Специальный прямоугольный треугольник является прямоугольным с некоторой регулярной функцией , которая делает расчеты на треугольнике проще, или для которых существуют простые формулы. Например, прямоугольный треугольник может иметь углы, которые образуют простые соотношения, например 45 ° –45 ° –90 °. Это называется прямоугольным треугольником, основанным на углах. Прямоугольный треугольник со «основанием по бокам» - это треугольник, в котором длины сторон образуют отношения целых чисел , таких как 3: 4: 5, или других специальных чисел, таких как золотое сечение . Знание соотношений углов или соотношений сторон этих специальных прямоугольных треугольников позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к более продвинутым методам.
На основе угла [ править ]
Специальные прямоугольные треугольники, основанные на углах, определяются соотношением углов, из которых состоит треугольник. Углы этих треугольников таковы, что больший (прямой) угол, который составляет 90 градусов илиπ/2 радиан, равен сумме двух других углов.
Длины сторон обычно вычисляются на основе единичной окружности или других геометрических методов. Этот подход можно использовать для быстрого воспроизведения значений тригонометрических функций для углов 30 °, 45 ° и 60 °.
Специальные треугольники используются для помощи в вычислении общих тригонометрических функций, как показано ниже:
| градусы | радианы | углы | повороты | грех | потому что | загар | котан |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 ° | 0 | 0 г | 0 | √ 0/2 = 0 | √ 4/2 = 1 | 0 | неопределенный |
| 30 ° | π/6 | 33+1/3грамм | 1/12 | √ 1/2 знак равно 1/2 | √ 3/2 | 1/√ 3 | √ 3 |
| 45 ° | π/4 | 50 г | 1/8 | √ 2/2 знак равно 1/√ 2 | √ 2/2 знак равно 1/√ 2 | 1 | 1 |
| 60 ° | π/3 | 66+2/3грамм | 1/6 | √ 3/2 | √ 1/2 знак равно 1/2 | √ 3 | 1/√ 3 |
| 90 ° | π/2 | 100 г | 1/4 | √ 4/2 = 1 | √ 0/2 = 0 | неопределенный | 0 |
Треугольник 45 ° –45 ° –90 °, треугольник 30 ° –60 ° –90 ° и равносторонний / равноугольный (60 ° –60 ° –60 °) треугольник - это три треугольника Мёбиуса на плоскости, что означает, что они разбейте плоскость мозаикой с помощью отражений в их сторонах; см. группу "Треугольник" .
Треугольник 45 ° –45 ° –90 ° [ править ]
В плоской геометрии построение диагонали квадрата приводит к треугольнику, три угла которого находятся в соотношении 1: 1: 2, что в сумме дает 180 ° или π радиан. Следовательно, углы составляют соответственно 45 ° (π/4), 45 ° (π/4) и 90 ° (π/2). Стороны этого треугольника находятся в соотношении 1: 1: √ 2 , что непосредственно следует из теоремы Пифагора .
Из всех прямоугольных треугольников треугольник 45 ° –45 ° –90 ° имеет наименьшее отношение гипотенузы к сумме катетов, а именно √ 2/2. [1] : с.282, с.358 и наибольшее отношение высоты от гипотенузы к сумме катетов, а именно√ 2/4. [1] : с.282
Треугольники с этими углами - единственные возможные прямоугольные треугольники, которые также являются равнобедренными треугольниками в евклидовой геометрии . Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии существует бесконечно много различных форм прямоугольных равнобедренных треугольников.
Треугольник 30 ° –60 ° –90 ° [ править ]
Это треугольник, три угла которого находятся в соотношении 1: 2: 3 и составляют соответственно 30 ° (π/6), 60 ° (π/3) и 90 ° (π/2). Стороны находятся в соотношении 1: √ 3 : 2.
Доказательство этого факта наглядно с помощью тригонометрии . Геометрическое доказательство:
- Нарисуйте равносторонний треугольник ABC со стороной 2 и точкой D в качестве середины отрезка BC . Нарисуйте линию высоты от A до D . Тогда ABD - это треугольник 30 ° –60 ° –90 ° с гипотенузой длины 2 и основанием BD длины 1.
- Тот факт, что оставшаяся катета AD имеет длину √ 3, немедленно следует из теоремы Пифагора .
