Математика в средневековом исламе

Страница из Китаб аль-джебр ва-ль- мукабала по Аль-Хорезми

Математика во время Золотого века ислама , особенно во время 9 - го и 10 - го века, был построен на греческой математики ( Евклид , Архимед , Аполлоний ) и индийской математике ( Aryabhata , Brahmagupta ). Был достигнут значительный прогресс, такие как полное развитие десятичной системы места, значения для включения десятичной дроби , в первую систематизированную изучения алгебры и достижений в области геометрии и тригонометрии . ^[1]

Работы на арабском языке сыграли важную роль в передаче математики в Европу в 10–12 веках. ^[2]

Концепции [ править ]

«Кубические уравнения и пересечения конических сечений» Омара Хайяма - первая страница двухглавой рукописи, хранящейся в Тегеранском университете.

Алгебра [ править ]

Изучение алгебры , название которой происходит от арабского слова, означающего завершение или «воссоединение сломанных частей» ^[3], процветало в золотой век ислама . Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми , ученый из Дома Мудрости в Багдаде , вместе с греческим математиком Диофантом , известным как отец алгебры. В своей книге The Compendious Book on Calculation by Completing and Balancing Аль-Хорезми рассматривает способы решения положительных корней полиномиальных уравнений первой и второй степени (линейных и квадратных).. Он также вводит метод редукции и, в отличие от Диофанта, дает общие решения для уравнений, с которыми имеет дело. ^{[4] [5] [6]}

Алгебра Аль-Хорезми была риторической, что означает, что уравнения были записаны полными предложениями. Это отличалось от алгебраической работы Диофанта, которая была синкопирована, что означает использование некоторой символики. Переход к символической алгебре, где используются только символы, можно увидеть в работах Ибн аль-Банна аль-Марракуши и Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каладади . ^{[7] [6]}

О работе, проделанной Аль-Хорезми, Дж. Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон сказали: ^[8]

«Возможно, одно из самых значительных достижений арабской математики началось в то время с работ аль-Хорезми, а именно с начала алгебры. Важно понимать, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный шаг в сторону от греческое понятие математики, которое по сути было геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая допускала рациональные числа , иррациональные числа, геометрические величины и т. д., чтобы все они рассматривались как «алгебраические объекты». Он дал математике совершенно новый путь развития, намного более широкий по концепции, чем существовавший ранее, и предоставил средство для дальнейшего развития предмета. Другим важным аспектом введения алгебраических идей было то, что это позволило применить математику к самой себе так, как не происходило раньше ».

-  Архив истории математики MacTutor

Несколько других математиков того времени расширили свои знания в алгебре Аль-Хорезми. Абу Камил Шуджа написал книгу по алгебре с геометрическими иллюстрациями и доказательствами. Он также перечислил все возможные решения некоторых своих проблем. Абу аль-Джуд , Омар Хайям вместе с Шараф ад-Дин ат-Туси нашли несколько решений кубического уравнения . Омар Хайям нашел общее геометрическое решение кубического уравнения.

Кубические уравнения [ править ]

Омар Хайям (ок. 1038/48 в Иране - 1123/24) ^[9] написал « Трактат о демонстрации проблем алгебры», содержащий систематическое решение кубических уравнений или уравнений третьего порядка , выходящих за рамки алгебры аль-Хваризми. ^[10] Хайям получил решения этих уравнений, найдя точки пересечения двух конических сечений . Этот метод использовался греками ^[11], но они не обобщили его на все уравнения с положительными корнями . ^[10]

Шараф ад-Дин аль-Хуси (? В Тусе, Иран - 1213/4) разработал новый подход к исследованию кубических уравнений - подход, который заключался в нахождении точки, в которой кубический многочлен достигает своего максимального значения. Например, чтобы решить уравнение с положительными значениями a и b , он заметил бы, что точка максимума кривой находится в точке , и что уравнение не будет иметь решений, одно решение или два решения, в зависимости от того, будет ли высота кривой при этом точка была меньше, равной или больше , чем а${\displaystyle \ x^{3}+a=bx}$${\displaystyle \ y=bx-x^{3}}$${\displaystyle x=\textstyle {\sqrt {\frac {b}{3}}}}$. Его сохранившиеся работы не дают никаких указаний на то, как он открыл свои формулы для максимумов этих кривых. Были предложены различные гипотезы, объясняющие их открытие. ^[12]

Индукция [ править ]

Самые ранние неявные следы математической индукции можно найти в доказательстве Евклида , что число простых чисел бесконечно (около 300 г. до н. Э.). Первая явная формулировка принципа индукции была дана Паскалем в его « Арифметическом треугольнике» (1665).

Между тем, неявное доказательство индукцией для арифметических последовательностей было введено аль-Караджи (ок. 1000 г.) и продолжено аль-Самав'алом , который использовал его для частных случаев биномиальной теоремы и свойств треугольника Паскаля .

