Брахмагупта

Брахмагупта ( ок.  598 г. н . Э. - ок.  668 г. н . Э. ) Был индийским математиком и астрономом . Он является автором двух ранних работ по математике и астрономии : Brāhmasphuṭasiddhānta (БСС «правильно установлено учение о Брахмы », датированный 628), теоретический трактат, и Khaṇḍakhādyaka ( «съедобный укусить», датированный 665), более практичным текст.

Брахмагупта был первым, кто дал правила вычисления с нулем . Тексты, составленные Брахмагуптой, были написаны эллиптическими стихами ^{[ необходимо пояснение ]} на санскрите , что было обычной практикой в индийской математике . Поскольку никаких доказательств не приводится, неизвестно, как были получены результаты Брахмагупты. ^[1]

Жизнь и карьера [ править ]

Брахмагупта родился в 598 году н.э., согласно его собственному утверждению. Он жил в Бхилламале в Гурджарадеше ^[2] (современный Бхинмал в Раджастане , Индия) во время правления правителя династии Чавда , Вьяграхамукхи . Он был сыном Джишнугупты и был индуистом по религии, в частности, шиваит . ^[3] Он жил и работал там большую часть своей жизни. Притхудака Свамин , более поздний комментатор, называл его Бхилламалачарья , учителем из Бхилламала. ^[4]

Бхилламала была столицей Гурджарадеши , второго по величине королевства Западной Индии, включающего южный Раджастхан и северный Гуджарат в современной Индии. Это также был центр изучения математики и астрономии. Брахмагупта стал астрономом школы Брахмапакша , одной из четырех основных школ индийской астрономии того периода. Он изучил пять традиционных сиддхартх по индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Арьябхату I , Латадеву, Прадьюмну, Варахамихиру , Симху, Шрисену, Виджаянандина и Вишнучандру. ^[4]

В 628 году, в возрасте 30 лет , он написал « Brāhmasphuṭasiddhānta » (улучшенный трактат Брахмы) , который , как полагают, пересмотренная версия принятого сиддханте в Brahmapaksha школе астрономии. Ученые заявляют, что он включил в свою редакцию много оригинальности, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав со 1008 стихами в метре арья . По большей части это астрономия, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как полагают, содержат новые идеи, сделанные самим Брахмагуптой. ^{[4] [5] [6]}

Позже Brahmagupta переехал в Ujjaini , Avanti , ^[7] , который был также крупным центром астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он написал свою следующую известную работу « Кханда-хадьяка» , практическое руководство по индийской астрономии из категории карана, предназначенное для студентов. ^[7]

Брахмагупта умер в 668 году нашей эры, и предполагается, что он умер в Удджайне.

Противоречие [ править ]

Брахмагупта подверг большой критике работы соперничающих астрономов, и его Брахмаспхутасиддханта показывает один из самых ранних расколов среди индийских математиков. Раздел касался в первую очередь приложения математики к физическому миру, а не самой математики. В случае Брахмагупты разногласия возникли в основном из-за выбора астрономических параметров и теорий. ^[8] Критика соперничающих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава полностью посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах критики нет. ^[8]

Прием [ править ]

Историк науки Джордж Сартон назвал его «одним из величайших ученых своей расы и величайшим ученым своего времени». ^[7] Математические успехи Брахмагупты были продолжены Бхаскарой II , прямым потомком в Удджайне, который описал Брахмагупту как ганака-чакра-чудамани (жемчужина круга математиков). Притхудака Свамин написал комментарии к обеим своим работам, переводя сложные стихи на более простой язык и добавляя иллюстрации. Лалла и Бхаттотпала в VIII и IX веках написали комментарии к Кханда-хадьяке . ^[9]Дальнейшие комментарии продолжали писать в 12 веке. ^[7]

