Плотность на многообразии

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии , плотность - это пространственно изменяющаяся величина на дифференцируемом многообразии, которая может быть интегрирована внутренним образом. Абстрактно, плотность является раздел определенного линейного расслоения , называется расслоением плотности . Элемент плотностного расслоения в точке x - это функция, которая назначает объем для параллелоэдра, натянутого на n заданных касательных векторов в точке x .

С операционной точки зрения, плотность - это набор функций на координатных диаграммах, которые умножаются на абсолютное значение определителя Якоби при изменении координат. Плотности можно обобщить до s -плотностей , координатные представления которых умножаются на s-ю степень абсолютного значения определителя якобиана. На ориентированном многообразии , 1-плотности могут быть канонической идентифицированы с п -формами на M . На неориентируемых многообразиях такое отождествление невозможно, поскольку расслоение плотности является тензорным произведением ориентационного расслоения многообразия M иn -я внешнее произведение расслоения T ^∗ M (см. псевдотензор ).

Мотивация (плотности в векторных пространствах) [ править ]

В общем, не существует естественное понятие «объема» для параллелоэдра , порожденного векторами v ₁ , ..., V _н в п - мерном векторном пространстве V . Однако, если кто-то хочет определить функцию μ  : V × ... × V → R, которая задает объем для любого такого параллелоэдра, она должна удовлетворять следующим свойствам:

• Если любой из векторов v _k умножить на λ ∈ R , объем следует умножить на | λ |.
• Если к вектору v _j добавить любую линейную комбинацию векторов v ₁ , ..., v _{j −1} , v _{j +1} , ..., v _n , объем должен оставаться неизменным.

Эти условия эквивалентны утверждению, что μ задается трансляционно-инвариантной мерой на V , и их можно перефразировать как

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

Любое такое отображение μ  : V × ... × V → R называется плотностью на векторном пространстве V . Заметим, что если ( v ₁ , ..., v _n ) является любой базой для V , то фиксация μ ( v ₁ , ..., v _n ) полностью зафиксирует μ ; отсюда следует, что множество Vol ( V ) всех плотностей на V образует одномерное векторное пространство. Любая n -форма ω на V определяет плотность | ω| на V пользователем

${\displaystyle |\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.}$

Ориентации в векторном пространстве [ править ]

Множество Or ( V ) всех функций o  : V × ... × V → R , удовлетворяющих

${\displaystyle o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)}$

образует одномерное векторное пространство, а ориентация на V - это один из двух элементов o ∈ Or ( V ) таких, что | o ( v ₁ , ..., v _n ) | = 1 для любых линейно независимых v ₁ , ..., v _n . Любая ненулевая n -форма ω на V определяет ориентацию o ∈ Or ( V ) такую, что

${\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),}$

и наоборот, любой o ∈ Or ( V ) и любая плотность μ ∈ Vol ( V ) определяют n -форму ω на V формулой

${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

В терминах тензорных произведений пространств ,

${\displaystyle \operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.}$

s -плотности в векторном пространстве [ править ]

Ев -densities на V являются функциями х  : V × ... × V → R такое , что

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

Как и плотности, s -плотности образуют одномерное векторное пространство Vol ^s ( V ), и любая n- форма ω на V определяет s- плотность | ω | ^s на V - пользователем

${\displaystyle |\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.}$

Произведение s ₁ - и s ₂ -плотностей μ ₁ и μ ₂ образуют ( s ₁ + s ₂ ) -плотность μ по формуле

${\displaystyle \mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

В терминах тензорных пространств произведений этот факт можно сформулировать как

${\displaystyle \operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).}$

Определение [ править ]

Формально расслоение s- плотности Vol ^s ( M ) дифференцируемого многообразия M получается ассоциированной конструкцией расслоения , сплетающей одномерное групповое представление

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)}$

от общей линейной группы с рамкой пучка из M .

Полученное линейное расслоение называется расслоением s -плотностей и обозначается через

${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).}$

Плотность 1 также называется просто плотностью.

В более общем смысле , связанный пучок конструкция также позволяет плотность быть построена из любого векторного расслоения Е на М .

Более подробно, если ( U _{& alpha} ; , ф _{& alpha} ; ) находится под атласом из координат диаграммы на М , то есть связана с местной тривиализацией из${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}}$

${\displaystyle t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R} }$

подчиненный открытому покрытию U _α такой, что ассоциированный GL (1) -коцикл удовлетворяет

${\displaystyle t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.}$

Интеграция [ править ]

Плотности играют важную роль в теории интегрирования на многообразиях. Действительно, определение плотности мотивировано тем, как мера dx изменяется при изменении координат ( Folland 1999 , Section 11.4, pp. 361-362).

Для 1-плотности ƒ с носителем в координатной карте U _α интеграл определяется как

${\displaystyle \int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu }$

где последний интеграл относится к мере Лебега на R ⁿ . Закон преобразования для 1-плотностей вместе с якобианской заменой переменных обеспечивает совместимость на перекрытиях различных координатных карт, и поэтому интеграл от общей 1-плотности с компактным носителем может быть определен с помощью разбиения аргумента, равного единице . Таким образом, 1-плотности являются обобщением понятия формы объема, которая не обязательно требует, чтобы многообразие было ориентированным или даже ориентируемым. В более общем плане можно разработать общую теорию мер Радона как распределительные разделы использования${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{1}}$Теорема Рисса-Маркова-Какутани о представлении .

Набор 1 / р -densities таким образом, что представляет собой линейное нормированное пространство, завершение называется внутренняя L ^р пространство из М .${\displaystyle |\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty }$${\displaystyle L^{p}(M)}$

Соглашения [ править ]

В некоторых областях, особенно в конформной геометрии , используется другое соглашение о взвешивании: вместо этого с символом связывается набор s -плотностей.

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.}$

С помощью этого соглашения, например, интегрируют n -плотности (а не 1-плотности). Также в этих соглашениях конформная метрика идентифицируется с плотностью тензора веса 2.

Свойства [ править ]

• Двойное векторное расслоение на это .${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{s}}$${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{-s}}$
• Тензорные плотности - это сечения тензорного произведения пучка плотности на тензорный пучок.

Ссылки [ править ]

• Берлайн, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20062-8.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их приложения (второе изд.), ISBN 978-0-471-31716-6, дает краткое обсуждение плотностей в последнем разделе. CS1 maint: discouraged parameter (link) CS1 maint: postscript (link)
• Николаеску, Ливиу И. (1996), Лекции по геометрии многообразий , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1, Руководство по ремонту  1435504
• Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer-Verlag