Индийская математика

Индийская математика возникла на Индийском субконтиненте ^[1] с 1200 г. до н.э. ^[2] до конца 18 века. В классический период индийской математики (с 400 по 1200 гг.) Важный вклад внесли такие ученые, как Арьябхата , Брахмагупта , Бхаскара II и Варахамихира . Десятичная система счисления используется сегодня ^[3] впервые была отмечена в индийской математике. ^[4] Индийские математики сделали ранний вклад в изучение концепции нуля как числа, ^[5] отрицательных чисел , ^[6] арифметика и алгебра . ^[7] Кроме того, тригонометрия ^[8] получила дальнейшее развитие в Индии, и, в частности, там были разработаны современные определения синуса и косинуса . ^[9] Эти математические концепции были переданы на Ближний Восток, в Китай и Европу ^[7] и привели к дальнейшим разработкам, которые сейчас составляют основы многих областей математики.

Древние и средневековые индийские математические труды, все составленные на санскрите , обычно состояли из раздела сутр, в котором набор правил или проблем излагался с большой экономией в стихах, чтобы помочь ученику запомнить. Затем последовал второй раздел, состоящий из прозаических комментариев (иногда с множеством комментариев разных ученых), в которых более подробно объяснялась проблема и приводилось обоснование решения. В разделе, посвященном прозе, форма (и, следовательно, ее запоминание) не считалась столь важной, как вовлеченные идеи. ^{[1] [10]} Все математические работы передавались устно примерно до 500 г. до н.э .; впоследствии они были переданы как устно, так и в рукописной форме. Самый старый из сохранившихся математическихДокумент, созданный на Индийском субконтиненте, - это рукопись Бахшали из бересты , обнаруженная в 1881 году в деревне Бахшали , недалеко от Пешавара (современный Пакистан ), вероятно, датируется 7 веком нашей эры. ^{[11] [12]}

Позже вехой в индийской математике стала разработка расширений в ряд для тригонометрических функций (синуса, косинуса и арктангенса ) математиками школы Кералы в 15 веке нашей эры. Их замечательная работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (помимо геометрического ряда). ^[13] Однако они не сформулировали систематическую теорию дифференциации и интеграции , и нет никаких прямых доказательств того, что их результаты передаются за пределы Кералы.. ^{[14] [15] [16] [17]}

Предыстория [ править ]

Раскопки в Хараппе , Мохенджо-Даро и других местах цивилизации долины Инда обнаружили доказательства использования «практической математики». Люди цивилизации долины Инда производили кирпичи, размеры которых составляли 4: 2: 1, что считалось благоприятным для устойчивости кирпичной конструкции. Они использовали стандартизированную систему весов на основе соотношений: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, с единицей измерения вес равен примерно 28 граммам (и примерно равен английской унции или греческой унции). Они массово производили гири правильной геометрической формы, которые включали шестигранники , бочки , конусы., и цилиндры , тем самым демонстрируя знание базовой геометрии . ^[18]

Жители цивилизации Инда также пытались стандартизировать измерение длины с высокой степенью точности. Они разработали линейку - линейку Мохенджо-даро, - единицу длины которой (приблизительно 1,32 дюйма или 3,4 сантиметра) разделили на десять равных частей. Кирпичи, изготовленные в древнем Мохенджо-Даро, часто имели размеры, целые кратные этой единице длины. ^{[19] [20]}

Полые цилиндрические объекты, сделанные из ракушек и найденные в Лотале (2200 г. до н.э.) и Дхолавире , демонстрируют способность измерять углы в плоскости, а также определять положение звезд для навигации. ^[21]

Ведический период [ править ]

Самхиты и брахманы [ править ]

Религиозные тексты ведического периода свидетельствуют об использовании больших чисел . Ко времени Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 до н.э.) в тексты были включены числа до 10 ¹² . ^[2] Например, мантра (священное чтение) в конце аннахомы («обряда подношения еды»), выполняемого во время ашвамедхи и произносимого непосредственно перед, во время и сразу после восхода солнца, вызывает силы десяти из от сотни до триллиона: ^[2]

Да здравствует шата ("сотня", 10 ² ), приветствую сахасру ("тысяча" 10 ³ ), приветствую аюту ("десять тысяч", 10 ⁴ ), приветствую ниюта ("сто тысяч", 10 ⁵ ), приветствовать прайута («миллион», 10 ⁶ ), приветствовать арбуда («десять миллионов», 10 ⁷ ), приветствовать ньярбуда («сто миллионов», 10 ⁸ ), приветствовать самудру («миллиард», 10 ⁹ ,буквально «океан»), градмадхья («десять миллиардов», 10 ¹⁰ , буквально «середина»), приветствовать анта («сто миллиардов», 10 ¹¹ , букв, «конец»), приветствовать парардха («один триллион», 10 ¹² букв, «за пределами частей»), приветствовать зари ( uṣas ), приветствовать сумерек ( vyuṣṭi ), приветствовать того, кто собирается встать ( udeṣyat ), приветствовать того, что поднимается ( udyat ), приветствовать того, кто Который только что воскрес ( удита ), приветствую сваргу (небеса), приветствую мартья (мир), приветствую всех. ^[2]

Раствор частичного дробления был известен Ригведам как говорится в Пуруш Сукта (RV 10.90.4):

На три четверти Пуруша поднялся вверх: четверть его снова была здесь.

« Сатапатха-брахман» (ок. 7 век до н. Э.) Содержит правила ритуальных геометрических построений, которые похожи на сутры Сульбы. ^[22]

Шулба Сутрас [ править ]

Sulba сутры (буквально, «Афоризмы хорд» в ведической санскрите ) (с. 700-400 до н.э.) список правил для строительства жертвенных алтарей огня. ^[23] Большинство математических проблем, рассматриваемых в « Шульба сутрах», проистекают из «единственного богословского требования» ^[24] , а именно строительства огненных алтарей, которые имеют разные формы, но занимают одну и ту же площадь. Жертвенники должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича с дополнительным условием, чтобы каждый слой состоял из 200 кирпичей и чтобы никакие два соседних слоя не имели одинакового расположения кирпичей. ^[24]

Согласно ( Hayashi 2005 , p. 363), Шульба-сутры содержат «самое раннее сохранившееся словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно древним вавилонянам ».

Диагональная веревка ( akṣṇayā-rajju ) продолговатого (прямоугольника) образует как боковые ( pārśvamāni ), так и горизонтальные ( tiryamānī ) <веревки> отдельно » ^[25].

Поскольку утверждение является сутрой , оно обязательно сжато, и то, что производят веревки, не уточняется, но контекст явно подразумевает квадратные области, построенные на их длине, и учитель мог бы объяснить это ученику. ^[25]

Они содержат списки пифагорейских троек , ^[26] , которые являются частными случаями диофантовых уравнений . ^[27] Они также содержат утверждения (которые, как мы знаем задним числом, являются приблизительными) о квадрате круга и «обводе квадрата». ^[28]

Баудхаяна (ок. 8 в. До н. Э.) Составил Баудхаяна Сульба Сутру , самую известную Сульба Сутру , которая содержит примеры простых троек Пифагора, таких как: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) и (12, 35, 37) , ^[29], а также утверждение теоремы Пифагора для сторон квадрата: «Веревка, натянутая на диагональ квадрата дает площадь, вдвое превышающую размер исходного квадрата ". ^[29] Он также содержит общее утверждение теоремы Пифагора (для сторон прямоугольника): «Веревка, натянутая по длине диагонали прямоугольника, составляет площадь, которую вертикальная и горизонтальная стороны составляют вместе». ^[29] Баудхаяна дает выражение квадратного корня из двух : ^[30]

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ приблизительно 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}} = 1,4142156 \ ldots}$

Выражение является точным с точностью до пяти десятичных знаков, истинное значение - 1,41421356 ... ^[31] Это выражение аналогично по структуре выражению, найденному на месопотамской табличке ^[32] древневавилонского периода (1900–1600 гг. До н.э. ): ^[30]

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ приблизительно 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ { 3}}} = 1.41421297 \ ldots}$

который выражает √ 2 в шестидесятеричной системе счисления и имеет точность до 5 знаков после запятой.