Иррациональные числа [ править ]

Греки открыли иррациональные числа , но они не были довольны ими и могли справиться с ними, только проводя различие между величиной и числом . С греческой точки зрения, величины изменялись непрерывно и могли использоваться для таких объектов, как отрезки линий, тогда как числа были дискретными. Следовательно, с иррациональными можно обращаться только геометрически; и действительно, греческая математика была в основном геометрической. Исламские математики, в том числе Абу Камил Шуджах ибн Аслам и Ибн Тахир аль-Багдади, постепенно устранили различие между величиной и числом, позволяя иррациональным величинам появляться в качестве коэффициентов в уравнениях и быть решениями алгебраических уравнений. ^{[13] [14]}Они свободно работали с иррациональными как математическими объектами, но не исследовали внимательно их природу. ^[15]

В двенадцатом веке, латинские переводы Аль-Хорезми «s арифметике на индийских цифр ввел десятичную систему позиционного номера в западном мире . ^[16] Его сборная книга по расчетам путем завершения и балансировки представила первое систематическое решение линейных и квадратных уравнений . В Европе эпохи Возрождения он считался изобретателем алгебры, хотя теперь известно, что его работа основана на более древних индийских или греческих источниках. ^[17] Он пересмотрел Птолемей «ю.ш.География и писала по астрономии и астрологии. Однако К.А. Наллино предполагает, что оригинальная работа аль-Хорезми была основана не на Птолемеях, а на производной карте мира ^[18], предположительно на сирийском или арабском языках .

Сферическая тригонометрия [ править ]

Сферический закон синусов был открыт в 10 веке: его по-разному приписывали Абу-Махмуду Ходжанди , Насир ад-Дин ат-Туси и Абу Наср Мансур , а также Абу аль-Вафа Бузджани . ^[13] Книга Ибн Мухада аль-Джайяни « Книга неизвестных дуг сферы в 11 веке» ввела общий закон синусов. ^[19] Плоский закон синусов был описан в 13 веке Насиром ад-Дин ат-Туси . В своей «Секторной диаграмме» он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников и представил доказательства этого закона. ^[20]

Отрицательные числа [ править ]

В 9 веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из работ индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. ^[21] Аль-Хорезми не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. ^[21] Но через пятьдесят лет Абу Камиль проиллюстрировал правила знаков для увеличения умножения . ^[22] Аль-Караджи написал в своей книге « Аль-Фахри», что «отрицательные количества должны считаться терминами». ^[21] В 10 веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$ Книга о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов . ^[22]

К XII веку преемники аль-Караджи должны были сформулировать общие правила знаков и использовать их для решения полиномиальных делений . ^[21] Как пишет ас-Самав'ал :

произведение отрицательного числа - al-nāqiṣ - на положительное число - al-zāid - отрицательно, а на отрицательное число положительно. Если мы вычтем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разностью. Разница останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычтем отрицательное число из положительного, остаток будет их положительной суммой. Если мы вычтем положительное число из пустой степени ( martaba khāliyya ), остаток будет таким же отрицательным, а если мы вычтем отрицательное число из пустой степени, остаток будет таким же положительным числом. ^[21]

Двойная ложная позиция [ править ]

Между 9-м и 10-м веками египетский математик Абу Камиль написал ныне утерянный трактат об использовании двойного ложного положения, известный как Книга двух ошибок ( Китаб аль-хатанайн ). Самая старая из сохранившихся письменных работ о двойной ложной позиции с Ближнего Востока - это Куста ибн Лука (10 век), арабский математик из Баальбека , Ливан . Он обосновал эту технику формальным геометрическим доказательством в евклидовом стиле . В традициях средневековой мусульманской математики двойная ложная позиция была известна как хисаб аль-хатанайн.(«Расплата двумя ошибками»). Он веками использовался для решения практических задач, таких как коммерческие и юридические вопросы (раздел поместья согласно правилам наследования Корана ), а также чисто рекреационных проблем. Алгоритм часто запоминался с помощью мнемоники , такой как стих, приписываемый Ибн аль-Ясамину, и диаграммы баланса, объясненные аль-Хассаром и Ибн аль-Банной , которые были математиками марокканского происхождения. ^[23]

Другие основные фигуры [ править ]

Салли П. Рагеп, историк ислама, считает, что «десятки тысяч» арабских рукописей по математическим наукам и философии остаются непрочитанными, что дает исследования, которые «отражают индивидуальные предубеждения и ограниченное внимание к относительно небольшому количеству текстов и ученых». . ^[24]

• 'Абд аль-Хамид ибн Тюрк (эт. 830) (квадратичные)
• Сабит ибн Курра (826–901)
• Синд ибн Али (ум. После 864 г.)
• Исмаил аль-Джазари (1136–1206)
• Абу Сахл аль-Кухи (ок. 940–1000) (центры тяжести)
• Абу'л-Хасан аль-Уклидиси (952–953) (арифметика)
• Абд аль-Азиз аль-Кабиси (ум. 967)
• Ибн аль-Хайсам (ок. 965–1040)
• Абу аль-Райан аль-Бируни (973–1048) (тригонометрия)
• Ибн Матах (ок. 1116–1196)
• Джамшид аль-Каши (ок. 1380–1429) (десятичные дроби и оценка постоянной круга)

Галерея [ править ]

• Гравировка идеального циркуля Абу Сахля аль-Кухи для рисования конических сечений.

• Теорема Ибн Haytham .

См. Также [ править ]

• арабские цифры
• Влияние Индии на исламскую математику в средневековом исламе
• История исчисления
• История геометрии
• Наука в средневековом исламском мире
• Хронология исламской науки и техники

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Хогендейк, Ян П. (январь 1999 г.). «Библиография математики в средневековой исламской цивилизации» .
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Арабская математика: забытый талант?" , MacTutor Архив истории математики , Университет Сент-Эндрюс.
• Ричард Ковингтон, Новое открытие арабской науки , 2007 г., Saudi Aramco World
• Список изобретений и открытий в математике во время Золотого века ислама