Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия является филиалом сферической геометрии , которая имеет дело с отношениями между тригонометрическими функциями этих сторон и углов сферических многоугольников (особенно сферические треугольники ) , определяемых числом пересекающихся больших кругов на сфере . Сферическая тригонометрия имеет большое значение для расчетов в астрономии , геодезии и навигации .

Истоки сферической тригонометрии в греческой математике и основные достижения исламской математики полностью обсуждаются в книге «История тригонометрии и математики в средневековом исламе» . Этот предмет воплотился в Раннее Новое время с важными разработками Джона Напьера , Деламбра и других, и приобрел практически завершенную форму к концу девятнадцатого века с публикацией учебника Тодхантера « Сферическая тригонометрия» для использования в колледжах и школах . ^[1] С тех пор значительным развитием явилось применение векторных методов и численных методов.

Предварительные мероприятия [ править ]

Восемь сферических треугольников, образованных пересечением трех больших кругов.

Сферические многоугольники [ править ]

Сферический многоугольник представляет собой многоугольник на поверхности сферы , определяемого числом большого круга дуг , которые являются пересечением поверхности с плоскостями через центр сферы. Такие многоугольники могут иметь любое количество сторон. Две плоскости определяют лунку , также называемую « двуугольником » или двуугольником , двусторонний аналог треугольника: знакомый пример - изогнутая поверхность сегмента апельсина. Три плоскости определяют сферический треугольник, который является основным предметом данной статьи. Четыре плоскости определяют сферический четырехугольник: такую ​​фигуру и многоугольники с более высокими сторонами всегда можно рассматривать как несколько сферических треугольников.

Один сферический многоугольник с интересными свойствами - это пентаграмма mirificum , сферический многоугольник с 5-гранной звездой со всеми прямыми углами.

С этого момента статья будет ограничена сферическими треугольниками, обозначенными просто как треугольники .

Обозначение [ править ]

• Обе вершины и углы при вершинах, обозначены одними и теми же буквами верхнего , B и C .
• Углы A , B , C треугольника равны углам между плоскостями, которые пересекают поверхность сферы, или, что то же самое, углам между касательными векторами дуг большого круга, где они встречаются в вершинах. Углы указаны в радианах. Углы собственных сферических треугольников (по соглашению) меньше π, так что π  <  A  +  B  +  C  <3π. (Тодхантер, ^[1] Статьи 22,32).
• Стороны обозначаются строчными буквами a , b и c . На единичной сфере их длины численно равны радианной мере углов, которые дуги большого круга образуют в центре. Стороны собственных сферических треугольников (по соглашению) меньше π, так что 0 <  a  +  b  +  c  <2π. (Тодхантер, ^[1], статьи 22,32).
• Радиус сферы принят за единицу. Для конкретных практических задач на сфере радиуса R измеренные длины сторон должны быть разделены на R перед использованием тождеств, приведенных ниже. Точно так же, после того, как расчет на единичной сфере стороны , б , с , должны быть умножены на  R .

Полярные треугольники [ править ]

Полярный треугольник, связанный с треугольником ABC, определяется следующим образом. Рассмотрим большой круг, который содержит сторону BC. Этот большой круг определяется пересечением диаметральной плоскости с поверхностью. Нарисуйте нормаль к этой плоскости в центре: она пересекает поверхность в двух точках, а точка, которая находится на той же стороне плоскости, что и A, (условно) называется полюсом A и обозначается A '. Аналогично определяются точки B 'и C'.

