В математике , А расслоение кадров является главным расслоением F ( E ) , связанное с любым векторным расслоением Е . Слой F ( E ) над точкой x - это множество всех упорядоченных базисов , или фреймов , для E x . Линейная группа естественным образом действует на F ( E ) с помощью замены базиса , давая кадр расслоения структуры основного GL ( K , R ) -расслоение (где K представляет ранг Е ).
Расслоение реперов гладкого многообразия связано с его касательным расслоением . По этой причине его иногда называют связкой касательных реперов .
Определение и конструкция
Пусть E → X вещественное векторное расслоение ранга к над топологическим пространством X . Кадр в точке х ∈ X представляет собой упорядоченный базис для векторного пространства Е х . Эквивалентно фрейм можно рассматривать как линейный изоморфизм
Множество всех кадров на х , обозначается Р х , имеет естественное правое действие со стороны общей линейной группы GL ( K , R ) обратимых к × K матриц: групповой элемент г ∈ GL ( K , R ) действует на раме p через композицию, чтобы дать новый кадр
Это действие GL ( k , R ) на F x является одновременно свободным и транзитивным (это следует из результата стандартной линейной алгебры, что существует единственное обратимое линейное преобразование, переводящее один базис в другой). В качестве топологического пространства, Р х является гомеоморфной к GL ( K , R ) , хотя это не имеет групповую структуру, так как нет «предпочтительного кадра». Пространство F x называется GL ( k , R ) -торсором .
Кадра пучок из Е , обозначим через F ( E ) или F GL ( E ), является объединением непересекающихся из всех Р х :
Каждая точка в F ( E ) - это пара ( x , p ), где x - точка в X, а p - рамка в x . Существует естественная проекция π: F ( E ) → X, переводящая ( x , p ) в x . Группа GL ( k , R ) действует на F ( E ) справа, как указано выше. Очевидно, что это действие является свободным, и орбиты - это просто слои π.
Рама расслоение F ( E ) можно придать естественную топологию и расслоение структуры определяется , что из Е . Пусть ( U я , φ я ) является локальным тривиализация из E . Тогда для каждого x ∈ U i существует линейный изоморфизм φ i , x : E x → R k . Эти данные определяют биекцию
дано
С помощью этих биекций каждому π −1 ( U i ) может быть задана топология U i × GL ( k , R ). Топология на F ( E ) - это финальная топология, коиндуцированная отображениями включения π −1 ( U i ) → F ( E ).
Со всеми приведенными выше данными расслоение фреймов F ( E ) становится главным расслоением над X со структурной группой GL ( k , R ) и локальной тривиализацией ({ U i }, {ψ i }). Можно проверить , что функции перехода от F ( E ) являются такими же , как Е .
Выше всех работ в гладкой категории , а также: если Е является гладким векторным расслоением над гладким многообразием М , то рама расслоение Е можно придать структуру гладкого главного расслоения над M .
Связанные векторные пучки
Векторное расслоение E и его расслоение фреймов F ( E ) являются ассоциированными расслоениями . Одно определяет другое. Расслоение фреймов F ( E ) может быть построено из E, как указано выше, или, более абстрактно, с использованием теоремы построения расслоения . В последнем методе F ( E ) представляет собой расслоение с той же базой, структурной группой, тривиализуемыми окрестностями и функциями перехода, что и E, но с абстрактным слоем GL ( k , R ), где действие структурной группы GL ( k , R ) на слое GL ( k , R ) является слоем левого умножения.
Для любого линейного представления ρ: GL ( k , R ) → GL ( V , F ) существует векторное расслоение
ассоциированный с F ( E ), который задается произведением F ( E ) × V по модулю отношения эквивалентности ( pg , v ) ~ ( p , ρ ( g ) v ) для всех g в GL ( k , R ). Обозначим классы эквивалентности через [ p , v ].
Векторное расслоение Е является естественным изоморфно расслоению F ( E ) × р R к , где ρ представляет собой фундаментальное представление GL ( K , R ) на R к . Изоморфизм задается формулой
где v - вектор в R k, а p : R k → E x - фрейм в x . Легко проверить, что эта карта определена правильно .
Любое векторное расслоение, ассоциированное с E, может быть задано указанной выше конструкцией. Например, двойственное расслоение к E задается формулой F ( E ) × ρ * ( R k ) *, где ρ * - двойственное к фундаментальному представлению. Тензорные пучки из Й могут быть сконструированы таким же образом.
Связка касательных рам
Расслоение касательной кадров (или просто расслоение кадра ) из гладкого многообразия M есть расслоение кадров , связанное с касательным расслоением из М . Связку фреймов M часто обозначают F M или GL ( M ), а не F ( TM ). Если М является п - мерным , то касательное расслоение имеет ранг п , поэтому кадр расслоение M является главным GL ( п , R ) расслоения над M .
Гладкие рамки
Локальные участки из репера пучка М называются гладкими кадры на М . Теорема о поперечном сечении для главных расслоений утверждает, что расслоение реперов тривиально над любым открытым множеством в U в M, допускающим гладкий репер. Для гладкого фрейма s : U → F U тривиализация ψ: F U → U × GL ( n , R ) задается формулой
где p - фрейм в точке x . Отсюда следует, что многообразие параллелизуемо тогда и только тогда, когда расслоение реперов M допускает глобальное сечение.