По словам математика С.Г. Дани, вавилонская клинопись Плимптон 322, написанная ок. 1850 г. до н.э. ^[33] «содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими записями, включая (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой ^[34], что, в частности, указывает на то, что существовало сложное понимание этой темы» в Месопотамии в 1850 г. До н.э. «Поскольку эти таблички предшествуют периоду Сульбасутры на несколько столетий, принимая во внимание контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание было бы и в Индии». ^[35] Дэни продолжает:

Поскольку основная цель Сульвасутр заключалась в описании конструкций алтарей и геометрических принципов, связанных с ними, предмет пифагорейских троек, даже если он был хорошо понят, все еще не фигурировал в Сульвасутрах . Наличие троек в Сульвасутрах сравнимо с математикой, с которой можно столкнуться во вводной книге по архитектуре или другой подобной прикладной области, и не соответствовало бы непосредственно общим знаниям по теме в то время. Поскольку, к сожалению, не было найдено никаких других одновременных источников, возможно, никогда не удастся удовлетворительно решить этот вопрос. ^[35]

Всего было составлено три Сульба-сутры . Остальные две, Манава Сульба Сутра, составленная Манавой (750–650 гг. До н.э.), и Сутра Апастамба Сульба , составленная Апастамбой (около 600 г. до н.э.), содержат результаты, аналогичные Баудхаяна Сульба Сутре .

Вьякарана

Важным этапом Ведического периода была работа Санскритского грамматик , панини (с. 520-460 до н.э.). Его грамматика включает раннее использование булевой логики , нулевого оператора и контекстно-свободных грамматик , а также предшественника формы Бэкуса – Наура (используемой в языках программирования описания ). ^{[36] [37]}

Пингала (300 г. до н.э. - 200 г. до н.э.) [ править ]

Среди ученых постведического периода, внесших свой вклад в математику, наиболее заметным является Пингала ( пингала ) ( фл. 300–200 до н . Э.), Теоретик музыки , автор Чхандас- шастры ( чандам-шастра , также Чхандас-сутра чхандам-сутра). ), санскритский трактат по просодии . Есть свидетельства того, что в своей работе по перечислению слоговых комбинаций Пингала наткнулся как на треугольник Паскаля, так и на биномиальные коэффициенты , хотя он не знал самой биномиальной теоремы . ^[38][39] Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых маатраамеру ). Хотя сутра Чанда не сохранилась полностью, ее комментарий Халайудхи в 10 веке сохранился. Халаюда, который называет треугольник Паскаля Меру- прастара (буквально «лестница на гору Меру»), говорит следующее:

Нарисуйте квадрат. Начиная с половины квадрата, нарисуйте под ним еще два таких же квадрата; под этими двумя, тремя другими квадратами и так далее. Маркировку нужно начинать с цифры 1 в первом квадрате. Поместите по 1 в каждый из двух квадратов второй линии. В третьей строке поставьте 1 в двух квадратах на концах и в среднем квадрате - сумму цифр в двух квадратах, лежащих над ней. В четвертой строке поставьте 1 в двух квадратах на концах. В средние поместите сумму цифр в двух квадратах над каждым. Действуйте таким же образом. Из этих строк вторая дает комбинации из одного слога, третья - комбинации из двух слогов, ... ^[38]

В тексте также указывается, что Пингала осознавал комбинаторную идентичность: ^[39]

${\ displaystyle {n \ choose 0} + {n \ choose 1} + {n \ choose 2} + \ cdots + {n \ choose n-1} + {n \ choose n} = 2 ^ {n}}$

Катьяяна

Катьяяна (ок. III в. До н. Э.) Известен тем, что был последним из ведических математиков. Он написал Катьяяна Сульба Сутру , которая представила много геометрии , включая общую теорему Пифагора и вычисление квадратного корня из 2 с точностью до пяти знаков после запятой.

Джайнская математика (400 г. до н.э. - 200 г. н.э.) [ править ]

Хотя джайнизм - это религия, а философия появилась раньше своего самого известного представителя, великого Махавирасвами (6 век до н.э.), большинство джайнских текстов на математические темы были составлены после 6 века до нашей эры. Джайнские математики исторически важны как важнейшие звенья между математикой ведийского периода и математикой «классического периода».

Значительный исторический вклад джайнских математиков состоял в том, что они освободили индийскую математику от религиозных и ритуальных ограничений. В частности, их увлечение перечислением очень больших чисел и бесконечностей привело их к классификации чисел на три класса: перечислимые, бесчисленные и бесконечные . Не довольствуясь простым понятием бесконечности, их тексты определяют пять различных типов бесконечности: бесконечное в одном направлении, бесконечное в двух направлениях, бесконечное по площади, бесконечное везде и бесконечное вечно. Кроме того, джайнские математики разработали обозначения для простых степеней (и показателей) чисел, таких как квадраты и кубы, что позволило им определять простые алгебраические уравнения (биджганита самикаран ). Математики-джайны, по-видимому, также первыми использовали слово шунья (буквально « пустота» на санскрите ) для обозначения нуля. Более чем через тысячелетие их название стало английским словом «zero» после мучительного путешествия переводов и транслитераций из Индии в Европу. (См. Zero: этимология .)

В дополнение к Сурья Праджняпти , важные работы джайнов по математике включали Стхананга Сутру (ок. 300 г. до н.э. - 200 г. н.э.); Anuyogadwara Сутра (с 200 г. до н.э. - 100 CE.); и Саткхандагама (ок. II в. н. э.). Среди выдающихся джайнских математиков были Бхадрабаху (ум. 298 г. до н.э.), автор двух астрономических работ, Бхадрабахави-Самхиты и комментария к Сурья Праджинапти ; Ятивришам Ачарья (ок. 176 г. до н. Э.), Автор математического текста под названием Тилояпаннати ; и Умасвати (около 150 г. до н. э.), который, хотя и более известен своими влиятельными трудами по философии и метафизике джайнов., составил математический труд под названием Таттвартхадхигама-Сутра Бхашья .

Устная традиция [ править ]

Математики древней и раннесредневековой Индии почти все были санскритскими пандитами ( пандита «ученый человек») ^[40], которые были обучены санскритскому языку и литературе и обладали «общим запасом знаний в грамматике ( вьякарана ), толковании ( мимамса ). и логика ( ньяйа ) ". ^[40] Запоминание того, «что слышат» ( шрутина санскрите) посредством декламации играла важную роль в передаче священных текстов в древней Индии. Запоминание и декламация также использовались для передачи философских и литературных произведений, а также трактатов по ритуалам и грамматике. Современные ученые древней Индии отметили «поистине замечательные достижения индийских пандитов, которые тысячелетиями сохраняли громоздкие устные тексты». ^[41]

Стили запоминания [ править ]

Колоссальная энергия была затрачена древней индийской культурой на то, чтобы эти тексты передавались из поколения в поколение с необычайной точностью. ^[42] Например, запоминание священных Вед включало до одиннадцати форм чтения одного и того же текста. Тексты были впоследствии «вычитаны» путем сравнения различных прочитанных версий. Формы декламации включали jaṭā-pāṭha (буквально «сетчатое чтение»), в котором каждые два соседних слова в тексте сначала произносились в исходном порядке, затем повторялись в обратном порядке и, наконец, повторялись в исходном порядке. ^[43] Таким образом, чтение продолжалось как:

В другой форме декламации, dhvaja-pāṭha ^[43] (буквально «декламация флага»), последовательность из N слов читалась (и запоминалась) путем объединения первых двух и последних двух слов, а затем следующих действий:

Самая сложная форма декламации, гхана-патха (буквально «плотная декламация»), согласно ( Филлиозат 2004 , стр. 139), приняла форму:

Об эффективности этих методов свидетельствует сохранение самого древнего индийского религиозного текста, Агведы ( около 1500 г. до н.э.), в виде единого текста без каких-либо вариативных прочтений. ^[43] Подобные методы использовались для запоминания математических текстов, передача которых оставалась исключительно устной до конца ведического периода (около 500 г. до н. Э.).