Треугольник A'B'C '- это полярный треугольник, соответствующий треугольнику ABC. Очень важная теорема (Тодхантер, ^[1] Статья 27) доказывает, что углы и стороны полярного треугольника задаются формулами

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {3} A '& = \ pi -a, & \ qquad B' & = \ pi -b, & \ qquad C '& = \ pi -c, \\ a' & = \ pi -A, & b '& = \ pi -B, & c' & = \ pi -C. \ end {alignat}}}$

Следовательно, если какое-либо тождество доказано для треугольника ABC, мы можем немедленно вывести вторую идентичность, применив первую идентичность к полярному треугольнику, сделав указанные выше замены. Вот как дополнительные косинусные уравнения выводятся из косинусных уравнений. Точно так же тождества квадрантного треугольника могут быть получены из тождеств прямоугольного треугольника. Полярный треугольник полярного треугольника - это исходный треугольник.

Правила косинуса и правила синуса [ править ]

Правила косинуса [ править ]

Правило косинуса является фундаментальным тождеством сферической тригонометрии: все остальные тождества, включая правило синуса, могут быть выведены из правила косинуса:

${\ Displaystyle \ соз а = \ соз б \ соз с + \ грех б \ грех с \ соз А, \!}$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!}$

Эти тождества обобщают правило косинусов плоской тригонометрии , которому они асимптотически эквивалентны в пределе малых внутренних углов. (На единичной сфере, если установлено и т. Д .; см. Сферический закон косинусов .)${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$${\displaystyle \sin a\approx a}$${\displaystyle \cos a\approx 1-a^{2}/2}$

Правила синуса [ править ]

Сферический закон синусов задается формулой

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Эти тождества аппроксимируют правило синуса плоской тригонометрии, когда стороны намного меньше, чем радиус сферы.

Вывод правила косинуса [ править ]

Формулы сферического косинуса были первоначально доказаны элементарной геометрией и правилом плоского косинуса (Тодхантер, ^[1] Статья 37). Он также дает вывод, используя простую координатную геометрию и правило плоского косинуса (статья 60). В описанном здесь подходе используются более простые векторные методы. (Эти методы также обсуждаются в Сферическом законе косинусов .)

Рассмотрим три единичных вектора OA , OB и OC, проведенные от начала координат до вершин треугольника (на единичной сфере). Дуга BC образует в центре угол величиной a, поэтому OB · OC = cos a . Введем декартов базис с OA вдоль оси z и OB в плоскости xz, образующей угол c с осью z . Вектор OC проецируется в положение ON в плоскости xy, а угол между ON и осью x равен A.. Следовательно, у трех векторов есть компоненты:

OA OB OC .${\displaystyle (0,\,0,\,1)}$     ${\displaystyle (\sin c,\,0,\,\cos c)}$     ${\displaystyle (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b)}$

Скалярное произведение OB · OC в терминах компонентов имеет вид

OB · OC = .${\displaystyle \sin c\,\sin b\,\cos A+\cos c\,\cos b}$

Приравнивая два выражения для скалярного произведения, получаем

${\displaystyle \cos a=\cos b\,\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A.}$

Это уравнение можно преобразовать, чтобы получить явные выражения для угла через стороны:

${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a\,-\,\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}.}$

Остальные правила косинусов получаются циклическими перестановками.

Вывод правила синуса [ править ]

Этот вывод дан в Todhunter, ^[1] (Статья 40). Из идентичности и явного выражения для данного непосредственно выше${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$${\displaystyle \cos A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {(1-\cos ^{2}\!b)(1-\cos ^{2}\!c)-(\cos a-\cos b\,\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$

Поскольку правая часть инвариантна относительно циклической перестановки сферического синуса, правило следует немедленно.${\displaystyle a,\;b,\;c}$

Альтернативные производные [ править ]

Есть много способов вывести основные правила косинуса и синуса, а также другие правила, разработанные в следующих разделах. Например, Тодхантер ^[1] дает два доказательства правила косинуса (статьи 37 и 60) и два доказательства правила синуса (статьи 40 и 42). На странице сферического закона косинусов приведены четыре различных доказательства правила косинусов. Учебники по геодезии (такие как Clarke ^[2] ) и сферической астрономии (например, Smart ^[3] ) дают различные доказательства, а онлайн-ресурсы MathWorld предоставляют еще больше. ^[4] Существуют даже более экзотические производные, например, у Банерджи ^[5]который выводит формулы, используя линейную алгебру проекционных матриц, а также цитирует методы дифференциальной геометрии и групповой теории вращений.

