Бхаскара II

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может содержать неуместные или неверно истолкованные цитаты, которые не подтверждают текст . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , проверив неточности цитирования. ( Ноябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  "Bhāskara II"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Доказательство теоремы Пифагора, Бхаскара.

Бхаскара (ок. 1114–1185), также известный как Бхаскарачарья («Бхаскара, учитель»), и как Бхаскара II, чтобы избежать путаницы с Бхаскарой I , был индийским математиком и астрономом . Он родился в Биджапуре в штате Карнатака . ^[1]

Бхаскара родился в семье ученых, математиков и астрономов Дешастха-браминов , и был руководителем космической обсерватории в Удджайне , главном математическом центре древней Индии . ^[2] Бхаскара и его труды представляют собой значительный вклад в математические и астрономические знания 12 века. Его называли величайшим математиком средневековой Индии. ^[3] Его основная работа сиддхант-широмань , ( Санскритская для «Короны трактата») ^[4] делятся на четыре части , называемых Lilavati , Bījagaṇita , Grahagaṇita иGolādhyāya , ^[5] которые также иногда считаются четырьмя независимыми произведениями. ^[6] Эти четыре раздела посвящены арифметике, алгебре, математике планет и сфер соответственно. Он также написал другой трактат под названием Карана Каутухала. ^[6]

Работа Бхаскара по исчислению предшествует Ньютон и Лейбниц более чем полтысячелетия. ^{[7] [8]} Он особенно известен открытием принципов дифференциального исчисления и его применения к астрономическим задачам и вычислениям. Хотя Ньютону и Лейбницу приписывают дифференциальное и интегральное исчисление, есть веские основания полагать, что Бхаскара был пионером некоторых принципов дифференциального исчисления. Возможно, он был первым, кто придумал дифференциальный коэффициент и дифференциальное исчисление. ^[9]

20 ноября 1981 года Индийская организация космических исследований (ISRO) запустила спутник Bhaskara II в честь математика и астронома. ^[10]

Дата, место и семья [ править ]

Бхаскара указывает дату своего рождения и дату написания своего основного произведения в стихе в арья-метре : ^[6]

раса-гуна-порна-махисама
шака-нрипа самайе 'бхават мамотпаттих /
раса-гуна-варшена майа
сиддханта-широмани раситах //

Это показывает, что он родился в 1036 году в эру Шака (1114 г. н.э. ), и что он составил Сиддханта-Широмани, когда ему было 36 лет. ^[6] Он также написал другой труд, названный Карана-кутухала, когда ему было 69 лет (в 1183 году). ^[6] Его работа показывает влияние Брахмагуптов , Шридхар , Махавир , Падманабх и других предшественников. ^[6]

Он родился в Deśastha Rigvedi брахманской семьи ^[11] вблизи Vijjadavida (считается Bijjaragi из Vijayapur в современной Карнатака ). Говорят, Бхаскара был главой астрономической обсерватории в Удджайне , ведущем математическом центре средневековой Индии. Он жил в районе Сахьядри (Патнадеви, в районе Джалгаон, Махараштра). ^[12]

История свидетельствует о том, что его прапрапрадедушка занимал потомственный пост придворного ученого, как и его сын и другие потомки. Его отец Махешвара ^[12] (Махешваропадхьяя ^[6] ) был математиком, астрономом ^[6] и астрологом, который обучил его математике, которую он позже передал своему сыну Локшамудре. Сын Локшамудры в 1207 году помог открыть школу для изучения писаний Бхаскары. Он умер в 1185 году нашей эры.