Сутра жанр [ править ]

Математическая деятельность в Древней Индии началась как часть «методологической рефлексии» священных Вед , которая приняла форму работ, называемых Vedāṇgas , или «Вспомогательные материалы Вед» ( 7–4 века до н. Э.). ^[44] Необходимость сохранить звучание священного текста с помощью шикши ( фонетики ) и чханда ( метрики ); сохранить его значение с помощью вьякарана ( грамматики ) и нирукты ( этимологии ); и правильно выполнять обряды в нужное время с помощью кальпы ( ритуала ) и джйотиша( астрология ), положила начало шести дисциплинам Веданги . ^[44] Математика возникла как часть двух последних дисциплин, ритуала и астрономии (включая астрологию). Поскольку Веданги предшествовали использованию письменности в Древней Индии, они сформировали последнюю из исключительно устной литературы. Они были выражены в очень сжатой мнемонической форме - сутре (буквально «нить»):

Знающие сутры знают, что в ней мало фонем, она лишена двусмысленности, содержит сущность, обращена ко всему, не останавливается и не вызывает возражений. ^[44]

Чрезвычайная краткость была достигнута с помощью нескольких средств, включая использование многоточия «за пределами допустимого естественного языка» ^[44], использование технических имен вместо более длинных описательных имен, сокращение списков путем упоминания только первой и последней записи, а также использование маркеров и переменных. ^[44] В сутрах создают впечатление , что общение через текст было «только часть всей команды. Остальные команд должны были переданы так называемым гуру Шишие парампаря «непрерывная последовательность от учителя ( гуру ) для ученика ( śisya ), «и он не был открыт для широкой публики» и, возможно, даже держался в секрете. ^[45] Краткость, достигаемая в сутре , демонстрируется в следующем примере из Баудхаяна Шульба сутры (700 г. до н. Э.).

Домашний алтарь огня в ведийский период по ритуалу должен был иметь квадратное основание и состоять из пяти слоев кирпича, по 21 кирпичу в каждом слое. Один из методов построения алтаря заключался в том, чтобы разделить одну сторону квадрата на три равные части с помощью шнура или веревки, чтобы затем разделить поперечную (или перпендикулярную) сторону на семь равных частей и тем самым разделить квадрат на 21 равный прямоугольник. . Затем кирпичи были спроектированы так, чтобы они имели форму составляющего прямоугольника, и был создан слой. Для формирования следующего слоя использовалась та же формула, но кирпичи располагались поперечно. ^[46] Затем процесс был повторен еще три раза (с чередованием направлений), чтобы завершить построение. В Баудхаяна Шульба Сутра, эта процедура описывается следующими словами:

II.64. Разделив четырехугольник на семь, можно разделить поперечный [шнур] на три.
II.65. В другом слое помещается [кирпичи], указывающие на север. ^[46]

Согласно ( Филлиозат 2004 , с. 144), служитель, строящий алтарь, имеет в своем распоряжении лишь несколько инструментов и материалов: шнур (санскрит, раджу , ф.), Два колышка (санскрит, шанку , м.) И глина для изготовления кирпичей (санскрит, iṣṭakā , f.). Лаконичность достигается в сутре, не упоминая явно, что квалифицирует прилагательное «поперечный»; однако из женской формы употребляемого (санскритского) прилагательного легко сделать вывод, что оно квалифицируется как «шнур». Точно так же во второй строфе «кирпичи» явно не упоминаются, но снова подразумеваются женской формой множественного числа «указывающие на север». Наконец, в первой строфе никогда прямо не говорится, что первый слой кирпичей ориентирован в направлении восток-запад, но это также подразумевается явным упоминанием «северной ориентации» во второй строфе; ибо, если ориентация должна была быть одинаковой в двух слоях, она либо вообще не упоминалась бы, либо упоминалась только в первой строфе. Все эти заключения делает чиновник, вспоминая формулу.^[46]

Письменная традиция: прозаический комментарий [ править ]

С ростом сложности математики и других точных наук требовались и письмо, и вычисления. Следовательно, многие математические работы стали записываться в рукописи, которые затем копировались и переписывались из поколения в поколение.

Сегодня в Индии насчитывается около тридцати миллионов рукописей, это самый большой объем рукописных материалов для чтения в мире. Грамотная культура индийской науки восходит, по крайней мере, к пятому веку до нашей эры ... как показывают элементы месопотамской литературы и астрономии, которые вошли в Индию в то время и (не были) определенно ... сохранены устно. ^[47]

Самым ранним математическим комментарием в прозе был комментарий к работе Āryabhaṭīya (написано 499 г. н.э.), работе по астрономии и математике. Математическая часть Арьябхатии состояла из 33 сутр (в форме стихов), состоящих из математических утверждений или правил, но без каких-либо доказательств. ^[48] Однако, согласно ( Hayashi 2003 , p. 123), «это не обязательно означает, что их авторы не доказали их. Вероятно, это был вопрос стиля изложения». Со времен Бхаскары I (600 г. н. Э.) Комментарии в прозе все чаще стали включать некоторые производные ( упапатти ). Комментарий Бхаскары I к Арьябхатии, имел следующую структуру: ^[48]

• Правило (сутра) в стихах Арьябханы
• Комментарий Бхаскары I, состоящий из:
  • Разъяснение правила (деривации тогда были редкостью, но позже стали более распространенными)
  • Пример ( уддешака ) обычно в стихах.
  • Установка ( nyāsa / sthāpanā ) числовых данных.
  • Работа ( карана ) решения.
  • Проверка ( пратьяякарана , буквально «убедить») ответа. К XIII веку они стали редкостью, и к тому времени стали популярны выводы или доказательства. ^[48]

Как правило, по любой математической теме студенты в древней Индии сначала заучивали сутры , которые, как объяснялось ранее, были «намеренно неадекватными» ^[47] в пояснительных деталях (чтобы содержательно передать простые математические правила). Затем учащиеся прорабатывали темы комментариев в прозе, записывая (и рисуя диаграммы) на меловых и пылевых досках ( т. Е. Досках, покрытых пылью). Последняя деятельность, являющаяся основным продуктом математической работы, позже побудила математика-астронома Брахмагупту ( fl. 7 век н. Э.) Охарактеризовать астрономические вычисления как «работу с пылью» (санскрит: dhulikarman ). ^[49]

Цифры и десятичная система счисления [ править ]

Хорошо известно, что используемая сегодня десятичная система значений с разрядами была сначала зарегистрирована в Индии, затем передана в исламский мир, а затем и в Европу. ^[50] Сирийский епископ Северус Себохт писал в середине 7 века н.э. о «девяти знаках» индейцев для выражения чисел. ^[50] Однако, как, когда и где была изобретена первая десятичная система значений, не так ясно. ^[51]

Самым ранним сохранившимся письмом, которое использовалось в Индии, было письмо Харотхи, используемое в культуре Гандхара на северо-западе. Считается, что он имеет арамейское происхождение и использовался с 4 века до нашей эры до 4 века нашей эры. Практически одновременно с этим на большей части субконтинента появился другой шрифт, шрифт брахмийского , который позже стал основой многих письменностей Южной и Юго-Восточной Азии. Оба шрифта имели числовые символы и системы счисления, которые изначально не основывались на системе счисления. ^[52]

Самые ранние сохранившиеся свидетельства использования десятичных цифр в Индии и Юго-Восточной Азии относятся к середине первого тысячелетия нашей эры. ^[53] На медной пластине из Гуджарата, Индия, упоминается дата 595 г. н.э., записанная в виде десятичного знака, хотя есть некоторые сомнения в подлинности пластины. ^[53] Десятичные числа, обозначающие 683 год нашей эры, также были найдены в каменных надписях в Индонезии и Камбодже, где влияние индийской культуры было значительным. ^[53]