Вывод правила косинуса, представленный выше, имеет достоинства простоты и непосредственности, а вывод правила синуса подчеркивает тот факт, что не требуется отдельного доказательства, кроме правила косинуса. Однако указанная выше геометрия может использоваться для независимого доказательства правила синуса. Смешанное произведение , ОА · (О.Б. × OC) принимает значение в основе показано на рисунке. Аналогично, в базисе, ориентированном с осью z вдоль OB , тройное произведение OB · (OC × OA) оценивается как . Следовательно, инвариантность тройного произведения относительно циклических перестановок дает первое из правил синуса. Смотрите изогнутые варианты закона синуса${\displaystyle \sin b\sin c\sin A}$${\displaystyle \sin c\sin a\sin B}$${\displaystyle \sin b\sin A=\sin a\sin B}$ чтобы увидеть подробности этого вывода.

Личности [ править ]

Дополнительные правила косинуса [ править ]

Применение правил косинуса к полярному треугольнику дает (Тодхантер, ^[1] Статья 47), т. Е. Заменяя A на π– a ,  a на π– A и т. Д.,

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$

Котангенсные четырехчастные формулы [ править ]

Шесть частей треугольника могут быть записаны в циклическом порядке как ( aCbAcB ). Котангенс, или четырехчастные формулы, связывают две стороны и два угла, образуя четыре последовательные части вокруг треугольника, например ( aCbA ) или ( BaCb ). В таком наборе есть внутренняя и внешняя части: например, в наборе ( BaCb ) внутренний угол - C , внутренняя сторона - a , внешний угол - B , внешняя сторона - b . Правило котангенса может быть записано как (Тодхантер, ^[1] Ст.44)

${\displaystyle \cos({\text{inner side}})\cos({\text{inner angle}})=\cot({\text{outer side}})\sin({\text{inner side}})\ -\ \cot({\text{outer angle}})\sin({\text{inner angle}}),}$

и шесть возможных уравнений (соответствующие наборы показаны справа):

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{(CT1)}}\quad &\cos b\,\cos C=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C,\qquad &(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&\cos b\,\cos A=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A,&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&\cos c\,\cos A=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A,&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&\cos c\,\cos B=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B,&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&\cos a\,\cos B=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B,&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C,&(BaCb).\end{array}}}$

Чтобы доказать первую формулу, начните с первого правила косинуса и в правой части замените на третье правило косинуса:${\displaystyle \cos c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$

Результат следует разделить на . Подобные методы с двумя другими правилами косинуса дают CT3 и CT5. Остальные три уравнения следуют путем применения правил 1, 3 и 5 к полярному треугольнику.${\displaystyle \sin a\sin b}$

Формулы половинного угла и половинной стороны [ править ]

С и ,${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$${\displaystyle 2S=(A+B+C)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}A=\left[{\frac {\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin b\sin c}}\right]^{1/2}&\qquad &\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}a=\left[{\frac {-\cos S\cos(S{-}A)}{\sin B\sin C}}\right]^{1/2}\\[2ex]&\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}A=\left[{\frac {\sin s\sin(s{-}a)}{\sin b\sin c}}\right]^{1/2}&\qquad &\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}a=\left[{\frac {\cos(S{-}B)\cos(S{-}C)}{\sin B\sin C}}\right]^{1/2}\\[2ex]&\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}A=\left[{\frac {\sin(s{-}b)\sin(s{-}c)}{\sin s\sin(s{-}a)}}\right]^{1/2}&\qquad &\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}a=\left[{\frac {-\cos S\cos(S{-}A)}{\cos(S{-}B)\cos(S{-}C)}}\right]^{1/2}\end{aligned}}}$

Еще двенадцать тождеств следуют циклической перестановке.