Сиддхант-широмань [ править ]

Лилавати [ править ]

Первый раздел Līlāvatī (также известный как pāṭīgaṇita или akagaita ), названный в честь его дочери, состоит из 277 стихов. ^[6] Он охватывает вычисления, прогрессии, измерения , перестановки и другие темы. ^[6]

Биджаганита [ править ]

Второй раздел Bījagaita (Алгебра) состоит из 213 стихов. ^[6] В нем обсуждаются ноль, бесконечность, положительные и отрицательные числа, а также неопределенные уравнения, включая (теперь называемое) уравнение Пелла , решение которого с использованием метода Кунака . ^[6] В частности, он также раскрыл дело, которое столетия спустя ускользнуло от Ферма и его европейских современников. ^[6]${\ displaystyle 61x ^ {2} + 1 = y ^ {2}}$

Грахаганита [ править ]

В третьем разделе Грахагатита , рассматривая движение планет, рассматривал их мгновенные скорости. ^[6] Он пришел к приближению: ^[13] Он состоит из 451 стиха.

${\ Displaystyle \ грех у '- \ грех у \ приблизительно (у'-у) \ соз у}$для близких к , или в современных обозначениях: ^[13]${\ displaystyle y '}$${\ displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\sin y=\cos y}$.

По его словам: ^[13]

бимбардхасйа коṭиджйā гунастриджйахарам пхалам дорджйайорантарам

Этот результат ранее также наблюдал Мунджалачарья (или Манджулачарья) манасам в контексте таблицы синусов. ^[13]

Бхаскара также заявил, что в наивысшей точке мгновенная скорость планеты равна нулю. ^[13]

Математика [ править ]

Некоторые из вкладов Бхаскары в математику включают следующее:

• Доказательство теоремы Пифагора , вычисляя ту же область двумя различными способами , а затем стирают условия , чтобы получить в ²  +  Ь ²  =  гр ² . ^[14]
• В Lilavati объясняются решения неопределенных уравнений квадратной , кубической и четвертой степени . ^[15]
• Решения неопределенных квадратных уравнений (типа ax ² + b = y ² ).
• Целочисленные решения линейных и квадратных неопределенных уравнений ( Kuṭṭaka ). Правила, которые он дает, (по сути) те же, что были даны европейскими математиками эпохи Возрождения 17 века.
• Циклический метод Чакравалы для решения неопределенных уравнений вида ax ² + bx + c = y . Решение этого уравнения традиционно приписывалось Уильяму Браункеру в 1657 году, хотя его метод был сложнее, чем метод чакравалы .
• Первый общий метод нахождения решений задачи x ²  -  ny ² = 1 (так называемое « уравнение Пелла ») был дан Бхаскарой II. ^[16]
• Решения диофантовых уравнений второго порядка, например 61 x ² + 1 = y ² . Это уравнение было поставлено в качестве проблемы в 1657 году французским математиком Пьером де Ферма , но его решение не было известно в Европе до времен Эйлера в 18 веке. ^[15]
• Решил квадратные уравнения с более чем одним неизвестным и нашел отрицательные и иррациональные решения. ^{[ необходима цитата ]}
• Предварительное понятие математического анализа .
• Предварительная концепция исчисления бесконечно малых , а также значительный вклад в интегральное исчисление . ^[17]
• Задумал дифференциальное исчисление , обнаружив приближение производной и дифференциального коэффициента.
• Сформулированная теорема Ролля , частный случай одной из важнейших теорем анализа, теоремы о среднем значении . Следы общей теоремы о среднем также можно найти в его работах.
• Вычислял производные тригонометрических функций и формул. (См. Раздел «Исчисление» ниже.)
• В Сиддханта-Широмани Бхаскара разработал сферическую тригонометрию наряду с рядом других тригонометрических результатов. (См. Раздел «Тригонометрия» ниже.)

Арифметика [ править ]

Арифметический текст Бхаскары « Лилавати» охватывает темы определений, арифметических терминов, вычисления процентов, арифметических и геометрических прогрессий, плоской геометрии , твердой геометрии , тени гномона , методов решения неопределенных уравнений и комбинаций .