Через несколько десятилетий после смерти Брахмагупты Синд перешел под власть Арабского халифата в 712 году нашей эры. Экспедиции были отправлены в Гурджарадешу (« Аль-Байламан в Джурзе », согласно арабским историкам). Королевство Бхилламала, кажется, было уничтожено, но Удджайн отбил атаки . При дворе халифа Аль-Мансура (754–775) было посольство из Синда, в том числе астролог по имени Канака, который принес (возможно, заучил) астрономические тексты, в том числе тексты Брахмагупты. Тексты Брахмагупты были переведены на арабский язык Мухаммадом аль-Фазари , астрономом при дворе Аль-Мансура под именами Синдхинд иАраханд . Непосредственным результатом стало распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Аль-Хорезми (800–850 гг. Н. Э.) Написал текст под названием al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Сложение и вычитание в индийской арифметике), который был переведен на латынь в 13 веке как Algorithmi de numero indorum . Благодаря этим текстам десятичная система счисления и арифметические алгоритмы Брахмагупты распространились по всему миру. Аль-Хорезми также написал свою собственную версию Синдхинда , опираясь на версию Аль-Фазари и включив элементы Птолемея. Индийский астрономический материал широко распространялся на протяжении веков, даже переходя в средневековые латинские тексты. ^{[10] [11] [12]}

Математика [ править ]

Алгебра [ править ]

Брахмагупта дал решение общего линейного уравнения в восемнадцатой главе Брахмаспхутасиддханты :

Разница между рупами , когда инвертируется и делится на разность [коэффициентов] неизвестных, является неизвестным в уравнении. В rupas являются [вычитают на стороне] ниже, из которых квадрат и неизвестное должны быть вычтены. ^[13]

которое является решением уравнения bx + c = dx + e, где rupas относится к константам c и e . Данное решение эквивалентно x =е - с/б - г. Далее он дал два эквивалентных решения общего квадратного уравнения

18,44. Уменьшите на среднее [число] квадратный корень из руп, умноженный на четыре квадрата и умноженный на квадрат среднего [числа]; остаток разделите на квадрат вдвое. [Результат] среднее [число].
18,45. Независимо от того, что есть квадратный корень из руп, умноженный на квадрат [и] умноженный на квадрат половины неизвестного, уменьшите его на половину неизвестного [и] разделите [остаток] на его квадрат. [Результат] неизвестное. ^[13]

которые являются, соответственно, решениями уравнения ax ² + bx = c, эквивалентными,

${\ displaystyle x = {\ frac {\ pm {\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}}}$

и

${\ displaystyle x = {\ frac {\ pm {\ sqrt {ac + {\ tfrac {b ^ {2}} {4}}}} - {\ tfrac {b} {2}}} {a}}}$

Он продолжил решение систем одновременных неопределенных уравнений, в которых утверждалось, что сначала необходимо изолировать желаемую переменную, а затем разделить уравнение на коэффициент желаемой переменной . В частности, он рекомендовал использовать «пульверизатор» для решения уравнений с множеством неизвестных.

18.51. Вычтите цвета, отличные от первого цвета. [Остаток], деленный на первый [коэффициент цвета], является мерой первого. [Термины] два на два [считаются] [при сведении] к аналогичным делителям [и так далее] повторно. Если [цветов] много, следует использовать измельчитель. ^[13]

Подобно алгебре Диофанта , алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание - помещением точки над вычитаемым, деление - помещением делителя под делимым, аналогично нашим обозначениям, но без полосы. Умножение, эволюция и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов. ^[14] Степень греческого влияния на это синкопирование , если таковое имеется, не известна, и возможно, что и греческое, и индийское синкопирование могут происходить из общего вавилонского источника. ^[14]

Арифметика [ править ]

Четыре основных операции (сложение, вычитание, умножение и деление) были известны во многих культурах до Брахмагупты. Эта нынешняя система основана на индуистской арабской системе счисления и впервые появилась в Брахмаспхутасиддханте. Брахмагупта описывает умножение следующим образом: «Множаемое повторяется, как строка для крупного рогатого скота, столько раз, сколько в множителе есть интегрируемые части, и многократно умножается на них, и произведения складываются вместе. Это умножение. Или множимое повторяется как во много раз больше, чем составных частей в умножителе ». ^{[15] [ необходима страница ]}Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как "Modus Indorum", что означает метод индейцев. В Брахмаспхутасиддханте умножение называлось Гомутрика. В начале двенадцатой главы своей Брахмаспхутасиддханты , озаглавленной « Вычисление» , Брахмагупта подробно описывает операции с дробями. Ожидается, что читатель знает основные арифметические операции, вплоть до извлечения квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень из целого числа, а затем дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила работы с пятью типами комбинаций дробей:а/c + б/c; а/c × б/d; а/1 + б/d; а/c + б/d × а/c знак равно а ( г + б )/CD; иа/c - б/d × а/c знак равно а ( г - б )/CD. ^[16]

Серия [ править ]

Затем Брахмагупта приводит сумму квадратов и кубиков первых n целых чисел.

