В математике , А треугольник группа представляет собой группу , которая может быть реализована геометрически последовательностями отражений поперек сторон треугольника . Треугольник может быть обычным евклидовым треугольником, треугольником на сфере или гиперболическим треугольником . Каждый треугольник группа является группой симметрии из плитки в евклидовой плоскости , в области , или гиперболической плоскости по конгруэнтных треугольников называется Мёбиус треугольников , каждая из которых является фундаментальной областью за действие.
Определение [ править ]
Пусть l , m , n - целые числа, большие или равные 2. Треугольная группа Δ ( l , m , n ) - это группа движений евклидовой плоскости, двумерной сферы, действительной проективной плоскости или гиперболической плоскости. плоскость, образованная отражениями в сторонах треугольника с углами π / l , π / m и π / n (измеренными в радианах ). Произведение отражений в двух соседних сторонах представляет собой поворот на угол, который в два раза больше угла между этими сторонами, 2π / l., 2π / m и 2π / n . Следовательно, если образующие отражения обозначены a , b , c, а углы между ними в циклическом порядке такие, как указано выше, то выполняются следующие соотношения:
Это теорема, что все остальные отношения между a, b, c являются следствиями этих отношений и что ∆ ( l, m, n ) - дискретная группа движений соответствующего пространства. Таким образом, треугольная группа - это группа отражений , допускающая групповое представление.
Абстрактная группа с таким представлением - это группа Кокстера с тремя образующими.
Классификация [ править ]
Для любых натуральных чисел l , m , n > 1 ровно одна из классических двумерных геометрий (евклидова, сферическая или гиперболическая) допускает треугольник с углами (π / l, π / m, π / n) и пространство выложено отражениями треугольника. Сумма углов треугольника определяет тип геометрии по теореме Гаусса – Бонне : она евклидова, если сумма углов равна точно π, сферическая, если она превышает π, и гиперболическая, если она строго меньше π. Более того, любые два треугольника с заданными углами конгруэнтны. Каждая группа треугольников определяет мозаику, которая обычно окрашивается в два цвета, так что любые две соседние плитки имеют противоположные цвета.
В терминах чисел l , m , n > 1 возможны следующие варианты.
Евклидов случай [ править ]
Группа треугольников - это группа бесконечной симметрии определенной мозаики (или мозаики) евклидовой плоскости треугольниками, углы которых в сумме составляют π (или 180 °). С точностью до перестановок тройка ( l , m , n ) является одной из троек (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Соответствующие группы треугольников являются экземплярами групп обоев .
| (2,3,6) | (2,4,4) | (3,3,3) |
|---|---|---|
 |  |  |
| пополам шестиугольная черепица | квадратная плитка тетракис | треугольная черепица |
| Более подробные диаграммы, помечающие вершины и показывающие, как работает отражение: | ||
Сферический корпус [ править ]
Группа треугольников - это конечная группа симметрии замощения единичной сферы сферическими треугольниками или треугольниками Мёбиуса , сумма углов которых дает число больше π. С точностью до перестановок тройка ( l , m , n ) имеет вид (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) или (2,2, n ), n > 1. Сферические треугольные группы можно отождествить с группами симметрии правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве: Δ (2,3,3) соответствует тетраэдру , Δ (2,3,4) как кубу, так и октаэдр (которые имеют ту же самую группу симметрии), Δ (2,3,5) как к додекаэдруи икосаэдр . Группы диэдрической симметрии Δ (2,2, n ), n > 1, можно интерпретировать как группы симметрии семейства диэдров , которые представляют собой вырожденные твердые тела, образованные двумя одинаковыми правильными n -угольниками, соединенными вместе, или двойными хозоэдрами , образованы соединением n двуугольников в двух вершинах.