Существуют более старые текстовые источники, хотя сохранившиеся рукописные копии этих текстов относятся к гораздо более поздним датам. ^[54] Вероятно, самым ранним из таких источников является работа буддийского философа Васумитры, датируемая, вероятно, I веком нашей эры. ^[54] Обсуждая счетные ямы торговцев, Васумитра замечает: «Когда [одна и та же] глиняная счетная деталь находится на месте единиц, она обозначается как единица, когда в сотнях - сто». ^[54] Хотя такие ссылки, кажется, подразумевают, что его читатели знали о представлении значений десятичных знаков, «краткость их намеков и двусмысленность их дат, однако, не позволяют прочно установить хронологию развития этой концепции». ^[54]

Третье десятичное представление использовалось в технике композиции стихов, позже названной Бхута-санкхья (буквально «числа объектов»), используемой ранними санскритскими авторами технических книг. ^[55] Поскольку многие ранние технические работы были составлены в стихах, числа часто представлялись объектами в естественном или религиозном мире, которые им соответствовали; это позволило установить соответствие «многие к одному» для каждого числа и упростило сочинение стихов. ^[55] Согласно Плофкеру 2009 , число 4, например, может быть представлено словом « Веда«(так как этих религиозных текстов было четыре), число 32 - словом« зубы »(поскольку полный набор состоит из 32), а число 1 - словом« луна »(поскольку луна только одна) ^{[55 ]} Таким образом, Веда / зубы / луна будет соответствовать десятичным номером 1324, поскольку соглашение для чисел было перечислить их цифр справа налево. ^[55] Самое раннее упоминание использования номера объектов является приблизительно 269 CE санскрит текст, Yavanajātaka (буквально «греческий гороскоп») Сфуджидваджи, стихотворения более ранней (около 150 г. н.э.) индийской прозаической адаптации утерянного сочинения эллинистической астрологии ^[56].Такое использование, кажется, доказывает, что к середине III века н.э. десятичная система значений была знакома, по крайней мере, читателям астрономических и астрологических текстов в Индии. ^[55]

Была выдвинута гипотеза, что индийская десятичная система значений была основана на символах, используемых на китайских счетных досках еще с середины первого тысячелетия до нашей эры. ^[57] Согласно Plofker 2009 ,

Эти счетные доски, как и индийские счетные ямы, ... имели структуру десятичных знаков ... Индийцы, возможно, узнали об этих "стержневых числах" десятичных знаков от китайских буддийских паломников или других путешественников, или они, возможно, разработали концепция независимо от их прежней системы безразличных ценностей; не сохранилось никаких документальных свидетельств, подтверждающих оба вывода » ^[57].

Бахшалинский манускрипт [ править ]

Самая старая сохранившаяся математическая рукопись в Индии является Бахшала Рукопись , берестяная рукопись , написанная в «буддийском гибридном санскрите» ^[12] в Шарада сценарии, который был использован в северо - западном регионе Индийского субконтинента между 8 - м и 12 - м веками нашей эрой. ^[58] Рукопись была обнаружена в 1881 году фермером при раскопках в каменной ограде в деревне Бахшали, недалеко от Пешавара (тогда в Британской Индии, а теперь в Пакистане ). И теперь неизвестного авторства сохранились в библиотеке Бодлеанской в Оксфордском университетерукопись датируется по-разному - иногда даже «ранними веками христианской эры». ^[59] 7 век н.э. теперь считается вероятной датой. ^[60]

У сохранившейся рукописи семьдесят листов, некоторые из которых фрагментированы. Его математическое содержание состоит из правил и примеров, написанных стихами, вместе с комментариями в прозе, которые включают решения к примерам. ^[58] Изучаемые темы включают арифметику (дроби, квадратные корни, прибыль и убыток, простой процент, правило трех и regula falsi ) и алгебру (одновременные линейные уравнения и квадратные уравнения ), а также арифметические прогрессии. Кроме того, существует несколько геометрических задач (включая задачи об объемах твердых тел неправильной формы). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля». ^[58] Многие из его проблем относятся к категории, известной как «проблемы выравнивания», которые приводят к системам линейных уравнений. Один из примеров из фрагмента III-5-3v:

У одного торговца семь лошадей асава , у второго - девять лошадей хая , а у третьего - десять верблюдов. Они одинаково высоко ценят своих животных, если каждый дает по два животных, по одному каждому другому. Найдите цену каждого животного и общую стоимость животных, которыми владеет каждый торговец. ^[61]

Комментарий в прозе, сопровождающий пример, решает проблему, преобразовывая его в три (недоопределенных) уравнения с четырьмя неизвестными и предполагая, что все цены являются целыми числами. ^[61]

В 2017 году радиоуглеродный анализ показал, что три образца из рукописи относятся к трем разным векам: 224–383 гг., 680–779 гг. И 885–993 гг. Неизвестно, как были упакованы фрагменты разных веков. ^{[62] [63] [64]}

Классический период (400–1600) [ править ]

Этот период часто называют золотым веком индийской математики. В этот период математики, такие как Арьябхата , Варахамихира , Брахмагупта , Бхаскара I , Махавира , Бхаскара II , Мадхава Сангамаграмы и Нилакантха Сомаяджи, придали более широкую и ясную форму многим разделам математики. Их вклад распространился на Азию, Ближний Восток и, в конечном итоге, на Европу. В отличие от ведической математики, их работы включали как астрономические, так и математические достижения. Фактически, математика того периода была включена в «астральную науку» ( jyotiḥśāstra) и состоял из трех субдисциплин: математических наук ( гатита или тантра ), астрологии гороскопа ( хора или джатака ) и гадания (самхита). ^[49] Это разделение на три части видно в сборнике Варахамихира VI века - Панчасиддхантика ^[65] (буквально панча , «пять», сиддханта , «заключение размышлений », датируемое 575 г. н.э. ) - пяти ранних работ, Сурья Сиддханта , Ромака Сиддханта , Паулиса Сиддханта , Васиштха Сиддханта и Пайтамаха Сиддханта, которые были адаптированы еще более ранние работы месопотамской, греческой, египетской, римской и индийской астрономии. Как объяснялось ранее, основные тексты были составлены в стихах на санскрите с комментариями в прозе. ^[49]

Пятый и шестой века [ править ]

Сурья Сиддханта

Хотя его авторство неизвестно, Сурья Сиддханта (ок. 400 г.) содержит корни современной тригонометрии . ^{[ необходима цитата ]} Поскольку он содержит много слов иностранного происхождения, некоторые авторы считают, что он был написан под влиянием Месопотамии и Греции. ^{[66] [ нужен лучший источник ]}

В этом древнем тексте впервые используются следующие тригонометрические функции: ^{[ необходима цитата ]}

• Синус ( Джья ).
• Косинус ( Кодзя ).
• Обратный синус ( Otkram jya ).

Он также содержит самые ранние варианты использования: ^{[ необходима цитата ]}

• Касательная .
• Секанс .

Позднее индийские математики, такие как Арьябхата, ссылались на этот текст, в то время как более поздние арабские и латинские переводы имели большое влияние в Европе и на Ближнем Востоке.

Календарь чхеди

Этот календарь Chhedi (594) содержит раннее использование современного места стоимости индо-арабская система цифры в настоящее время используется повсеместно.

Арьябхата I

Арьябхата (476–550) написал Арьябхатию. Он описал важные фундаментальные принципы математики в 332 шлоках . Трактат содержал:

• Квадратные уравнения
• Тригонометрия
• Значение π с точностью до 4 знаков после запятой.

Арьябхата также написал Арья Сиддханту , которая сейчас утеряна. Вклад Арьябхаты:

Тригонометрия:

(См. Также: таблицу синусов Арьябхаты )

• Введены тригонометрические функции .
• Определил синус ( джья ) как современное соотношение между половиной угла и половиной хорды.
• Определил косинус ( коджья ).
• Дала определение версине ( уткрама-джья ).
• Определен обратный синус ( открам джья ).
• Приведены методы расчета их примерных числовых значений.
• Содержит самые ранние таблицы значений синуса, косинуса и версина с интервалом 3,75 ° от 0 ° до 90 °, с точностью до 4 десятичных знаков.
• Содержит тригонометрическую формулу sin ( n + 1) x - sin nx = sin nx - sin ( n - 1) x - (1/225) sin nx .
• Сферическая тригонометрия .