12.20. Сумма квадратов равна тому, что [сумма], умноженная на два, [количество] шагов [s] увеличивается на единицу [и] делится на три. Сумма кубиков - это квадрат этой [суммы]. Груды из них с одинаковыми шарами [также можно вычислить]. ^[17]

Здесь Брахмагупта нашел результат в терминах суммы первых n целых чисел, а не в терминах n, как это принято в современной практике. ^[18]

Он дает сумму квадратов первых n натуральных чисел какп ( п + 1) (2 п + 1)/6и сумму кубиков первых n натуральных чисел как (п ( п + 1)/2)²
.

Ноль [ править ]

« Брахмаспхунасиддханта» Брахмагупты - первая книга, в которой содержатся правила арифметических операций , применимые к нулю и отрицательным числам . ^[19] Brahmasphutasiddhānta является самым ранним из известного текста лакомства нуля как число в своем собственном праве, а не просто как заполнитель цифра в представлении другого номера , как это было сделано в Вавилоне или как символ отсутствия количества , как это было сделано от Птолемея и римлян . В восемнадцатой главе своей Брахмаспхутасиддханты Брахмагупта описывает операции с отрицательными числами. Сначала он описывает сложение и вычитание,

18.30. [Сумма] двух положительных моментов - положительных, двух отрицательных - отрицательных; положительного и отрицательного [сумма] - это их разница; если они равны, он равен нулю. Сумма отрицательного значения и нуля отрицательна, [сумма] положительного и нулевого положительного, [и сумма] двух нулей равна нулю.

[...]

18.32. Отрицательный минус ноль - отрицательный, положительный [минус ноль] положительный; ноль [минус ноль] равен нулю. Когда положительное должно быть вычтено из отрицательного или отрицательное из положительного, тогда оно должно быть добавлено. ^[13]

Он продолжает описывать умножение,

18,33. Произведение отрицательного и положительного отрицательно, двух отрицательных положительных и положительных положительных; произведение нуля и отрицательного числа, нуля и положительного числа или двух нулей равно нулю. ^[13]

Но его описание деления на ноль отличается от нашего современного понимания:

18,34. Положительное, разделенное на положительное, или отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным; ноль, деленный на ноль, равен нулю; положительное деление на отрицательное - отрицательное; отрицательный разделенный на положительный [также] отрицательный.
18,35. Отрицательное или положительное, деленное на ноль, имеет этот [ноль] в качестве делителя, или ноль, деленный на отрицательное или положительное [имеет этот отрицательный или положительный знак в качестве делителя]. Квадрат отрицательного или положительного положителен; [квадрат] нуля равен нулю. То, что [квадрат] является квадратом, есть [его] квадратный корень. ^[13]

Здесь Брахмагупта заявляет, что 0/0 = 0, а что касается вопроса о а/0где a ≠ 0 он не брал на себя обязательств. ^[20] Его правила арифметического на отрицательных чисел и нуля довольно близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль остается неопределенным .

Диофантов анализ [ править ]

Пифагорейские тройни [ править ]

В двенадцатой главе своей Брахмаспхутасиддханты Брахмагупта приводит формулу, полезную для создания пифагорейских троек :

12,39. Высота горы, умноженная на данный множитель, и есть расстояние до города; не стирается. Когда он делится на множитель, увеличенный на два, это прыжок одного из двух, совершающих то же путешествие. ^[21]