Сферические плиточный , соответствующие правильный многогранник получаются путем формирования барицентрического подразделения многогранника и проецирования полученных точек и линий на описанной сферу. В случае тетраэдра есть четыре грани, и каждая грань представляет собой равносторонний треугольник, который разделен на 6 меньших частей медианами, пересекающимися в центре. Полученная мозаика имеет 4 × 6 = 24 сферических треугольника (это сферический куб Дисдиакиса ).
Эти группы конечны, что соответствует компактности сферы - площади дисков в сфере сначала увеличиваются по радиусу, но в конечном итоге покрывают всю сферу.
Треугольные мозаики изображены ниже:
| (2,2,2) | (2,2,3) | (2,2,4) | (2,2,5) | (2,2,6) | (2,2, п) |
|---|---|---|---|---|---|
| (2,3,3) | (2,3,4) | (2,3,5) | |||
Сферические тайлинги , соответствующий октаэдр и икосаэдр и двугранные сферические разбиения с еще п являются центрально - симметричными . Следовательно, каждый из них определяет замощение действительной проективной плоскости, эллиптическое замощение . Его группа симметрии - это фактор группы сферических треугольников по отражению через начало координат (- I ), который является центральным элементом порядка 2. Поскольку проективная плоскость является моделью эллиптической геометрии , такие группы называются группами эллиптических треугольников. [1]
Гиперболический случай [ править ]
Группа треугольников - это бесконечная группа симметрии замощения гиперболической плоскости гиперболическими треугольниками, сумма углов которых дает число меньше π. Все тройки, не указанные в списке, представляют собой мозаики гиперболической плоскости. Например, тройка (2,3,7) дает группу треугольников (2,3,7) . Таких групп бесконечно много; мозаики, связанные с некоторыми небольшими значениями:
Гиперболическая плоскость [ править ]
| Пример прямоугольных треугольников (2 шт.) | ||||
|---|---|---|---|---|
(2 3 7) | (2 3 8) | (2 3 9) | (2 3 ∞) | |
(2 4 5) | (2 4 6) | (2 4 7) | (2 4 8) | (2 4 ∞) |
(2 5 5) | (2 5 6) | (2 5 7) | (2 6 6) | (2 ∞ ∞) |
| Пример общих треугольников (pqr) | ||||
(3 3 4) | (3 3 5) | (3 3 6) | (3 3 7) | (3 3 ∞) |
(3 4 4) | (3 6 6) | (3 ∞ ∞) | (6 6 6) | (∞ ∞ ∞) |
Гиперболические треугольные группы являются примерами неевклидовой кристаллографической группы и были обобщены в теории гиперболических групп Громова .
Группы фон Дейка [ править ]
Обозначим через D ( л , м , п ) подгруппа из индекса 2 в А (л, т, п) , порожденный словами четной длины от образующих. Такие подгруппы иногда называют «обычными» треугольными группами [2] или группами фон Дейка в честь Вальтера фон Дейка . Для сферических, евклидовых и гиперболических треугольников они соответствуют элементам группы, сохраняющим ориентациютреугольника - группа вращений. Для проективных (эллиптических) треугольников их нельзя интерпретировать таким образом, поскольку проективная плоскость неориентируема, поэтому нет понятия «сохраняющий ориентацию». Однако отражения локально меняют ориентацию (и каждое многообразие является локально ориентируемым, потому что локально евклидово): они фиксируют линию, и в каждой точке линии отражается поперек линии. [3]
Группа D ( l , m , n ) определяется следующим представлением:
В терминах генераторов, приведенных выше, это x = ab, y = ca, yx = cb . Геометрически три элемента x , y , xy соответствуют поворотам на 2π / l , 2π / m и 2π / n вокруг трех вершин треугольника.
Обратите внимание, что D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ), поэтому D ( l , m , n ) не зависит от порядка l , m , n .
Гиперболическая группа фон Дейка - это фуксова группа , дискретная группа, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости.
