Теорема Гаусса – Бонне или формула Гаусса – Бонне - это связь между поверхностями в дифференциальной геометрии . Он связывает кривизну поверхности (из геометрии ) с ее эйлеровой характеристикой (из топологии ).
В простейшем приложении, в случае треугольника на плоскости , сумма его углов составляет 180 градусов. [1] Теорема Гаусса-Бонне распространяет это на более сложные формы и искривленные поверхности, соединяя локальную и глобальную геометрии.
Теорема названа в честь Карла Фридриха Гаусса , который разработал версию, но так и не опубликовал ее, и Пьера Оссиана Бонне , опубликовавшего особый случай в 1848 году. [ Тело не подтверждено ]
Заявление
Предполагать представляет собой компактное двумерное риманово многообразие с краем. Позволятьбыть кривизна гауссова из, и разреши быть геодезической кривизны из. Тогда [2] [3]
где дА является элемент площади поверхности, а DS представляет собой линейный элемент вдоль границы М . Здесь,это эйлерова характеристика из.
Если граница является кусочно - гладкой , то мы понимаем интегралкак сумму соответствующих интегралов вдоль гладких участков границы плюс сумма углов поворота гладких участков на углах границы.
Многие стандартные доказательства используют теорему поворота касательных, в котором говорится примерно о том , что обмотки число из кривой Жордана в точности ± 1. [2]
Толкование и значение
Теорема применима, в частности, к компактным поверхностям без границы, и в этом случае интеграл
можно не указывать. В нем говорится, что полная гауссова кривизна такой замкнутой поверхности в 2π раз превышает эйлерову характеристику поверхности. Отметим, что для ориентируемых компактных поверхностей без границы эйлерова характеристика равна, где - род поверхности: любая ориентируемая компактная поверхность без границы топологически эквивалентна сфере с некоторыми прикрепленными ручками, и считает количество ручек.
Если гнуть и деформировать поверхность , его эйлерова характеристика, будучи топологическим инвариантом, не изменится, а кривизна в некоторых точках изменится. Теорема заявляет, что несколько удивительно, что полный интеграл всех кривизны останется прежним, независимо от того, как деформируется. Так, например, если у вас есть сфера с «вмятиной», то ее общая кривизна равна 4π (эйлерова характеристика сферы равна 2), независимо от того, насколько велика или глубока вмятина.
Решающее значение имеет компактность поверхности. Рассмотрим, например, открытый единичный круг , некомпактную риманову поверхность без границы, с кривизной 0 и с эйлеровой характеристикой 1: формула Гаусса – Бонне не работает. Однако это верно для компактного замкнутого единичного диска, который также имеет эйлерову характеристику 1 из-за добавленного граничного интеграла со значением 2π.
В качестве приложения тор имеет эйлерову характеристику 0, поэтому его полная кривизна также должна быть равна нулю. Если тор несет обычную риманову метрику из своего вложения в R 3 , то внутренняя часть имеет отрицательную гауссову кривизну, внешняя часть имеет положительную гауссову кривизну, а полная кривизна действительно равна 0. Также можно построить тор, идентифицируя противоположные стороны. квадрата, и в этом случае риманова метрика на торе плоская и имеет постоянную кривизну 0, что опять же приводит к полной кривизне 0. Невозможно указать риманову метрику на торе с всюду положительной или всюду отрицательной гауссовой кривизной.
Для треугольников
Иногда формула GB обозначается как
где T - геодезический треугольник . Здесь мы определяем «треугольник» на M как односвязную область, граница которой состоит из трех геодезических . Затем мы можем применить GB к поверхности T, образованной внутренней частью этого треугольника и кусочной границей треугольника.
Геодезическая кривизна граничных геодезических равна 0, а эйлерова характеристика T равна 1.
Следовательно, сумма углов поворота геодезического треугольника равна 2π минус общая кривизна внутри треугольника. Поскольку угол поворота на углу равен π минус внутренний угол, мы можем перефразировать это следующим образом: [4]
- Сумма внутренних углов геодезического треугольника равна π плюс общая кривизна, заключенная в треугольнике.
В случае плоскости (где гауссова кривизна равна 0, а геодезические - прямые), мы восстанавливаем знакомую формулу для суммы углов в обычном треугольнике. На стандартной сфере, где кривизна всюду равна 1, мы видим, что сумма углов геодезических треугольников всегда больше π.
Особые случаи
Ряд более ранних результатов в сферической геометрии и гиперболической геометрии, открытых в предшествующие столетия, были отнесены к частным случаям Гаусса – Бонне.