Доказательство (Тодхантер, ^[1] Статья 49) первой формулы начинается с тождества 2sin ² ( A / 2) = 1 – cos A , используя правило косинуса для выражения A через стороны и заменяя сумму два косинуса произведением. (См. Тождества сумма-произведение .) Вторая формула начинается с тождества 2cos ² ( A / 2) = 1 + cos A , третья является частным, а остаток следует путем применения результатов к полярному треугольнику.

Аналогии Деламбра (или Гаусса) [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\\{\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}C}}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}\end{aligned}}}$

Еще восемь тождеств следуют циклической перестановке.

Доказано расширением числителей и использованием формул половинного угла. (Тодхантер, ^[1] Статья 54 и Деламбр ^[6] )

Аналогии Напьера [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\\[-2ex]\displaystyle {\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}C}&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\\[2ex]{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}C}&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{-}B)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(A{+}B)}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\end{aligned}}}$

Еще восемь тождеств следуют циклической перестановке.

Эти тождества следуют путем деления формул Деламбра. (Тодхантер, ^[1] Статья 52)

Правила Непьера для прямоугольных сферических треугольников [ править ]

Когда один из углов, скажем C , сферического треугольника равен π / 2, различные приведенные выше тождества значительно упрощаются. Есть десять тождества , касающиеся трех элементов , выбранных из множества а, б, в, А, В .

Напье ^[7] предоставил элегантную мнемоническую помощь для десяти независимых уравнений: мнемоника называется кругом Напьера или пятиугольником Непьера (когда круг на приведенном выше рисунке справа заменен пятиугольником).

Сначала запишите шесть частей треугольника (три угла при вершине, три угла дуги для сторон) в том порядке, в котором они встречаются вокруг любого контура треугольника: для треугольника, показанного выше слева, движение по часовой стрелке, начиная с a, дает aCbAcB . Затем замените части, не смежные с C (то есть A, c, B ), их дополнениями, а затем удалите угол C из списка. Оставшиеся части затем можно нарисовать в виде пяти упорядоченных равных кусочков пентаграммы или круга, как показано на рисунке выше (справа). При любом выборе из трех смежных частей одна ( средняя часть) будет смежной с двумя частями и противоположной двум другим частям. Десять правил Напье даны

• синус средней части = произведение касательных соседних частей
• синус средней части = произведение косинусов противоположных частей

Например, начиная с сектора, содержащего :${\displaystyle a}$

${\displaystyle \sin a=\tan(\pi /2{-}B)\,\tan b=\cos(\pi /2{-}c)\,\cos(\pi /2{-}A)=\cot B\,\tan b=\sin c\,\sin A.}$

Полный набор правил для правильного сферического треугольника (Тодхантер, ^[1] Статья 62)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$

Правила Непьера для квадрантных треугольников [ править ]

Квадрантный сферический треугольник определяется как сферический треугольник, в котором одна из сторон образует угол π / 2 радиан в центре сферы: на единичной сфере сторона имеет длину π / 2. В случае, если сторона c имеет длину π / 2 на единичной сфере, уравнения, определяющие оставшиеся стороны и углы, могут быть получены путем применения правил для прямоугольного сферического треугольника из предыдущего раздела к полярному треугольнику A'B'C ' со сторонами a ', b', c ' такими, что A' = π - a ,  a ' = π - A и т. д. Результаты следующие:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$

Правила из пяти частей [ править ]

Подстановка второго правила косинуса в первое и упрощение дает:

${\displaystyle \cos a=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A}$

${\displaystyle \cos a\,\sin ^{2}c=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A}$

Отмена фактора отдачи${\displaystyle \sin c}$

${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$

Подобные замены в других формулах косинусов и дополнительных косинусов дают большое разнообразие правил из 5 частей. Они используются редко.