Līlāvatī разделена на 13 глав и охватывает многие разделы математики, арифметики, алгебры, геометрии и немного тригонометрии и измерений. В частности, содержание включает:

• Определения.
• Свойства нуля (включая деление и правила работы с нулем).
• Дальнейшая обширная численная работа, включая использование отрицательных чисел и сурдов .
• Оценка π .
• Арифметические члены, методы умножения и возведения в квадрат .
• Обратное правило трех и правила 3, 5, 7, 9 и 11.
• Проблемы, связанные с процентами и расчетом процентов.
• Неопределенные уравнения ( Kuṭṭaka ), целочисленные решения (первого и второго порядка). Его вклад в эту тему особенно важен, ^{[ необходима цитата ],} поскольку правила, которые он дает, (по сути) те же, что и правила, данные европейскими математиками эпохи Возрождения 17 века, но его работы относятся к 12 веку. Метод решения Бхаскары был улучшением методов, обнаруженных в работах Арьябхаты и последующих математиков.

Его работа отличается систематизацией, улучшенными методами и новыми темами, которые он представил. Более того, Лилавати содержала прекрасные проблемы, и считается, что намерение Бхаскары могло заключаться в том, чтобы изучающий «Лилавати» сосредоточился на механическом применении метода. ^{[ необходима цитата ]}

Алгебра [ править ]

Его « Биджаганита» (« Алгебра ») состояла из двенадцати глав. Это был первый текст, который признал, что положительное число имеет два квадратных корня (положительный и отрицательный квадратный корень). ^[18] Его работа Bījaganita фактически представляет собой трактат по алгебре и содержит следующие темы:

• Положительные и отрицательные числа .
• «Неизвестное» (включает определение неизвестных величин).
• Определение неизвестных величин.
• Surds (включает оценку Surds).
• Kuaka (для решения неопределенных и диофантовых уравнений ).
• Простые уравнения (неопределенные второй, третьей и четвертой степени).
• Простые уравнения с более чем одним неизвестным.
• Неопределенные квадратные уравнения (типа ax ² + b = y ² ).
• Решения неопределенных уравнений второй, третьей и четвертой степени.
• Квадратные уравнения.
• Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
• Операции с произведениями нескольких неизвестных.

Бхаскара вывел циклический метод чакравалы для решения неопределенных квадратных уравнений вида ax ² + bx + c = y. ^[18] Метод Бхаскары для нахождения решений задачи Nx ² + 1 = y ² (так называемое « уравнение Пелла ») имеет большое значение. ^[16]

Тригонометрия [ править ]

« Сиддханта Широмани» (написанная в 1150 году) демонстрирует знания Бхаскары о тригонометрии, включая таблицу синусов и взаимосвязи между различными тригонометрическими функциями. Он также разработал сферическую тригонометрию и другие интересные тригонометрические результаты. В частности, Бхаскара казался более заинтересованным в тригонометрии как таковой, чем его предшественники, которые видели в ней только инструмент для расчетов. Среди многих интересных результатов, данных Бхаскарой, результаты, полученные в его работах, включают вычисление синусов углов 18 и 36 градусов, а также хорошо известные теперь формулы для и .${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

Исчисление [ править ]

Его работа « Сиддханта Широмани» представляет собой астрономический трактат и содержит множество теорий, которых не было в более ранних работах. ^{[ необходима цитата ]} Предварительные концепции исчисления бесконечно малых и математического анализа , наряду с рядом результатов по тригонометрии , дифференциальному исчислению и интегральному исчислению, которые можно найти в работе, представляют особый интерес.