Поскольку касательное расслоение к M тривиализуемо над координатными окрестностями M, так же и расслоение реперов. Фактически, для любой координатной окрестности U с координатами ( x 1 ,…, x n ) координатные векторные поля
Определим гладкую раму на U . Одним из преимуществ работы со связками кадров является то, что они позволяют работать с кадрами, отличными от кадров координат; можно выбрать раму, адаптированную к поставленной задаче. Иногда это называют методом перемещения кадров .
Форма припоя
Рама расслоение многообразия М представляет собой особый тип основного пучка в том смысле , что его геометрия фундаментально связана с геометрией М . Это отношение может быть выражено с помощью векторной 1-формы на F M, называемой формой припоя (также известной как фундаментальная или тавтологическая 1-форма ). Пусть x - точка многообразия M, а p - шкала в x , так что
является линейным изоморфизмом R n с касательным пространством к M в точке x . Форма припоя F M - это R n -значная 1-форма θ, определяемая формулой
где ξ - касательный вектор к F M в точке ( x , p ), а p −1 : T x M → R n - обратное отображение каркаса, а dπ - дифференциал отображения проекции π: F M → М . Форма припоя горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на векторах, касательных к слоям π, и правая эквивариантна в том смысле, что
где R g - правый сдвиг на g ∈ GL ( n , R ). Форма с этими свойствами, называется основными или тензориальными формами на F M . Такие формы в 1-1 переписки с ТМ -значной 1-формы на М , которые, в свою очередь, в соответствии с 1-1 гладким пучком отображает TM → TM над M . В этом свете θ - это просто карта идентичности на TM .
В качестве соглашения об именах термин «тавтологическая одноформа» обычно зарезервирован для случая, когда форма имеет каноническое определение, как здесь, в то время как «форма припоя» более подходит для тех случаев, когда форма не определена канонически. . Это соглашение здесь не соблюдается.
Пучок ортонормированных кадров
Если векторное расслоение E снабжено метрикой риманова расслоения, то каждый слой E x является не только векторным пространством, но и пространством внутреннего произведения . Тогда можно говорить о множестве всех ортонормированных систем отсчета для E x . Ортонормированный фрейм для E x - это упорядоченный ортонормированный базис для E x или, что то же самое, линейная изометрия
где R k снабжен стандартной евклидовой метрикой . Ортогональная группа О ( к ) свободно и транзитивно действует на множестве всех кадров ортонормирован- через правые композиции. Другими словами, множество всех ортонормированных реперов является правым O ( k ) -торсором .
Ортонормированный репер пучок из Е , обозначается Р О ( Е ), представляет собой набор из всех ортонормреперов в каждой точке х в базовом пространстве X . Он может быть построен способом, полностью аналогичным обычному комплекту кадров. Ортонормированный репер расслоение ранга к риманову векторного расслоение Е → Х является главным О ( K ) -расслоение над Й . Опять же, конструкция работает так же хорошо в гладкой категории.
Если векторное расслоение Е является ориентируемой , то можно определить ориентированный ортонормированный кадр пучок из Е , F обозначается SO ( Е ), в качестве главного SO ( K ) -расслоения всех положительно ориентированных ортонормрепер.
Если M - n -мерное риманово многообразие , то расслоение ортонормированных реперов M , обозначаемое F O M или O ( M ), является ортонормированным расслоением реперов, ассоциированным с касательным расслоением к M (которое по определению снабжено римановой метрикой ). Если М ориентируемы, то одна также имеют ориентированный ортонормированный репер расслоения F SO M .
Для риманова векторного расслоения E расслоение ортонормированных реперов является главным O ( k ) - подрасслоением общего линейного расслоения реперов. Другими словами, карта включения
- отображение главного расслоения . Говорят, что F O ( E ) является редукцией структурной группы F GL ( E ) от GL ( k , R ) до O ( k ).
G -конструкции
Если гладкое многообразие M имеет дополнительную структуру, часто естественно рассматривать подрасслоение полного расслоения шкалы M, которое адаптировано к данной структуре. Например, если М риманова многообразия мы видели выше , что естественно рассматривать ортонормированный репер пучок М . Расслоение ортонормированных реперов - это просто редукция структурной группы F GL ( M ) к ортогональной группе O ( n ).
В общем, если М является гладким п -многообразием и G является подгруппой Ли из GL ( п , Р ) определим G -структуру на M , чтобы быть уменьшение структурной группы из F GL ( M ) к G . В явном виде это главное G -расслоение F G ( M ) над M вместе с G -эквивариантным отображением расслоения
над M .
На этом языке, риманова метрика на М порождает О ( п ) -структуры на М . Ниже приведены некоторые другие примеры.
- Каждое ориентированное многообразие имеет ориентированный кадр пучок , который является лишь GL + ( п , Р ) -структура на М .
- Форма объема на М определяет SL ( п , R ) -структуры на М .
- 2 n -мерное симплектическое многообразие имеет естественную Sp (2 n , R ) -структуру.
- 2 n -мерное комплексное или почти комплексное многообразие имеет естественную GL ( n , C ) -структуру.
Во многих из этих случаев, G -структура на М однозначно определяет соответствующую структуру на М . Например, SL ( п , Р ) -структура на М определяет форму объема на М . Однако в некоторых случаях, например для симплектических и комплексных многообразий, требуется дополнительное условие интегрируемости . Sp (2 n , R ) -структура на M однозначно определяет невырожденную 2-форму на M , но для того, чтобы M была симплектической, эта 2-форма также должна быть замкнутой .
Рекомендации
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (Новое издание), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Коларж, Иван; Мичор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 2 августа 2008 г.
- Штернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) Изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4