Арифметика:

• Непрерывные дроби .

Алгебра:

• Решения одновременных квадратных уравнений.
• Целочисленные решения линейных уравнений методом, эквивалентным современному.
• Общее решение неопределенного линейного уравнения.

Математическая астрономия:

• Точные вычисления астрономических констант, таких как:
  • Солнечное затмение .
  • Лунное затмение .
  • Формула суммы кубов , которая была важным шагом в развитии интегрального исчисления. ^[67]

Варахамихира

Варахамихира (505–587) создал Панча Сиддханту ( Пять Астрономических Канонов ). Он внес важный вклад в тригонометрию, включая таблицы синусов и косинусов с точностью до 4 десятичных знаков и следующие формулы, связывающие функции синуса и косинуса :

• ${\ Displaystyle \ грех ^ {2} (х) + \ соз ^ {2} (х) = 1}$
• ${\ displaystyle \ sin (x) = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - x \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ frac {1- \ cos (2x)} {2}} = \ sin ^ {2} (x)}$

Седьмой и восьмой века [ править ]

В VII веке в индийской математике начали появляться две отдельные области: арифметика (включая измерения ) и алгебра . Эти два поля позже будут называться pāṭī-gaita (буквально «математика алгоритмов») и bīja-gaita (букв. «Математика семян», где «семена» - как семена растений - представляют неизвестные, которые могут генерировать, в данном случае решения уравнений). ^[68] Брахмагупта в своем астрономическом труде « Брахма Сфуна Сиддханта»(628 г. н.э.), включал две главы (12 и 18), посвященные этим областям. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на две части: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, а также обмен) и «практическая математика» (включая смесь, математические ряды, плоские фигуры, укладку кирпичей, распиловка леса и штабелирование зерна). ^[69] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника : ^[69]

Теорема Брахмагупты: если вписанный четырехугольник имеет диагонали, перпендикулярные друг другу, то перпендикулярная линия, проведенная от точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит противоположную сторону пополам.

Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( то есть треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями).

Формула Брахмагупты: Площадь A вписанного четырехугольника со сторонами длиной a , b , c , d соответственно определяется выражением

${\ displaystyle A = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}} \,}$

где s - полупериметр , определяемый формулой${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: треугольник с рациональными сторонами и рациональной площадью имеет вид:${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

для некоторых рациональных чисел и . ^[70]${\displaystyle u,v,}$${\displaystyle w}$

Глава 18 содержала 103 санскритских стиха, которые начинались с правил арифметических операций с нулями и отрицательными числами ^[69] и считаются первым систематическим трактатом этого предмета. Правила (которые включены и ) были правильными, но с одним исключением: . ^[69] Позже в этой главе он дал первое явное (хотя и не совсем общее) решение квадратного уравнения :${\displaystyle a+0=\ a}$${\displaystyle a\times 0=0}$${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

К абсолютному числу, умноженному на квадрат [коэффициент при], прибавьте квадрат [коэффициента при] среднего члена; квадратный корень из того же, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенный [коэффициент] квадрата, является значением. ^[71]

Это эквивалентно:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

Кроме того, в главе 18, Брахмагупта удалось добиться прогресса в поиске (интеграл) решения уравнения Пелля , ^[72]

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

где - неквадратное целое число. Он сделал это, открыв следующую личность: ^[72]${\displaystyle N}$

Идентичность Брахмагупты: которая была обобщением более ранней идентичности Диофанта : ^[72] Брахмагупта использовал свою личность, чтобы доказать следующую лемму: ^[72]${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$

Лемма (Брахмагупта): Если является решением и, является решением , то:${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$ это решение ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

Затем он использовал эту лемму для генерации бесконечного числа (интегральных) решений уравнения Пелла по одному решению и сформулировал следующую теорему:

Теорема (Брахмагупта): если уравнение имеет целочисленное решение для любого из уравнений Пелла:${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

также имеет целочисленное решение. ^[73]

Брахмагупта на самом деле не доказал теорему, а разработал примеры, используя свой метод. Первый пример, который он представил, был: ^[72]

Пример (Брахмагупта): Найдите такие целые числа , что:${\displaystyle \ x,\ y\ }$

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

В своем комментарии Брахмагупта добавил: «Человек, решающий эту задачу в течение года, является математиком». ^[72] Решение, которое он предоставил, было:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

Бхаскара I

Бхаскара I (ок. 600–680) расширил деятельность Арьябхаты в своих книгах под названием Махабхаскария , Арьябхатия-бхашья и Лагху-бхаскария . Он произвел:

• Решения неопределенных уравнений.
• Рациональная аппроксимация синусоидальной функции .
• Формула для вычисления синуса острого угла без использования таблицы с точностью до двух знаков после запятой.

С девятого по двенадцатый века [ править ]

Вирасена

Вирасена (8 век) был математиком-джайном при дворе царя Раштракуты Амогхаварши из Маньяхеты , штат Карнатака. Он написал Дхавалу , комментарий к джайнской математике, в котором:

• Рассматривается концепция ардхаччеды , количество раз, которое можно уменьшить вдвое, и перечислены различные правила, связанные с этой операцией. Это совпадает с двоичным логарифмом в применении к степеням двойки , ^{[74] [75],} но отличается для других чисел, больше напоминающих 2-адический порядок .
• Та же концепция для основы 3 ( тракачеда ) и основы 4 ( чатуртачеда ).

Вирасена также дал:

• Вывод объема в виде усеченного по какой -то бесконечной процедуры.

Считается, что большая часть математического материала в Дхавале может быть отнесена к предыдущим авторам, особенно Кундакунде, Шамакунде, Тумбулуре, Самантабхадре и Баппадеве и датируемым между 200 и 600 годами нашей эры. ^[75]

Махавира

Махавира Ачарья (ок. 800–870) из Карнатаки , последний из известных математиков-джайнов, жил в 9 веке и находился под покровительством царя Раштракута Амогхаварши. Он написал книгу под названием « Ганит Саар Санграха» по вычислительной математике, а также написал трактаты по широкому кругу математических тем. К ним относятся математика:

• Нуль
• Квадраты
• Кубики
• квадратные корни , кубические корни и ряды, выходящие за пределы этих
• Плоская геометрия
• Твердая геометрия
• Проблемы, связанные с отбрасыванием теней
• Получены формулы для вычисления площади эллипса и четырехугольника внутри круга .

Махавира также:

• Утверждал, что квадратного корня из отрицательного числа не существует
• Дал сумму ряда, члены которого являются квадратами из в арифметической прогрессии , и дал эмпирические правила для области и периметр эллипса.
• Решенные кубические уравнения.
• Решенные уравнения четвертой степени.
• Решил некоторые уравнения пятой степени и многочлены высшего порядка .
• Даны общие решения полиномиальных уравнений высшего порядка:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• Решенные неопределенные квадратные уравнения.
• Решенные неопределенные кубические уравнения.
• Решенные неопределенные уравнения высшего порядка.

Шридхара

Шридхара (ок. 870–930), живший в Бенгалии , написал книги под названием « Нав Шатика» , « Три Шатика» и « Пати Ганита» . Он дал:

• Хорошее правило для определения объема шара .
• Формула решения квадратных уравнений .

Пати Ganita является работа по арифметике и измерения . Он занимается различными операциями, в том числе:

• Элементарные операции
• Извлечение квадратных и кубических корней.
• Дроби.
• Для операций с нулем дано восемь правил.
• Методы суммирования различных арифметических и геометрических рядов, которые стали стандартными ссылками в более поздних работах.