Или, другими словами, если d =mx/х + 2, то путешественник, который "прыгает" вертикально вверх на расстояние d от вершины горы высотой m , а затем едет по прямой к городу на горизонтальном расстоянии mx от основания горы, проходит такое же расстояние, как тот, кто спускается вертикально вниз с горы, а затем идет по горизонтали к городу. ^[21] Говоря геометрически, это говорит о том, что , если прямоугольный треугольник имеет основание длины а = х и высота длины б = т + д , то длина, с , по его гипотенузой задается с = т (1 +х ) - d . И действительно, элементарные алгебраические манипуляции показывают, что a ² + b ² = c ² всякий раз, когда d имеет указанное значение. Кроме того, если m и x рациональны, то также d , a , b и c . Следовательно, тройку Пифагора можно получить из a , b и c , умножив каждую из них на наименьшее общее кратное их знаменателей .

Уравнение Пелла [ править ]

Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений некоторых примеров диофантовых уравнений второй степени, таких как Nx ² + 1 = y ² (так называемое уравнение Пелля ), с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида был известен ему как «измельчитель», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части. ^[22]

Характер квадратов:
18,64. [Вложите] удвоенный квадратный корень из данного квадрата на множитель и увеличьте или уменьшите на произвольное [число]. Произведение первой [пары], умноженное на множитель, на произведение последней [пары] вычисляется последним.
18,65. Сумма произведений молнии - первая. Добавка равна продукту добавок. Два квадратных корня, разделенные на аддитивное или вычитающее, являются аддитивными рупами . ^[13]

Ключом к его решению была личность, ^[23]

${\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}}$

что является обобщением тождества, открытого Диофантом ,

${\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -y_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + y_ {1} y_ {2}) ^ {2} - (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}.}$

Используя его тождество и тот факт, что если ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) являются решениями уравнений x ² - Ny ² = k ₁ и x ² - Ny ² = k ₂ , соответственно, то ( Икс ₁ Икс ₂ + Ny ₁ Y ₂ , Икс ₁ Y ₂ + Икс ₂y ₁ ) является решением x ² - Ny ² = k ₁ k ₂ , он смог найти интегральные решения уравнения Пелля с помощью ряда уравнений вида x ² - Ny ² = k _i . Брахмагупта не смог применить свое решение единообразно для всех возможных значений N , скорее он смог только показать, что если x ² - Ny ² = k имеет целочисленное решение для k = ± 1, ± 2 или ± 4, то х ² -Ny ² = 1 имеет решение. Решение общего уравнения Пелла пришлось бы ждать Бхаскары II в c.  1150 CE . ^[23]

Геометрия [ править ]

Формула Брахмагупты [ править ]

Самый известный результат Брахмагупты в геометрии - это его формула для циклических четырехугольников . Учитывая длины сторон любого вписанного четырехугольника, Брахмагупта дал приблизительную и точную формулу для площади фигуры:

12.21. Примерная площадь равна произведению половин сумм сторон и противоположных сторон треугольника и четырехугольника. Точная [площадь] - это квадратный корень из произведения половин сумм сторон, уменьшенных на [каждую] сторону четырехугольника. ^[17]

Таким образом, учитывая длины p , q , r и s циклического четырехугольника, приблизительная площадь равнап + г/2 · q + s/2а, полагая t =п + д + г + с/2, точная площадь

√ ( t - p ) ( t - q ) ( t - r ) ( t - s ) .

Хотя Брахмагупта прямо не заявляет, что эти четырехугольники циклические, из его правил очевидно, что это так. ^[24] Формула Герона является частным случаем этой формулы, и ее можно получить, установив одну из сторон равной нулю.

Треугольники [ править ]

Брахмагупта посвятил значительную часть своих работ геометрии. Одна теорема дает длины двух отрезков, на которые делится основание треугольника по высоте:

12.22. База уменьшалась и увеличивалась на разность квадратов сторон, разделенных основанием; при делении на два они являются настоящими сегментами. Перпендикуляр [высота] - это квадратный корень из квадрата стороны, уменьшенный на квадрат его сегмента. ^[17]

Таким образом, длины двух сегментов равны 1/2( b ±с ² - а ²/б) .