Треугольник 30 ° –60 ° –90 ° - единственный прямоугольный треугольник, углы которого находятся в арифметической прогрессии. Доказательство этого факта простое и следует из того факта, что если α , α + δ , α + 2 δ - углы в прогрессии, то сумма углов 3 α + 3 δ = 180 °. После деления на 3 угол α + δ должен составлять 60 °. Прямой угол равен 90 °, а оставшийся угол равен 30 °.
Боковой [ править ]
Правильные треугольники сторон которого являются целыми длинами, со сторонами известных под общим названием пифагорейских троек , имеют углы , которые не могут быть все рациональные числа из степеней . [2] (Это следует из теоремы Нивена .) Они наиболее полезны в том смысле, что их легко запомнить, а любое кратное число сторон приводит к одинаковым отношениям. Используя формулу Евклида для генерации троек Пифагора, стороны должны быть в соотношении
- м 2 - n 2 : 2 мин : м 2 + n 2
где m и n - любые положительные целые числа такие, что m > n .
Общие пифагорейские тройки [ править ]
Есть несколько хорошо известных пифагоровых троек, в том числе со сторонами в соотношениях:
3: 4 : 5 5: 12 : 13 8: 15 : 17 7: 24 : 25 9: 40 : 41
Треугольники 3: 4: 5 - единственные прямоугольные треугольники с ребрами в арифметической прогрессии . Треугольники, основанные на пифагорейских тройках, являются героновскими , что означает, что у них есть целая площадь, а также целые стороны.
Возможное использование треугольника 3: 4: 5 в Древнем Египте с предполагаемым использованием веревки с узлами для создания такого треугольника и вопрос о том, была ли известна в то время теорема Пифагора, были предметом многочисленных споров. [3] Впервые это предположение было высказано историком Морицем Кантором в 1882 году. [3] Известно, что прямые углы были выложены точно в Древнем Египте; что их геодезисты действительно использовали веревки для измерений; [3] , что Плутарх записано в Исиде и Осирисе (около 100 г. н.э.) , что египтяне любовались 3: 4: 5 треугольник; [3] и что Берлинский папирус 6619 из Среднего царства Египта.(до 1700 г. до н.э.) утверждал, что «площадь квадрата 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного равна ½ + стороны другого». [4] Историк математики Роджер Л. Кук отмечает: «Трудно представить, чтобы кто-то интересовался такими условиями, не зная теоремы Пифагора». [3] В противовес этому Кук отмечает, что ни в одном египетском тексте до 300 г. до н.э. на самом деле не упоминается использование теоремы для определения длины сторон треугольника, и что существуют более простые способы построить прямой угол. Кук заключает, что гипотеза Кантора остается неопределенной: он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но что «нет никаких доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов». [3]
Ниже приведены все тройные отношения Пифагора, выраженные в наименьшей форме (помимо пяти наименьших в наименьшей форме в списке выше) с обеими сторонами, не являющимися гипотенузами, меньше 256:
11: 60 : 61 12: 35 год : 37 13: 84 : 85 15: 112 : 113 16: 63 : 65 17: 144 : 145 19: 180 : 181 20: 21 год : 29 20: 99 : 101 21: 220 : 221
| 24: | 143 | : 145 | |
|---|---|---|---|
| 28: | 45 | : 53 | |
| 28: | 195 | : 197 | |
| 32: | 255 | : 257 | |
| 33: | 56 | : 65 | |
| 36: | 77 | : 85 | |
| 39: | 80 | : 89 | |
| 44: | 117 | : 125 | |
| 48: | 55 | : 73 | |
| 51: | 140 | : 149 |
| 52: | 165 | : 173 | |
|---|---|---|---|
| 57: | 176 | : 185 | |
| 60: | 91 | : 109 | |
| 60: | 221 | : 229 | |
| 65: | 72 | : 97 | |
| 84: | 187 | : 205 | |
| 85: | 132 | : 157 | |
| 88: | 105 | : 137 | |
| 95: | 168 | : 193 | |
| 96: | 247 | : 265 |
| 104: | 153 | : 185 |
|---|---|---|
| 105: | 208 | : 233 |
| 115: | 252 | : 277 |
| 119: | 120 | : 169 |
| 120: | 209 | : 241 |
| 133: | 156 | : 205 |
| 140: | 171 | : 221 |
| 160: | 231 | : 281 |
| 161: | 240 | : 289 |
| 204: | 253 | : 325 |
| 207: | 224 | : 305 |
Почти равнобедренные пифагоровы тройки [ править ]