Манджула

Дифференциальные уравнения Арьябхаты были разработаны в 10 веке Манджулой (также Мунджала ), который понял, что выражение ^[76]

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

можно приблизительно выразить как

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

Он понял концепцию дифференцирования после решения дифференциального уравнения, которое возникло в результате подстановки этого выражения в дифференциальное уравнение Арьябхаты. ^[76]

Арьябхата II

Арьябхата II (ок. 920–1000) написал комментарий к Шридхаре и астрономический трактат Маха-Сиддханта . Маха-Сиддханта состоит из 18 глав, в которых обсуждаются:

• Вычислительная математика ( Анк Ганит ).
• Алгебра.
• Решения неопределенных уравнений ( куттака ).

Шрипати

Шрипати Мишра (1019–1066) написал книги « Сиддханта Шекхара» , крупный труд по астрономии в 19 главах, и « Ганит Тилака» , неполный арифметический трактат в 125 стихах, основанный на работе Шридхары. В основном он работал над:

• Перестановки и комбинации .
• Общее решение одновременного неопределенного линейного уравнения.

Он также был автором Дхикотидакараны , работы из двадцати стихов на:

• Солнечное затмение .
• Лунное затмение .

Dhruvamanasa произведение 105 стихов на:

• Расчет планетарной долготы
• затмения .
• планетарные транзиты .

Немичандра Сиддханта Чакравати

Немичандра Сиддханта Чакравати (ок. 1100) написал математический трактат под названием « Гоме-мат Саар» .

Бхаскара II

Бхаскара II (1114–1185) был математиком-астрономом, написавшим ряд важных трактатов, а именно: Сиддханта Широмани , Лилавати , Биджаганита , Гола Аддхайя , Гриха Ганитам и Каран Каутоохал . Некоторые его работы позже были переданы на Ближний Восток и в Европу. Его вклад включает:

Арифметика:

• Расчет процентов
• Арифметические и геометрические прогрессии
• Плоская геометрия
• Твердая геометрия
• Тень гномона
• Решения комбинаций
• Доказал, что деление на ноль есть бесконечность .

Алгебра:

• Распознавание положительного числа, имеющего два квадратных корня.
• Surds .
• Операции с произведениями нескольких неизвестных.
• Решения:
  • Квадратные уравнения.
  • Кубические уравнения.
  • Уравнения четвертой степени.
  • Уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Общий вид уравнения Пелля с использованием метода чакравалы .
  • Общее неопределенное квадратное уравнение с использованием метода чакравалы .
  • Неопределенные кубические уравнения.
  • Неопределенные уравнения четвертой степени.
  • Неопределенные полиномиальные уравнения высокого порядка.

Геометрия:

• Дал доказательство теоремы Пифагора .

Исчисление:

• Задуман дифференциального исчисления .
• Обнаружил производную .
• Обнаружил дифференциальный коэффициент .
• Развитая дифференциация.
• Сформулированная теорема Ролля , частный случай теоремы о среднем значении (одна из важнейших теорем исчисления и анализа).
• Выведен дифференциал синусоидальной функции.
• Вычисленное π с точностью до пяти десятичных знаков.
• Рассчитана длина обращения Земли вокруг Солнца с точностью до 9 знаков после запятой.

Тригонометрия:

• Развитие сферической тригонометрии
• Тригонометрические формулы:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

Математика Кералы (1300–1600) [ править ]

Кералы школа астрономии и математики была основана Мадхава из Сангамаграмы в Керале, Южной Индии и в число его членов: Парамешвары , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Акюта Пишарати , Мелпатур Нарейана Бхэттатери и Ачьюта К.ПАНИККАРА. Он процветал между 14 и 16 веками, и оригинальные открытия школы, кажется, закончились Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические проблемы, астрономы из школы Кералы независимо друг от друга создали ряд важных математических концепций. Важнейшие результаты, разложение в ряд длятригонометрические функции были даны в стихах на санскрите в книге Нилаканты под названием Тантрасанграха и комментарии к этой работе под названием Тантрасанграха-вахья неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства для ряда для синуса , косинуса и арктангенса были представлены столетием позже в работе Юктибхана (около 1500–1610), написанной на малаялам Джьестадевой, а также в комментарий к Тантрасанграхе . ^[77]

Открытие этих трех важных серий расширений исчисления - за несколько веков до того, как исчисление было разработано в Европе Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем, - было достижением. Тем не менее, Керала школа не изобретал исчисление , ^[78] , потому что, в то время как они были в состоянии разработать ряд Тейлора разложения для важных тригонометрических функций , дифференциации , почленно интеграции , конвергенции тестов , итерационные методыдля решений нелинейных уравнений и теории, согласно которой площадь под кривой является ее интегралом, они не разработали ни теорию дифференцирования или интегрирования , ни основную теорему исчисления . ^[79] Результаты, полученные школой Кералы, включают:

• (Бесконечный) геометрический ряд : ^[80]${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$
• Полустрогое доказательство (см. Замечание «индукции» ниже) результата: для больших n . ^[77]${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$
• Интуитивное использование математической индукции , однако, индуктивная гипотеза не была сформулирована или использована в доказательствах. ^[77]
• Применение идей (которые впоследствии стали) дифференциального и интегрального исчисления для получения (Тейлора – Маклорена) бесконечных рядов для sin x, cos x и arctan x. ^[78] Tantrasangraha-vakhya дает серию в стихе, который при переводе в математические обозначения, можно записать в виде: ^[77]

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle \sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

где при r  = 1 ряд сводится к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

и

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• Использование выпрямления (вычисления длины) дуги окружности для доказательства этих результатов. (Более поздний метод Лейбница, использующий квадратуру, т.е. вычисление площади под дугой круга, не использовался.) ^[77]
• Использование разложения в ряд для получения формулы Лейбница для π : ^[77]${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• Рациональная аппроксимация ошибки для конечной суммы интересующего их ряда. Например, ошибка (для нечетного n и i = 1, 2, 3) для серии:${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• Манипулирование ошибочным членом для получения более быстрого сходящегося ряда для : ^[77]${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• Используя улучшенный ряд для получения рационального выражения, ^[77] 104348/33215 для π исправьте до девяти десятичных знаков, т.е.  3,141592653.
• Использование интуитивно понятного понятия предела для вычисления этих результатов. ^[77]
• Полустрогий (см. Замечание о пределах выше) метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций. ^[79] Однако они не сформулировали понятие функции и не знали экспоненциальных или логарифмических функций.

Труды керальской школы были впервые написаны для западного мира англичанином К.М. Вишем в 1835 году. По словам Виша, математики из Кералы « заложили основу для полной системы флюксий », и эти работы изобиловали « флюксными формами и рядами. нельзя найти ни в одной работе в зарубежных странах » ^[81].

Однако результатами Виша почти полностью пренебрегли, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы К. Раджагопалом и его сотрудниками. Их работа включает комментарии к доказательствам ряда арктанов в Юктибхане, данные в двух статьях ^{[82] [83],} комментарий к доказательству Юктибханы ряда синусов и косинусов ^[84] и две статьи, которые содержат санскритские стихи Tantrasangrahavakhya для серии для арктангенса, греха и косинус (с английским переводом и комментариями). ^{[85] [86]}

Нараяна Пандит - математик XIV века, написавший два важных математических труда: арифметический трактат « Ганита Каумуди» и алгебраический трактат « Биджганита Ватамса» . Нараяна также считается автором сложной комментарию Bhaskara II «s Lilavati , названный Karmapradipika (или карма-Паддхати ). Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1340–1425) был основателем школы Кералы. Хотя возможно, что он написал Карана Паддхати произведение, написанное где-то между 1375 и 1475 годами, все, что мы действительно знаем о его работах, исходит из работ более поздних ученых.