Факты свидетельствуют о том, что Бхаскара был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. ^[18] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент исчезает при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ». ^[19]

• Существует свидетельство ранней формы теоремы Ролля в своей работе
  • Если тогда для некоторых с${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$${\displaystyle \ x}$${\displaystyle \ a<x<b}$
• Он дал результат, если то , тем самым найдя производную от синуса, хотя он никогда не развивал понятие производных. ^[20]${\displaystyle x\approx y}$${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$
  • Бхаскара использует этот результат для определения позиционного угла эклиптики - величины, необходимой для точного предсказания времени затмения.
• При вычислении мгновенного движения планеты, интервал времени между последовательными позициями планет не было больше , чем truti , или ¹ / _{тридцать три тысячи семьсот пятьдесят} секунды, и была выражена его мера скорости в этом бесконечно малом единицу времени.
• Он знал, что когда переменная достигает максимального значения, ее дифференциал исчезает.
• Он также показал, что когда планета наиболее удалена от Земли или находится ближе всего к ней, уравнение центра (мера того, насколько далеко планета находится от предполагаемого положения, предполагая, что она должна двигаться равномерно) исчезает. Поэтому он пришел к выводу, что для некоторого промежуточного положения дифференциал уравнения центра равен нулю. ^{[ необходимая цитата ]} В этом результате есть следы общей теоремы о среднем значении , одной из самых важных теорем в анализе, которая сегодня обычно выводится из теоремы Ролля. Теорема о среднем значении была позже найдена Парамешварой в 15 веке в Лилавати Бхашья , комментарии к Лилавати Бхаскары .

Мадхава (1340–1425) и математики Керальской школы (включая Парамешвару) с 14 по 16 века расширили работу Бхаскары и продвинули дальше развитие математического анализа в Индии.

Астрономия [ править ]

Используя астрономическую модель, разработанную Брахмагуптой в 7 веке, Бхаскара точно определил многие астрономические величины, включая, например, длину сидерического года , время, которое требуется Земле для обращения вокруг Солнца, как примерно 365,2588 дней, что составляет то же, что и в Сурьясиддханте. ^{[ необходима цитата ]} Согласно современным принятым измерениям, 365,25636 дней , разница всего 3,5 минуты. ^[21]

Его текст по математической астрономии « Сиддханта Широмани» состоит из двух частей: первая часть посвящена математической астрономии, а вторая - сфере .

Двенадцать глав первой части охватывают такие темы, как:

• Средние долготы этих планет .
• Истинные долготы планет.
• Три проблемы из суточного вращения . (Суточное движение астрономический термин , относящийся к очевидному ежедневное движение звезд вокруг Земли, точнее вокруг двух небесных полюса. Это вызвано вращением Земли вокруг своей оси, так что каждая звезда , по- видимому движется по кругу, который называется дневным кругом.)
• Сизигии .
• Лунные затмения .
• Солнечные затмения .
• Широты планет.
• Уравнение восхода солнца
• Moon «s полумесяц .
• Соединения планет друг с другом.
• Соединения планет с неподвижными звездами .
• Пути Солнца и Луны.

Вторая часть содержит тринадцать глав по сфере. Он охватывает такие темы, как:

• Похвала изучению сферы.
• Природа сферы.
• Космография и география .
• Среднее планетарное движение .
• Эксцентрическая эпициклическая модель планет.
• Армиллярная сфера .
• Сферическая тригонометрия .
• Расчет эллипса . ^{[ необходима цитата ]}
• Первые видимости планет.
• Расчет лунного серпа.
• Астрономические инструменты.
• В сезонах .
• Проблемы астрономических расчетов.

Инженерное дело [ править ]

Самое раннее упоминание о вечном двигателе относится к 1150 году, когда Бхаскара II описал колесо, которое, как он утверждал, будет работать вечно. ^[22]

Бхаскара II использовал измерительное устройство, известное как Яши-янтра . Это устройство могло варьироваться от простой палки до V-образных рейок, предназначенных специально для определения углов с помощью калиброванной шкалы. ^[23]

Легенды [ править ]

В своей книге « Лилавати» он рассуждает: «В этой величине, делителем которой является ноль, нет изменений даже тогда, когда в нее вошли или вышли [из нее] многие количества, точно так же, как во время разрушения и созидания, когда толпы существ входят и выходят из него, в бесконечном и неизменном [Вишну] нет изменений ». ^[24]

"Смотри!" [ редактировать ]