Перекрывающиеся плитки [ править ]
Группы треугольников сохраняют мозаику треугольниками, а именно фундаментальную область действия (треугольник, определяемый линиями отражения), называемый треугольником Мёбиуса , и задаются тройкой целых чисел ( l , m , n ), - целыми числами соответствуют (2 l , 2 m , 2 n ) треугольника, сходящегося в вершину. Также существуют мозаики из перекрывающихся треугольников, которые соответствуют треугольникам Шварца с рациональными числами ( l / a , m / b , n / c), где знаменатели взаимно просты с числителями. Это соответствует ребрам, пересекающимся под углами a π / l (соответственно), что соответствует повороту на 2 a π / l (соответственно), который имеет порядок l и, таким образом, идентичен как абстрактный элемент группы, но отличается, когда представлен отражением.
Например, треугольник Шварца (2 3 3) дает разбиение сферы с плотностью 1, а треугольник (2 3/2 3) дает разбиение сферы с плотностью 3, но с той же самой абстрактной группой. Эти симметрии перекрывающихся мозаик не считаются треугольными группами.
История [ править ]
Группы треугольников датируются, по крайней мере, представлением группы икосаэдра как группы (вращательных) (2,3,5) треугольников Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его статье по икозианскому исчислению . [4]
Приложения [ править ]
| Внешнее видео | |
|---|---|
 Warped modular tiling [5] - визуализация карты (2,3, ∞) → (2,3,7) путем морфирования связанных мозаик. |
Группы треугольников возникают в арифметической геометрии . Модульная группа порождается два элементами, S и Т , при условии отношений S ² = ( ST ) ³ = 1 (никакого отношения на Т ), является вращательным треугольник группы (2,3, ∞) и отображает на все треугольник групп (2, 3, n ) путем добавления отношения T n = 1. В более общем смысле, группа Гекке H q порождается двумя элементами, S и T , с учетом соотношений S 2 = ( ST ) q= 1 (нет отношения на T ), является вращательной треугольной группой (2, q , ∞) и отображается на все треугольные группы (2, q , n ) путем добавления отношения T n = 1, модулярная группа является группой Гекке H 3 . В Гротендик теории «s из детских рисунков струкция , функция Belyi приводит к тесселяции на римановой поверхности с помощью отражения областей треугольной группы.
Все 26 спорадических групп являются факторами треугольных групп, [6] из которых 12 являются группами Гурвица (факторами группы (2,3,7)).
См. Также [ править ]
- Треугольник Шварца
- Карта треугольника Шварца - это карта треугольников в верхнюю полуплоскость .
- Геометрическая теория групп
Ссылки [ править ]
- ^ ( Магнус 1974 )
- ^ ( Гросс и Такер 2001 )
- ^ ( Магнус 1974 , стр.65)
- ↑ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446
- ^ Платоновы мозаики римановых поверхностей: Модульная группа , Жерар Вестендорп
- ^ ( Уилсон 2001 , таблица 2, стр.7)
Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( апрель 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
- Магнус, Вильгельм (1974), «II. Разрывные группы и мозаики треугольников», Неевклидовые мозаики и их группы , Academic Press , стр. 52–106 , ISBN 978-0-12-465450-1
- Гросс, Джонатан Л .; Такер, Томас В. (2001), «6.2.8 Группы треугольников», Топологическая теория графов , Courier Dover Publications, стр. 279–281 , ISBN 978-0-486-41741-7
- Уилсон, Р. (2001), "Монстр является гурвицева группа" , Журнал теории групп , 4 (4): 367-374, DOI : 10,1515 / jgth.2001.027 , МР 1859175
Внешние ссылки [ править ]
- Роберт Доусон Некоторые сферические мозаики (без даты, ранее 2004 г.) (показывает ряд интересных мозаичных мозаик, большинство из которых не являются мозаичными мозаиками треугольной группы.)
- Треугольники группы елизаветы рчен (2010) обои на рабочий стол
Эта статья включает материалы групп Triangle на PlanetMath , которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