Парамешвара (ок. 1370–1460) написал комментарии к трудам Бхаскары I , Арьябхаты и Бхаскары II. Его Lilavati Бхашье , комментарий на Бхаскаре II, Lilavati , содержит один из его важных открытий: это версия теоремы о среднем значении . Нилакантха Сомаяджи ( 1444–1544 ) составил « Тантра Самграха» (которая «породила» более поздний анонимный комментарий Тантрасанграха-вьяхья и дальнейший комментарий под названием Юктидипайка , написанный в 1501 году). Он разработал и расширил вклады Мадхавы.

Читрабхану (около 1530 г.) был математиком 16 века из Кералы, который дал целочисленные решения 21 типу систем двух одновременных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Эти типы представляют собой всевозможные пары уравнений следующих семи форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

Для каждого случая Читрабхану дал объяснение и обоснование своего правления, а также пример. Некоторые из его объяснений являются алгебраическими, а другие - геометрическими. Джьестадева (ок. 1500–1575) был еще одним членом школы Кералы. Его ключевой работой была « Юкти-бхана» (написанная на малаялам, региональном языке Кералы). Джьестадева представил доказательства большинства математических теорем и бесконечных рядов, ранее открытых Мадхавой и другими математиками Керальской школы.

Обвинения в евроцентризме [ править ]

Этот раздел может придать чрезмерный вес определенным идеям, инцидентам или противоречиям . Пожалуйста, помогите создать более сбалансированную презентацию . Обсудите и устраните эту проблему, прежде чем удалять это сообщение. (Сентябрь 2014 г.)

Было высказано предположение, что вклад Индии в математику не получил должного признания в современной истории и что многие открытия и изобретения индийских математиков в настоящее время культурно приписываются их западным коллегам в результате европоцентризма . По мнению Джозефа Джозефа об " Этноматематике ":

[Их работа] принимает во внимание некоторые возражения, выдвинутые против классической евроцентрической траектории. Скорее всего, осведомленность [об индийской и арабской математике] будет сдерживаться пренебрежительным отрицанием их важности по сравнению с греческой математикой. Вклад других цивилизаций, в первую очередь Китая и Индии, воспринимается либо как заемщик из греческих источников, либо внесший лишь незначительный вклад в развитие математики. К сожалению, отсутствует открытость к результатам более поздних исследований, особенно в случае индийской и китайской математики » ^[87]

Историк математики Флориан Каджори предположил, что он и другие «подозревают, что Диофант получил свой первый проблеск алгебраических знаний из Индии». ^[88] Однако он также писал, что «несомненно, что части индуистской математики имеют греческое происхождение». ^[89]

Совсем недавно, как обсуждалось в предыдущем разделе, бесконечные серии исчислений тригонометрических функций (вновь открытых Грегори, Тейлором и Маклореном в конце 17 века) были описаны (с доказательствами и формулами для ошибки усечения) в Индии математиками Кералы школа , замечательно около двух веков назад. Некоторые ученые недавно предположили, что информация об этих результатах могла быть передана в Европу торговым путем из Кералы торговцами и миссионерами- иезуитами . ^[90] Керала находилась в постоянном контакте с Китаем и Аравией., а с 1500 года - с Европой. Наличие коммуникационных путей и подходящая хронология, безусловно, делают такую ​​передачу возможной. Однако нет никаких прямых доказательств в виде соответствующих рукописей, что такая передача действительно имела место. ^[90] По словам Дэвида Брессуда , «нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^{[78] [91]}