Несколько авторов заявили, что Бхаскара II доказал теорему Пифагора, нарисовав диаграмму и предоставив одно слово «вот!». ^{[25] [26]} Иногда имя Бхаскара опускается, и это называется индуистским доказательством , хорошо известным школьникам. ^[27]

Однако, как указывает историк математики Ким Плофкер, после представления отработанного примера Бхаскара II формулирует теорему Пифагора:

Следовательно, для краткости, квадратный корень из суммы квадратов руки и вертикали является гипотенузой: таким образом это демонстрируется. ^[28]

Далее следуют:

И в противном случае, когда кто-то помещает эти части фигуры там, [просто] видя [этого достаточно]. ^[28]

Плофкер предполагает, что это дополнительное утверждение может быть основным источником широко распространенного «вот!» легенда.

См. Также [ править ]

• Список индийских математиков

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики: Введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Ив, Ховард (1990), Введение в историю математики (6-е изд.), Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029558-4
• Мазур, Джозеф (2005), Евклид в тропическом лесу , Плюм, ISBN 978-0-452-28783-9
• Саркар, Беной Кумар (1918), достижения индуизма в точных науках: исследование по истории развития науки , Лонгманс, Грин и др.
• Сил, сэр Бражендранат (1915), Положительные науки древних индусов , Лонгманов, Грин и др.
• Коулбрук, Генри Т. (1817), Арифметика и измерение Брахмегупты и Бхаскары
• Уайт, Линн Таунсенд (1978), «Тибет, Индия и Малайя как источники западной средневековой технологии», средневековая религия и технологии: сборник эссе , University of California Press, ISBN 978-0-520-03566-9
• Селин, Хелайн , изд. (2008), «Астрономические инструменты в Индии», Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах (2-е издание) , Springer Verlag Ny, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Шукла, Крипа Шанкар (1984), «Использование исчисления в индуистской математике», Индийский журнал истории науки , 19 : 95–104
• Пингри, Дэвид Эдвин (1970), Перепись точных наук на санскрите , том 146, Американское философское общество, ISBN 9780871691460
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», в Каце, Виктор Дж. (Редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Princeton University Press, ISBN 9780691114859
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии , Princeton University Press, ISBN 9780691120676
• Кук, Роджер (1997), «Математика индусов» , История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, стр.  213–215 , ISBN 0-471-18082-3
• Poulose, KG (1991), KG Poulose (ed.), Научное наследие Индии, математика , Том 22 Ravivarma Samskr̥ta granthāvali, Govt. Санскритский колледж (Трипунитура, Индия)
• Чопра, Пран Нат (1982), Религии и общины Индии , Vision Books, ISBN 978-0-85692-081-3
• Goonatilake, Susantha (1999), К глобальной науке: добыча цивилизационных знаний , Indiana University Press, ISBN 978-0-253-21182-8
• Селин, Хелайн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2001), Математика в разных культурах: история незападной математики , Том 2 науки в разных культурах, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
• Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история, Тексты для студентов по математике , Springer, ISBN 978-0-387-95336-6
• Сахни, Мадху (2019), Педагогика математики , Издательство Викас, ISBN 978-9353383275

Дальнейшее чтение [ править ]

• WW Роуз Болл. Краткий очерк истории математики , 4-е издание. Dover Publications, 1960.
• Джордж Гевергезе Джозеф. Герб Павлина: неевропейские корни математики , 2-е издание. Книги Пингвинов , 2000.
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Бхаскара II» , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет. Сент-Эндрюсский университет , 2000 г.
• Ян Пирс. Бхаскарачарья II в архиве MacTutor. Сент-Эндрюсский университет, 2002 г.
• Пингри, Дэвид (1970–1980). «Бхаскара II». Словарь научной биографии . 2 . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. С. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

Внешние ссылки [ править ]

В Wikisource есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Бхаскара II

• Биография MacTutor
• 4to40 Биография
• Исчисление в Керале