Элемент объема

В математике , А элемент объема обеспечивает средство для включения в функцию по отношению к объему в различных системах координат , такие как сферические координаты и цилиндрические координаты . Таким образом, элемент объема является выражением формы

${\ displaystyle dV = \ rho (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3}) \, du_ {1} \, du_ {2} \, du_ {3}}$

где - координаты, так что объем любого набора может быть вычислен с помощью${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ operatorname {Volume} (B) = \ int _ {B} \ rho (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3}) \, du_ {1} \, du_ {2} \, du_ {3}.}$

Например, в сферических координатах и т . Д.${\ displaystyle dV = u_ {1} ^ {2} \ sin u_ {2} \, du_ {1} \, du_ {2} \, du_ {3}}$${\ displaystyle \ rho = u_ {1} ^ {2} \ sin u_ {2}}$

Понятие элемента объема не ограничивается тремя измерениями: в двух измерениях он часто известен как элемент площади , и в этой настройке он полезен для вычисления поверхностных интегралов . При изменении координат элемент объема изменяется на абсолютное значение определителя якобиана преобразования координат (по формуле замены переменных ). Этот факт позволяет определять элементы объема как своего рода меру на многообразии . На ориентируемом дифференцируемом многообразии элемент объема обычно возникает из формы объема : дифференциальной формы высшей степени. На неориентируемом коллекторе элемент объема обычно представляет собой абсолютное значение (локально определенной) формы объема: он определяет 1-плотность .

Элемент объема в евклидовом пространстве [ править ]

В евклидовом пространстве элемент объема задается произведением дифференциалов декартовых координат

${\ Displaystyle dV = dx \, dy \, dz.}$

В разных системах координат формы элемент объема изменяется на якобиан (определитель) изменения координаты:${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3}),y=y(u_{1},u_{2},u_{3}),z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$

${\displaystyle dV=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}$

Например, в сферических координатах (математическое соглашение)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$

определитель Якоби

${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$

так что

${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}$

Это можно рассматривать как частный случай того факта, что дифференциальные формы трансформируются посредством отката как${\displaystyle F^{*}}$

${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

Элемент объема линейного подпространства [ править ]

Рассмотрим линейное подпространство в п - мерном евклидовом пространстве R ^п , что натянуто совокупность линейно независимых векторов

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$

Чтобы найти элемент объема подпространства, полезно знать о том , из линейной алгебры , что объем параллелепипеда , натянутого на квадратный корень из определителя из Определитель Грама из :${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$

Любой точке p в подпространстве можно задать такие координаты , что${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}$

${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$

Если в точке p сформировать небольшой параллелепипед со сторонами , то объем этого параллелепипеда равен квадратному корню из определителя матрицы Грамма${\displaystyle du_{i}}$

${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;du_{1}\,du_{2}\,\cdots \,du_{k}.}$

Таким образом, это определяет форму объема в линейном подпространстве.

Объемный элемент коллекторов [ править ]

На ориентированном римановом многообразии размерности n элемент объема является формой объема, равной двойственной по Ходжу функции единичной постоянной :${\displaystyle f(x)=1}$

${\displaystyle \omega =\star 1}$ .

Эквивалентно, элемент объема - это в точности тензор Леви-Чивиты . ^[1] В координатах,${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {|\det g|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

где есть определитель из метрического тензора г , написанного в системе координат.${\displaystyle \det g}$

Элемент площади поверхности [ править ]

Простой пример элемента объема можно изучить, рассмотрев двумерную поверхность, вложенную в n- мерное евклидово пространство . Такой элемент объема иногда называют элементом площади . Рассмотрим подмножество и функцию отображения${\displaystyle U\subset \mathbf {R} ^{2}}$

${\displaystyle \varphi :U\to \mathbf {R} ^{n}}$

таким образом определяя поверхность, встроенную в . В двух измерениях объем - это просто площадь, а элемент объема позволяет определить площадь частей поверхности. Таким образом, элемент объема является выражением формы${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}}$

что позволяет вычислить площадь множества B, лежащего на поверхности, путем вычисления интеграла

${\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}.}$

Здесь мы найдем элемент объема на поверхности, который определяет площадь в обычном понимании. Матрица Якоби отображения является

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$

с индексом i от 1 до n и j от 1 до 2. Евклидова метрика в n -мерном пространстве индуцирует метрику на множестве U с матричными элементами${\displaystyle g=\lambda ^{T}\lambda }$

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$

Определитель метрики задается

${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}$

Для регулярной поверхности этот определитель отличен от нуля; эквивалентно, матрица Якоби имеет ранг 2.

Теперь рассмотрим замену координат на U , заданную диффеоморфизмом

${\displaystyle f\colon U\to U,\,\!}$

так что координаты даны в терминах пути . Матрица Якоби этого преобразования имеет вид${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$

В новых координатах имеем

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$

и поэтому метрика преобразуется как

${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$

где - метрика отката в системе координат v . Определитель${\displaystyle {\tilde {g}}}$

${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}.}$

Учитывая приведенную выше конструкцию, теперь должно быть несложно понять, как элемент объема инвариантен при сохраняющем ориентацию изменении координат.

В двух измерениях объем - это просто площадь. Площадь подмножества задается интегралом${\displaystyle B\subset U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}\;du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;|\det F|\;dv_{1}\;dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}\;dv_{2}.\end{aligned}}}$

Таким образом, в любой системе координат элемент объема принимает одно и то же выражение: выражение элемента объема инвариантно при изменении координат.

Обратите внимание, что в представленной выше презентации не было ничего особенного в отношении двух измерений; сказанное выше тривиально обобщается на произвольные измерения.

Пример: сфера [ править ]

Например, рассмотрим сферу радиуса r с центром в начале координат в R ³ . Это можно параметризовать с помощью сферических координат с картой

${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$

потом

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$

а элемент площади -

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,du_{1}du_{2}.}$

См. Также [ править ]

• Цилиндрическая система координат # Прямые и объемные элементы
• Сферическая система координат # Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах
• Поверхностный интеграл
• Объемный интеграл

Ссылки [ править ]

• Бессе, Артур Л. (1987), многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xii + 510, ISBN 978-3-540-15279-8