И арабские, и индийские ученые сделали открытия до 17 века, которые теперь считаются частью математического анализа. ^[79] Однако они не смогли, как это сделали Ньютон и Лейбниц , «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем - производной и интеграла , показать связь между ними и не превратить исчисление в великий инструмент решения проблем. есть сегодня ". ^[79] Интеллектуальная карьера Ньютона и Лейбница хорошо задокументирована, и нет никаких указаний на то, что их работа не является их собственной; ^[79] однако с уверенностью неизвестно, были ли непосредственные предшественникиНьютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля, узнали о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, которые нам сейчас не известны». ^[79] Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба . Это исследование проводится, среди прочего, в Национальном центре научных исследований в Париже. ^[79]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1998), Элементы истории математики , Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag , 301 страница, ISBN 978-3-540-64767-6.
• Boyer, CB; Мерцбак (вперед. Исаак Азимов), Калифорнийский университет (1991), История математики , Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 736 страниц, ISBN 978-0-471-54397-8.
• Bressoud, Дэвид (2002), "Был Исчисление Изобретенный в Индии?", Колледж Математика журнал (Math доц Amer...) , 33 (1): 2-13, DOI : 10,2307 / 1558972 , JSTOR  1558972.
• Bronkhorst, Johannes (2001), "Панини и Евклида: Размышления о индийской геометрии", журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 29 (1-2): 43-80, DOI : 10.1023 / A: 1017506118885 , S2CID  115779583.
• Бернетт, Чарльз (2006), "Семантика индийских числительных в арабском, греческом и латинском языках", журнал индийской философии , Springer-Нидерланды, 34 (1-2): 15-30, DOI : 10.1007 / s10781-005-8153 -z , S2CID  170783929.
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение , McGraw-Hill Companies, Inc., стр. 193–220.
• Кук, Роджер (2005), История математики: Краткий курс , Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 632 страницы, ISBN 978-0-471-44459-6.
• Дани, С.Г. (25 июля 2003 г.), «О пифагорейских тройках в Шулвасутрах» (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224.
• Датта, Bibhutibhusan (декабрь 1931), "Early Литературные Доказательства использования Зеро в Индии", Американский Математический Месячный , 38 (10): 566-572, DOI : 10,2307 / 2301384 , JSTOR  2301384.
• Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадеш Нараян (1962), История индуистской математики: справочник , Бомбей: издательство Asia Publishing House.
• De Young, Gregg (1995), "евклидовой геометрии в математической традиции исламской Индии", Historia Mathematica , 22 (2): 138-153, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1014.
• Британская энциклопедия (Ким Плофкер) (2007), «математика, Южная Азия» , Encyclopdia Britannica Online : 1–12 , получено 18 мая 2007 г..
• Филлиозат, Пьер-Сильвен (2004), «Математика древнего санскрита: устная традиция и письменная литература» , в Chemla, Karine ; Коэн, Роберт С .; Ренн, Юрген; и другие. (ред.), история науки, история текста (Бостон серии в философии науки) , Dordrecht: Springer Нидерланды, 254 страниц, стр 137-157, стр 360-375,.. дои : 10.1007 / 1-4020- 2321-9_7 , ISBN 978-1-4020-2320-0.
• Фаулер, Дэвид (1996), "Бином Коэффициент функции", Американский Математический Месячный , 103 (1): 1-17, DOI : 10,2307 / 2975209 , JSTOR  2975209.
• Хаяси, Такао (1995), Рукопись Бахшали, древний индийский математический трактат , Гронинген: Эгберт Форстен, 596 страниц, ISBN 978-90-6980-087-5.
• Hayashi, Такао (1997), "Правило Ариабхаты и таблица синус-разностей", Хистория Mathematica , 24 (4): 396-406, DOI : 10,1006 / hmat.1997.2160.
• Хаяси, Такао (2003), "Indian Mathematics", в Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , 1, pp. 118–130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 страниц, ISBN 978-0-8018-7396-6.
• Хаяси, Такао (2005), «Индийская математика», в Flood, Gavin (ed.), The Blackwell Companion to Hinduism , Oxford: Basil Blackwell, 616 страниц, стр. 360–375, стр. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в сутрах Сульбы» , в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в действии: документы по прикладной геометрии , 53, стр. 39–45, Вашингтон, округ Колумбия: Математический Примечания Ассоциации Америки , 236 страниц, стр. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.
• Джозеф, Г.Г. (2000), Гребень павлина: неевропейские корни математики , Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press, 416 страниц, ISBN 978-0-691-00659-8.
• Katz, Виктор J. (1995), "Идеи Исчисление в исламе и Индии", Математика Magazine (Math доц Amer...) , 68 (3): 163-174, DOI : 10,2307 / 2691411 , JSTOR  2691411.
• Кац, Виктор Дж., Изд. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 685 страниц, стр 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Келлер, Агат (2005), "Создание диаграммы говорят, в комментарии Бхаскара I в на Aryabhaṭīya " (PDF) , Historia Mathematica , 32 (3): 275-302, DOI : 10.1016 / j.hm.2004.09.001.
• Kichenassamy, Satynad (2006), "правило Baudhāyana для квадратуры круга", Historia Mathematica , 33 (2): 149-183, DOI : 10.1016 / j.hm.2005.05.001.
• Пингри, Дэвид (1971), «О греческом происхождении индийской планетной модели с использованием двойного эпицикла», Журнал исторической астрономии , 2 (1): 80–85, Bibcode : 1971JHA ..... 2 ... 80P , DOI : 10,1177 / 002182867100200202 , S2CID  118053453.
• Пингри, Дэвид (1973), "Месопотамское происхождение ранней индийской математической астрономии", Журнал исторической астрономии , 4 (1): 1–12, Bibcode : 1973JHA ..... 4 .... 1P , doi : 10.1177 / 002182867300400102 , S2CID  125228353.
• Пингри, Дэвид ; Стаал, Фриц (1988), "Обзор работ: Верность устной традиции и истоки науки Фрицем Стаалом", Журнал Американского восточного общества , 108 (4): 637–638, DOI : 10.2307 / 603154 , JSTOR  603154.
• Пингри, Дэвид (1992), «Гелленофилия против истории науки», Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis ... 83..554P , doi : 10.1086 / 356288 , JSTOR  234257 , S2CID  68570164
• Pingree, Дэвид (2003), "Логика незападном науки: математические открытия в средневековой Индии" , Дедал , 132 (4): 45-54, DOI : 10,1162 / 001152603771338779 , S2CID  57559157.
• Плофкер, Ким (1996), "Пример секущего метода итерационной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века", Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006 / hmat.1996.0026.
• Plofker, Ким (2001), "The "Error" в индийской "Ряды Тейлора приближения" к Синус", Historia Mathematica , 28 (4): 283-295, DOI : 10,1006 / hmat.2001.2331.
• Плофкер, К. (2007), «Математика Индии», в: Кац, Виктор Дж. (Редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 685 страниц, стр 385–514, стр 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии: 500 г. до н.э. – 1800 г. н.э. , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6.
• Прайс, Джон Ф. (2000), «Прикладная геометрия сутр Сульбы» (PDF) , в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в действии: документы по прикладной геометрии , 53, стр. 46–58, Вашингтон. DC: Примечания математической ассоциации Америки, 236 страниц, стр. 46–58, ISBN 978-0-88385-164-7.
• Рой, Ranjan (1990), "Открытие Формулы серии для Лейбница, Грегори, и Нилаканты", Математика Magazine (Math доц Amer...) , 63 (5): 291-306, DOI : 10,2307 / 2690896 , JSTOR 2690896${\displaystyle \pi }$ .
• Сингх, А. Н. (1936), "Об использовании серии в индуистской математики", Осирис , 1 (1): 606-628, DOI : 10,1086 / 368443 , JSTOR  301627 , S2CID  144760421
• Стаал, Фриц (1986), Верность устной традиции и истоки науки , Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Леттеркунде, NS 49, 8. Амстердам: издательство North Holland Publishing Company, 40 страниц..
• Стааль, Фриц (1995), "Санскритская науки", журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 23 (1): 73-127, DOI : 10.1007 / BF01062067 , S2CID  170755274.
• Стааль, Фриц (1999), "греческая и ведическая геометрия", журнал индийской философии , 27 (1-2): 105-127, DOI : 10,1023 / A: 1004364417713 , S2CID  170894641.
• STAAL, Фриц (2001), "Квадраты и прямоугольники в Ведах", журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 29 (1-2): 256-272, DOI : 10,1023 / A: 1017527129520 , S2CID  170403804.
• Стааль, Фриц (2006), "Искусственные Языки Across наук и цивилизаций", журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 34 (1): 89-141, DOI : 10.1007 / s10781-005-8189-0 , S2CID  170968871.
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история , Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Спрингер, Берлин и Нью-Йорк, 568 страниц, DOI : 10.1007 / 978-1-4684-9281-1 , ISBN 978-0-387-95336-6.
• Тибо, Джордж (1984) [1875], Математика в процессе становления в Древней Индии: перепечатки «О Сульвасутрах» и «Баудхьяяна Сулва-сутра», Калькутта и Дели: К. П. Багчи и компания (исходный журнал Азиатского общества Бенгалии), 133 страницы.
• ван дер Варден, Б. Л. (1983), Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Берлин и Нью-Йорк: Спрингер, 223 страницы, ISBN 978-0-387-12159-8
• ван дер Варден, BL (1988), "О Ромаке-сиддханте", Архив для истории точных наук , 38 (1): 1-11, DOI : 10.1007 / BF00329976 , S2CID  189788738
• ван дер Варден, Б.Л. (1988), «Реконструкция греческой таблицы аккордов», Архив истории точных наук , 38 (1): 23–38, Bibcode : 1988AHES ... 38 ... 23V , doi : 10.1007 / BF00329978 , S2CID  189793547
• Ван Nooten, B. (1993), "Двоичные числа в индийской древности", журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 21 (1): 31-50, DOI : 10.1007 / BF01092744 , S2CID  171039636
• Уиш, Чарльз (1835), «О хинду-квадратуре круга и бесконечном ряду отношения длины окружности к диаметру, показанному в четырех Шастрах, Тантре Санграхам, Юкти Бхаше, Чарана Падхати и Садратнамале» , Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии , 3 (3): 509-523, DOI : 10,1017 / S0950473700001221 , JSTOR  25581775
• Яно, Мичио (2006), "Устная и письменная Передача точных наук в санскрите", журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 34 (1-2): 143-160, DOI : 10.1007 / s10781-005-8175-6 , S2CID  170679879

Дальнейшее чтение [ править ]

Справочники на санскрите [ править ]

• Келлер, Агате (2006), Излагая математическое семя. Vol. 1: Перевод: перевод Бхаскары I по математической главе книги Арьябхатия , Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 172 страницы, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Келлер, Агате (2006), Излагая математическое семя. Vol. 2: Приложения: перевод Бхаскары I по математической главе журнала Aryabhatiya , Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 206 страниц, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Нойгебауэр, Отто ; Пингри, Дэвид , ред. (1970), Панкасиддхантика Варахамихиры , Новое издание с переводом и комментариями, (2 тома), Копенгаген..
• Пингри, Дэвид , изд. (1978), The Yavanajātaka of Sphujidhvaja , отредактированный, переведенный и прокомментированный Д. Пингри, Кембридж, Массачусетс: Harvard Oriental Series 48 (2 vols.).
• Сарма, К.В. , изд. (1976), ryabhaṭīya of ryabhaa с комментарием Сурядевы Яджвана , критически отредактированный с введением и приложениями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Сен, СН; Сумка, АК, ред. (1983), Шулбасутры Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы , с текстом, английским переводом и комментариями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла, К.С., изд. (1976), ryabhaṭīya of ryabhaa с комментарием Bhāskara I и Someśvara , критически отредактированный с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла, К.С., изд. (1988), ryabhaṭīya of ṭryabhaa , критически отредактированный с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, в сотрудничестве с KV Sarma , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.

Внешние ссылки [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: индийской математикой

• Наука и математика в Индии
• Обзор индийской математики , MacTutor History of Mathematics Archive , Сент-Эндрюсский университет , 2000 г.
• Индийские математики
• Индекс древнеиндийской математики , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс, 2004.
• Индийская математика: восстановление баланса , студенческие проекты по истории математики . Ян Пирс. Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс, 2002.
• Индийская математика в наше время на BBC
• InSIGHT 2009 , семинар по традиционным индийским наукам для школьников, проводимый факультетом компьютерных наук Университета Анны, Ченнаи, Индия.
• Математика в Древней Индии Р. Шридхарана
• Комбинаторные методы в Древней Индии
• Математика до С. Рамануджана