Далее он дает теорему о рациональных треугольниках . Треугольник с рациональными сторонами a , b , c и рациональной площадью имеет вид:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)}$

для некоторых рациональных чисел u , v и w . ^[25]

Теорема Брахмагупты [ править ]

Брахмагупта продолжает:

12.23. Квадратный корень из суммы двух произведений сторон и противоположных сторон неравного четырехугольника является диагональю. Квадрат диагонали уменьшается на квадрат половины суммы основания и вершины; квадратный корень - это перпендикуляр [высоты]. ^[17]

Итак, в «неравном» циклическом четырехугольнике (то есть равнобедренной трапеции ) длина каждой диагонали равна √ pr + qs .

Он продолжает давать формулы для длин и площадей геометрических фигур, таких как радиус описанной окружности равнобедренной трапеции и разностороннего четырехугольника, а также длины диагоналей разностороннего циклического четырехугольника. Это приводит к знаменитой теореме Брахмагупты ,

12.30–31. Изображая два треугольника внутри [кругового четырехугольника] с неравными сторонами, две диагонали являются двумя основаниями. Их два сегмента представляют собой отдельно верхний и нижний сегменты [образованные] на пересечении диагоналей. Два [нижних сегмента] двух диагоналей - это две стороны треугольника; основание [четырехугольника - основание треугольника]. Его перпендикуляр - это нижняя часть [центрального] перпендикуляра; верхняя часть [центрального] перпендикуляра равна половине суммы [сторон] перпендикуляра, уменьшенной на нижнюю [часть центрального перпендикуляра]. ^[17]

Пи [ править ]

В стихе 40 он дает значения π ,

12.40. Диаметр и квадрат радиуса [каждый], умноженные на 3, представляют собой [соответственно] практическую длину окружности и площадь [круга]. Точные [значения] - это квадратные корни из квадратов этих двух, умноженных на десять. ^[17]

Итак, Брахмагупта использует 3 как «практическое» значение π и как «точное» значение π . Погрешность этого «точного» значения составляет менее 1%.${\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots }$

Размеры и конструкции [ править ]

В некоторых стихах перед стихом 40 Брахмагупта дает построения из различных фигур с произвольными сторонами. Он, по сути, манипулировал прямоугольными треугольниками, создавая равнобедренные треугольники, равнобедренные треугольники, прямоугольники, равнобедренные трапеции, равнобедренные трапеции с тремя равными сторонами и разносторонний циклический четырехугольник.

После определения числа пи он занимается геометрией плоских фигур и твердых тел, например, находит объемы и площади поверхности (или пустые пространства, выкопанные из твердых тел). Он находит объем прямоугольных призм, пирамид и усеченную пирамиду квадратной формы. Далее он находит среднюю глубину ряда ям. Для объема усеченной пирамиды он дает «прагматическое» значение как глубину, умноженную на квадрат среднего значения краев верхней и нижней граней, и он дает «поверхностный» объем как глубину, умноженную на их среднее значение. площадь. ^[26]

Тригонометрия [ править ]

Таблица синусов [ править ]

В главе 2 своей Брахмаспхутасиддханты , озаглавленной « Истинные планетарные долготы» , Брахмагупта представляет таблицу синусов:

2.2–5. Синусы: Прародители, близнецы; Большая Медведица, близнецы, Веды; боги, огни, шесть; ароматизаторы, игральные кости, боги; луна, пять, небо, луна; луна, стрелы, солнца [...] ^[27]

Здесь Брахмагупта использует имена объектов для обозначения цифр в числовых значениях, как это обычно бывает с числовыми данными в санскритских трактатах. Прародители представляют 14 Прародителей («Ману») в индийской космологии или 14, «близнецы» означают 2, «Большая Медведица» представляет семь звезд Большой Медведицы или 7, «Веды» относятся к 4 Ведам или 4, игральные кости представляют собой количество сторон традиционного кубика или 6 и так далее. Эту информацию можно перевести в список синусов, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159. , 3207, 3242, 3263 и 3270 с радиусом 3270. ^[28]

Формула интерполяции [ править ]

В 665 г. Брахмагупта разработал и использовал специальный случай интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга второго порядка для интерполяции новых значений синусоидальной функции из других значений, уже приведенных в таблице. ^[29] Формула дает оценку значения функции f при значении a + xh ее аргумента (с h > 0 и −1 ≤ x ≤ 1 ), когда ее значение уже известно в точках a - h , a и а + ч .