Решение треугольников [ править ]

Основная статья: Решение треугольников § Решение сферических треугольников

Наклонные треугольники [ править ]

Решение треугольников - основная цель сферической тригонометрии: по трем, четырем или пяти элементам треугольника определить остальные. Случай пяти заданных элементов тривиален и требует только однократного применения правила синуса. Для четырех данных элементов существует один нетривиальный случай, который обсуждается ниже. Для трех данных элементов имеется шесть случаев: три стороны, две стороны и входящий или противоположный угол, два угла и входящая или противоположная сторона, или три угла. (Последний случай не имеет аналога в плоской тригонометрии.) Ни один метод не решает все случаи. На рисунке ниже показаны семь нетривиальных случаев: в каждом случае заданные стороны отмечены перекладиной, а заданные углы - дугой. (Данные элементы также перечислены под треугольником). В сводных обозначениях, таких как ASA,A относится к заданному углу, а S относится к заданной стороне, а последовательность букв A и S в обозначении относится к соответствующей последовательности в треугольнике.

• Случай 1: данные с трех сторон (SSS). Правило косинуса может использоваться для определения углов A , B и C, но, чтобы избежать неоднозначности, предпочтительны формулы половинного угла.
• Случай 2: указаны две стороны и включенный угол (SAS). Правило косинуса дает a, и тогда мы возвращаемся к случаю 1.
• Случай 3: заданы две стороны и противоположный угол (SSA). Правило синуса дает C, и тогда мы имеем дело 7. Возможны одно или два решения.
• Случай 4: даны два угла и включенная сторона (ASA). Четырехчастные формулы котангенса для множеств ( cBaC ) и ( BaCb ) дают c и b , тогда A следует из правила синусов.
• Случай 5: даны два угла и противоположная сторона (AAS). Правило синуса дает b, и тогда у нас есть Случай 7 (повернутый). Есть одно или два решения.
• Случай 6: даны три угла (AAA). Дополнительное правило косинуса может использоваться для определения сторон a , b и c, но, чтобы избежать неоднозначности, предпочтительны формулы для половинных сторон.
• Случай 7: даны два угла и две противоположные стороны (SSAA). Используйте аналогии Нэпьера для a и A ; или используйте вариант 3 (SSA) или вариант 5 (AAS).

Перечисленные здесь методы решения - не единственно возможные варианты: возможны многие другие. В общем, лучше выбирать методы, избегающие использования обратного синуса из-за возможной двусмысленности между углом и его дополнением. Часто рекомендуется использовать формулы половинного угла, потому что полураглы будут меньше π / 2 и, следовательно, свободны от двусмысленности. В Todhunter есть полноценное обсуждение. В статье Решение треугольников # Решение сферических треугольников представлены варианты этих методов с несколько другими обозначениями.

Есть полное обсуждение решения наклонных треугольников в Todhunter. ^{[1] : гл. VI} См. Также обсуждение в Росс. ^[8]

Решение прямоугольными треугольниками [ править ]

Другой подход - разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. Например, возьмем пример случая 3, где указаны b, c, B. Построить большой круг из А , что является нормальным в сторону нашей эры в точке D . Используйте правила Напьера, чтобы решить треугольник ABD : используйте c и B, чтобы найти стороны AD , BD и угол BAD . Затем используйте правила Напьера, чтобы решить треугольник ACD : то есть используйте AD и b, чтобы найти сторону DC и углы C и DAC.. Угол A и сторона a складываются .

Численные соображения [ править ]

Не все полученные правила численно устойчивы в крайних случаях, например, когда угол приближается к нулю или π. Проблемы и решения, возможно, придется тщательно изучить, особенно при написании кода для решения произвольного треугольника.