Треугольники
В сферической тригонометрии и гиперболической тригонометрии площадь треугольника пропорциональна сумме, на которую его внутренние углы не суммируются до 180 °, или, что эквивалентно, (обратной) величине, на которую его внешние углы не складываются до 360 °. .
Площадь сферического треугольника пропорциональна его избытку по теореме Жирара - величине, на которую его внутренние углы в сумме составляют более 180 °, что равно сумме, на которую его внешние углы в сумме составляют менее 360 °.
Площадь гиперболического треугольника , наоборот, пропорциональна его дефекту, как установлено Иоганном Генрихом Ламбертом .
Многогранники
Декарт теорема об полном угловом дефекте в виде многогранника является многогранным аналог: он утверждает , что сумма дефекта во всех вершинах многогранника , которая гомеоморфна в сферу 4π. В более общем смысле, если многогранник имеет эйлерову характеристику (где g - род, что означает «количество дырок»), тогда сумма дефекта равна Это частный случай Гаусса – Бонне, когда кривизна сосредоточена в дискретных точках (вершинах).
Рассматривая кривизну как меру , а не как функцию, теорема Декарта - это Гаусс – Бонне, где кривизна является дискретной мерой , а Гаусс – Бонне для мер обобщает как Гаусс – Бонне для гладких многообразий, так и теорему Декарта.
Комбинаторный аналог
Существует несколько комбинаторных аналогов теоремы Гаусса – Бонне. Сформулируем следующее. Позволять- конечное двумерное псевдомногообразие . Позволять обозначим количество треугольников, содержащих вершину . потом
где первая сумма пробегает вершины внутри , вторая сумма идет по граничным вершинам, а - эйлерова характеристика .
Аналогичные формулы могут быть получены для двумерного псевдомногообразия, если мы заменим треугольники на высшие многоугольники. Для многоугольников с n вершинами мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на n / ( n - 2) и 2 n / ( n - 2) соответственно. Например, для четырехугольников мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на 2 и 4 соответственно. В частности, еслизамкнутое двумерное цифровое многообразие , род оказывается [5]
где указывает количество точек поверхности, каждая из которых имеет смежные точки на поверхности. Это простейшая формула теоремы Гаусса – Бонне в трехмерном цифровом пространстве.
Обобщения
Теорема Черна (после Шиинга-Шена Черна 1945) является 2n-мерным обобщением GB (см. Также гомоморфизм Черна – Вейля ).
Теорема Римана – Роха также может рассматриваться как обобщение GB на комплексные многообразия .
Важным обобщением, включающим все упомянутые выше теоремы, является теорема Атьи – Зингера об индексе .
Обобщением на 2-многообразия, которое не обязательно должно быть компактным, является неравенство Кона-Фоссена .
В популярной культуре
В романе Грега Игана « Диаспора» два персонажа обсуждают вывод этой теоремы.
Теорема может быть использована непосредственно как система управления скульптурой. Например, в работе Эдмунда Харрисса из коллекции Университета Арканзаса с отличием . [6]
Смотрите также
- Теорема Черна-Гаусса-Бонне
- Теорема Атьи – Зингера об индексе
Рекомендации
- ↑ Chern, Shiing-Shen (4 марта 1998 г.). «Интервью с Шиинг-Шен Черном» (PDF) (Интервью). Беседовала Аллин Джексон . Проверено 22 июля 2019 .
- ^ а б ду Карму, Манфредо Пердигау (1992). Риманова геометрия . Бостон: Биркхойзер. ISBN 0817634908. OCLC 24667701 .
- ^ ду Карму, Манфредо Пердигау (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0132125897. OCLC 1529515 .
- ^ Уикс, Джеффри Р. (12 декабря 2001 г.). «Форма пространства» . CRC Press. DOI : 10.1201 / 9780203912669 . ISBN 9780203912669- через Тейлор и Фрэнсис . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Чен, Ли; Ронг, Юнву (август 2010 г.). «Цифровой топологический метод вычисления рода и чисел Бетти». Топология и ее приложения . 157 (12): 1931–1936. doi : 10.1016 / j.topol.2010.04.006 - через ScienceDirect .
- ^ Харрис, Эдмунд (2020). «Скульптура Гаусса-Капота» . Proceedings of Bridges 2020: математика, искусство, музыка, архитектура, образование, культура . 2020 : 137–144 . Проверено 17 ноября 2020 .
дальнейшее чтение
- Гринфельд, Павел (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Springer. ISBN 1-4614-7866-9.
- "Теорема Гаусса – Бонне" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Внешние ссылки
- Теорема Гаусса – Бонне в Wolfram Mathworld