направленного на достижение довольно регулярного уменьшения значений в столбце 1 в определенных пределах.

Бак (1980) и Робсон (2002) упоминают о существовании тригонометрического объяснения, которое Робсон приписывает авторам различных общих историй и неопубликованных работ, но которое может вытекать из наблюдения Нойгебауэра и Сакса (1945), что значения первый столбец может быть интерпретирован как секущая или касательная в квадрате(в зависимости от пропущенной цифры) угла, противоположного короткой стороне прямоугольного треугольника, описываемого каждой строкой, и строки сортируются по этим углам с шагом примерно в один градус. Другими словами, если вы возьмете число в первом столбце без учета (1) и получите его квадратный корень, а затем разделите его на число во втором столбце, результатом будет длина длинной стороны треугольника. . Следовательно, квадратный корень из числа (минус один) в первом столбце - это то, что мы сегодня назвали бы тангенсом угла, противоположного короткой стороне. Если (1) включено, квадратный корень из этого числа является секущей . ^[23]

В противоположность этим более ранним объяснениям таблички, Робсон (2002) утверждает, что все исторические, культурные и лингвистические данные показывают, что табличка, скорее всего, построена из «списка регулярных взаимных пар ». ^[24] Робсон на лингвистических основаниях утверждает, что тригонометрическая теория «концептуально анахронична»: она зависит от слишком многих других идей, отсутствующих в записях вавилонской математики того времени. В 2003 году MAA наградило Робсон Премией Лестера Р. Форда за ее работу, заявив, что это«Маловероятно, что автор Plimpton 322 был профессионалом или математиком-любителем. Более вероятно, что он, кажется, был учителем и Plimpton 322 - набором упражнений». ^[25] Робсон использует подход, который в современных терминах можно охарактеризовать как алгебраический , хотя она описывает его в конкретных геометрических терминах и утверждает, что вавилоняне также интерпретировали бы этот подход геометрически.

Таким образом, планшет можно интерпретировать как последовательность проработанных упражнений. В нем используются математические методы, типичные для школ писцов того времени, и он написан в формате документа, который использовался администраторами того периода. ^[26] Таким образом, Робсон утверждает, что автор, вероятно, был писцом, чиновником в Ларсе. ^[27] Повторяющаяся математическая настройка планшета и аналогичных планшетов, таких как BM 80209, была бы полезна, если бы преподаватель мог ставить задачи в одном формате, но с разными данными.

См. Также [ править ]

• Математический папирус Райнда
• YBC 7289
• IM 67118

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Записи в каталоге Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI), включая высококачественные цифровые изображения:
  • Plimpton 322 , статья вики CDLI
  • YBC 6967
  • MS 3052
  • MS 3971

Дальнейшее чтение [ править ]

• Абдулазиз, Абдулрахман Али (2010), Табличка Plimpton 322 и вавилонский метод создания пифагорейских троек , arXiv : 1004.0025 , Bibcode : 2010arXiv1004.0025A.
• Кассельман, Билл (2003), Вавилонская табличка Плимптон 322 , Университет Британской Колумбии.
• Кирби, Лоуренс (2011), Плимптон 322: Древние корни современной математики (получасовой документальный видеофильм) , Колледж Баруха , Городской университет Нью-Йорка.

Выставки [ править ]

• «До Пифагора: культура древней вавилонской математики» , Институт изучения древнего мира , Нью-Йоркский университет , 12 ноября - 17 декабря 2010 г. Включает фотографию и описание Плимптона 322 ).
• Ротштейн, Эдвард (27 ноября 2010 г.). «Мастера математики из старого Вавилона» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 28 ноября 2010 года .. Обзор выставки «До Пифагора» с упоминанием разногласий по поводу Плимптона 322.
• «Драгоценности в ее короне: сокровища из специальных коллекций библиотек Колумбии», Библиотека редких книг и рукописей, Колумбийский университет , 8 октября 2004 г. - 28 января 2005 г. Фото и описание предмета 158: Плимптонская клинопись 322.