Равнобедренные прямоугольные треугольники не могут иметь стороны с целыми числами, потому что отношение гипотенузы к любой другой стороне равно √ 2 , но √ 2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел . Однако существует бесконечно много почти равнобедренных прямоугольных треугольников. Это прямоугольные треугольники с целыми сторонами, у которых длины ребер без гипотенузы отличаются на единицу. [5] [6] Такие почти равнобедренные прямоугольные треугольники можно получить рекурсивно,
- а 0 = 1, б 0 = 2
- а n = 2 b n −1 + a n −1
- b n = 2 a n + b n −1
a n - длина гипотенузы, n = 1, 2, 3, .... Эквивалентно,
где { x , y } - решения уравнения Пелла x 2 - 2 y 2 = −1 , где гипотенуза y является нечетными членами чисел Пелла 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408. , 985 , 2378 ... (последовательность A000129 в OEIS ) .. Наименьшие результирующие тройки Пифагора: [7]
3: 4 : 5 20: 21 год : 29 119: 120 : 169 696: 697 : 985 4059: 4 060 : 5,741 23 660: 23 661 : 33 461 137 903: 137 904 : 195 025 803 760: 803 761 : 1 136 689 4 684 659: 4 684 660 : 6 625 109
В качестве альтернативы те же треугольники могут быть образованы из квадратных треугольных чисел . [8]
Арифметические и геометрические прогрессии [ править ]
Треугольник Кеплера - это прямоугольный треугольник, стороны которого расположены в геометрической прогрессии . Если стороны образованы геометрической прогрессией a , ar , ar 2, то его общее отношение r равно r = √ φ, где φ - золотое сечение. Следовательно, его стороны находятся в соотношении 1: √ φ : φ . Таким образом, форма треугольника Кеплера однозначно определяется (с точностью до масштабного коэффициента) требованием, чтобы его стороны находились в геометрической прогрессии.
Треугольник 3–4–5 - это единственный прямоугольный треугольник (с точностью до масштабирования), стороны которого находятся в арифметической прогрессии . [9]
Стороны правильных многоугольников [ править ]
Пусть a = 2 sinπ/10 знак равно −1 + √ 5/2 знак равно 1/φ- длина стороны правильного десятиугольника, вписанного в единичный круг, где φ - золотое сечение . Пусть b = 2 sinπ/6= 1 - длина стороны правильного шестиугольника в единичной окружности, и пусть c = 2 sinπ/5= - длина стороны правильного пятиугольника в единичной окружности. Тогда a 2 + b 2 = c 2 , поэтому эти три длины образуют стороны прямоугольного треугольника. [10] Тот же треугольник образует половину золотого прямоугольника . Его также можно найти внутри правильного икосаэдра со стороной c : самый короткий отрезок прямой от любой вершины V до плоскости ее пяти соседей имеет длину a , а концы этого отрезка вместе с любыми соседями V образуют вершины прямоугольного треугольника со сторонами a, б , и в . [11]
См. Также [ править ]
- Целочисленный треугольник
- Спираль Теодора
Ссылки [ править ]
- ^ a b Posamentier, Альфред С., и Леман, Ингмар. Тайны треугольников . Книги Прометея, 2012.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Рациональный треугольник» . MathWorld .
- ^ Б с д е е Cooke, Роджер Л. (2011). История математики: Краткий курс (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. С. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0.
- ^ Жиллингс, Ричард Дж. (1982). Математика во времена фараонов . Дувр. п. 161 .
- ^ Забудьте, TW; Ларкин, Т.А. (1968), «Пифагоровы триады формы x , x + 1, z, описываемые рекуррентными последовательностями» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94–104 .
- ^ Чен, СС; Пэн Т.А. (1995), «Почти равнобедренные прямоугольные треугольники» (PDF) , Австралазийский журнал комбинаторики , 11 : 263–267, MR 1327342 .
- ^ (последовательность A001652 в OEIS )
- ^ Nyblom, MA (1998), "Замечание о наборе почти равнобедренных прямоугольных треугольников" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319-322, MR 1640364 .
- ^ Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, Е. Р. (1997), "Арифметические треугольники", Математика Журнал , 70 (2): 105-115, DOI : 10,2307 / 2691431 , МР 1448883 .
- ^ Евклида элементы , Книга XIII, предложение 10 .
- ^ nLab: пятиугольник, декагон, шестиугольник .
Внешние ссылки [ править ]
- 3: 4: 5 треугольник
- 30–60–90 треугольник
- Треугольник 45–45–90 - с интерактивной анимацией