Формула оценки:

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.}$

где Δ - оператор прямой разности первого порядка , т. е.

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$

Астрономия [ править ]

Некоторые из важных вкладов Брахмагупты в астрономию - это его методы расчета положения небесных тел с течением времени ( эфемериды ), их восхода и захода, соединения и расчета солнечных и лунных затмений . ^[30]

В седьмой главе своей Брахмаспхутасиддханты , озаглавленной « Лунный полумесяц» , Брахмагупта опровергает идею о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. ^{[ требуется пояснение ]} Он делает это, объясняя освещение Луны Солнцем. ^[31]

1. Если бы Луна находилась над Солнцем, как можно было бы получить силу возрастания и убывания и т. Д. Из расчета долготы Луны? Ближайшая половина всегда будет яркой.

2. Точно так же, как видимая солнцем половина горшка, стоящего на солнечном свете, яркая, а невидимая половина темная, так же [свечение] луны [если она] находится под солнцем.

3. Яркость увеличивается по направлению к солнцу. В конце светлого [т. Е. Прибывающего] полумесяца ближняя половина становится яркой, а дальняя - темной. Следовательно, высота рогов [полумесяца может быть получена] расчетным путем. [...] ^[32]

Он объясняет, что, поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенной части Луны зависит от относительного положения Солнца и Луны, и это можно вычислить, исходя из размера угла между ними. тела. ^[31]

Дальнейшая работа по изучению долготы планет, суточного вращения, лунных и солнечных затмений, восходов и заходов солнца, полумесяца луны и соединения планет обсуждается в его трактате Хандакхадьяка .

См. Также [ править ]

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи
• Формула Брахмагупты
• Теорема Брахмагупты
• Метод чакравалы
• Список индийских математиков

Цитаты и сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Авари, Бурджор (2013), Исламская цивилизация в Южной Азии: история мусульманской власти и присутствия на индийском субконтиненте , Рутледж, ISBN 978-0-415-58061-8
• Bose, DM; Сен, СН; Суббараяппа, Б.В. (1971), Краткая история науки в Индии , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, стр. 95–97, архивировано с оригинала 8 декабря 2015 г.
• Бхаттачарья, РК (2011), «Брахмагупта: древний индийский математик», в Б.С. Ядав; Ман Мохан (ред.), Древние индийские прыжки в математику , Springer Science & Business Media, стр. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики , John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
• Гупта, Радха Чаран (2008), «Брахмагупта» , в Селине, Хелайне (ред.), Энциклопедия истории науки, технологии и медицины в незападных культурах , Спрингер, стр. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Джозеф, Джордж Г. (2000), Гребень павлина , Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
• О'Лири, Де Лейси (2001) [впервые опубликовано в 1948 году], Как греческая наука перешла к арабам (2-е изд.), Goodword Books, ISBN 8187570245
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии» , Виктор Кац (редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе издание), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
• Хоккей, Томас, изд. (2007), "Brahmagupta", Биографическая энциклопедия астрономов , Springer Science & Business Media, стр. 165, ISBN 978-0387304007

Дальнейшее чтение [ править ]

• Сетуро Икеама (2003). Брахмаспхунасиддханта Брахмагупты с комментариями Притудхаки, критически отредактированный с английским переводом и примечаниями . INSA.
• Дэвид Пингри. Перепись точных наук на санскрите (CESS) . Американское философское общество. A4, стр. 254.
• Шаши С. Шарма. Математика и астрономы Древней Индии . Питамбар Паблишинг. ISBN 9788120914216.
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Брахмагупта" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Брахмагупты .

• Брахма-сфута-сиддханта Брахмагупты под редакцией Рам Сварупа Шарма, Индийский институт астрономических и санскритских исследований, 1966. Введение на английском языке, текст на санскрите, комментарии на санскрите и хинди (PDF)
• Алгебра, с арифметикой и измерениями, из санскрита Брахмегупты и Бхаскары в Интернет-архиве , переведенный Генри Томасом Колбруком . [1]