Площадь и сферический избыток[ редактировать ]

Рассмотрим N- сторонний сферический многоугольник, и пусть A _n обозначает n-й внутренний угол. Площадь такого многоугольника определяется (Тодхантер, ^[1] Статья 99)

${\displaystyle {\text{Area of polygon (on the unit sphere)}}\equiv E_{N}=\left(\sum _{n=1}^{N}A_{n}\right)-(N-2)\pi .}$

В случае треугольника это сводится к

${\displaystyle {\text{Area of triangle (on the unit sphere)}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,}$

где E - величина, на которую сумма углов превышает π радиан. Величина E называется сферическим избытком треугольника. Эта теорема названа в честь ее автора Альберта Жирара . ^[9] Более раннее доказательство было получено, но не опубликовано, английским математиком Томасом Харриотом . На сфере радиуса R оба приведенных выше выражения площади умножаются на R ² . Определение превышения не зависит от радиуса сферы.

Обратный результат можно записать как

${\displaystyle \displaystyle A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.}$

Поскольку площадь треугольника не может быть отрицательной, сферический избыток всегда положителен. Это не обязательно мало, потому что сумма углов может достигать 5π (3π для собственных углов). Например, октант сферы - это сферический треугольник с тремя прямыми углами, так что избыток равен π / 2. В практических применениях это часто мало: например , треугольники геодезической съемки , как правило , имеют сферический избыток намного меньше , чем 1' дуга. (Рапп ^[10] Кларк, ^[11] Теорема Лежандра о сферических треугольниках ). На Земле превышение равностороннего треугольника со сторонами 21,3 км (и площадью 393 км ² ) составляет примерно 1 угловую секунду.

Есть много формул избытка. Например, Тодхантер ^[1] (ст. 101–103) приводит десять примеров, в том числе и Л'Уилье :

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s{-}a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s{-}b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s{-}c)}}}$

где . Поскольку некоторые треугольники плохо характеризуются своими ребрами (например, если ), часто лучше использовать формулу для превышения в терминах двух ребер и их угла вхождения${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$${\displaystyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$

${\displaystyle \tan {\frac {E}{2}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.}$

Пример сферического четырехугольника, ограниченного отрезком большого круга, двумя меридианами и экватором:

${\displaystyle \tan {\frac {E_{4}}{2}}={\frac {\sin {\frac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})}{\cos {\frac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})}}\tan {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}.}$

где обозначают широту и долготу. Этот результат получается из одной из аналогий Напьера. В пределе , где находятся все малые, это сводится к знакомой области трапециевидной, .${\displaystyle \phi ,\lambda }$${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$${\displaystyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

Аналогично определяется дефицит угла для гиперболической геометрии .

См. Также [ править ]

• Аэронавигация
• Небесная навигация
• Расстояние по дуге большого круга или сферическое расстояние
• Сфера Ленарта
• Треугольник Шварца
• Сферическая геометрия
• Сферический многогранник

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Сферическая тригонометрия" . MathWorld . более подробный список личностей с некоторыми выводами
• Вайсштейн, Эрик В. «Сферический треугольник» . MathWorld . более подробный список личностей с некоторыми выводами
• TriSph Бесплатное программное обеспечение для решения сферических треугольников, настраиваемое для различных практических приложений и настроенное для гномоники.
• «Возвращение к сферической тригонометрии с помощью ортогональных проекторов» Судипто Банерджи. В статье выводятся сферический закон косинусов и закон синусов с использованием элементарной линейной алгебры и матриц проекций.
• «Наглядное доказательство теоремы Жирара» . Демонстрационный проект Вольфрама . от Окей Арик
• «Книга инструкций по девиантным планам и простым планам» , рукопись на арабском языке, датируемая 1740 годом и рассказывающая о сферической тригонометрии с диаграммами.
• Некоторые алгоритмы для многоугольников на сфере Роберт Г. Чемберлен, Уильям Х. Дукетт, Лаборатория реактивного движения. В документе разрабатывается и объясняется множество полезных формул, возможно, с упором на навигацию и картографию.
• Онлайн-расчет сферических треугольников