Двойное представление

В математике , если G - группа, а ρ - ее линейное представление в векторном пространстве V , то двойственное представление ρ * определяется над двойственным векторным пространством V * следующим образом: ^{[1] [2]}

ρ * ( г ) является транспонированной из р ( г ^-1 ) , то есть, ρ * ( г ) = ρ ( г ^-1 ) ^Т для всех г ∈ G .

Двойственное представление также известно как противоположное представление .

Если g - алгебра Ли, а π - ее представление в векторном пространстве V , то двойственное представление π * определяется над дуальным векторным пространством V * следующим образом: ^[3]

π * ( X ) = −π ( X ) ^T для всех X ∈ g .

Мотивация для этого определения состоит в том, что представление алгебры Ли, связанное с двойственным представлением группы Ли, вычисляется по приведенной выше формуле. Но определение двойственного представления алгебры Ли имеет смысл, даже если оно не происходит из представления группы Ли.

В обоих случаях двойственное представление - это представление в обычном смысле.

Свойства [ править ]

Неприводимость и второй двойственный [ править ]

Если (конечномерное) представление неприводимо, то двойственное представление также неприводимо ^[4], но не обязательно изоморфно исходному представлению. С другой стороны, двойственный к двойственному любому представлению изоморфен исходному представлению.

Унитарные представления [ править ]

Рассмотрим унитарное представление группы и будем работать в ортонормированном базисе. Таким образом, отображается в группу унитарных матриц. Тогда абстрактное транспонирование в определении двойного представления можно отождествить с обычным транспонированием матрицы. Так как сопряженная матрица является комплексно сопряженной транспонированной, транспонированная является сопряженной сопряженной. Таким образом, является комплексно сопряженным к сопряженному обратному к . Но поскольку предполагается, что он унитарный, присоединенный к обратному равен справедливый .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$

Результатом этого обсуждения является то, что при работе с унитарными представлениями в ортонормированном базисе это просто комплексное сопряжение .${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$${\displaystyle \rho (g)}$

Случаи SU (2) и SU (3) [ править ]

В теории представлений SU (2) двойственное к каждому неприводимому представлению оказывается изоморфным представлению. Но для представлений SU (3) двойственное неприводимое представление с меткой является неприводимым представлением с меткой . ^[5] В частности, стандартное трехмерное представление SU (3) (со старшим весом ) не изоморфно его двойственному. В теории кварков в физической литературе стандартное представление и двойственное к нему называются «и» .${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\bar {3}}}$

Два неизоморфных двойственных представления SU (3) со старшими весами (1,2) и (2,1)

Общие полупростые алгебры Ли [ править ]

В более общем смысле, в теории представлений полупростых алгебр Ли (или тесно связанной теории представлений компактных групп Ли ) веса двойственного представления являются отрицательными весами исходного представления. ^[6] (См. Рисунок.) Теперь, для данной алгебры Ли, если должно случиться, что оператор является элементом группы Вейля , тогда веса каждого представления автоматически инвариантны относительно отображения . Для таких алгебр Ли любое неприводимое представление изоморфно своему двойственному. (Это ситуация для SU (2), где группа Вейля${\displaystyle -I}$${\displaystyle \mu \mapsto -\mu }$${\displaystyle \{I,-I\}}$.) Алгебры Ли с этим свойством включают нечетные ортогональные алгебры Ли (тип ) и симплектические алгебры Ли (тип ). ${\displaystyle \operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle C_{n}}$

Если для данной алгебры Ли она не принадлежит группе Вейля, то двойственное к неприводимому представлению в общем случае не будет изоморфно исходному представлению. Чтобы понять, как это работает, отметим, что всегда существует уникальный элемент группы Вейля, отображающий негатив фундаментальной камеры Вейля в фундаментальную камеру Вейля. Тогда, если у нас есть неприводимое представление со старшим весом , будет наименьший вес двойственного представления . Отсюда следует, что наибольший вес двойственного представления будет . ^[7] Поскольку мы предполагаем, что он не принадлежит к группе Вейля, не может быть${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\mu }$${\displaystyle w_{0}\cdot (-\mu )\,}$${\displaystyle -I}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle -I}$, что означает, что карта не тождественна. Конечно, все еще может случиться так, что для некоторых особых вариантов мы могли бы это сделать . Например, присоединенное представление всегда изоморфно своему двойственному.${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =w_{0}\cdot (-\mu )}$

В случае SU (3) (или ее комплексифицированной алгебры Ли ) мы можем выбрать базу, состоящую из двух корней под углом 120 градусов, так что третий положительный корень равен . В этом случае элемент является отражением относительно линии, перпендикулярной к . Тогда карта - это отражение пересекаемой линии . ^[8] Самодуальные репрезентации - это те, которые лежат на сквозной линии . Это представления с метками формы , которые представляют собой представления, весовые диаграммы которых представляют собой правильные шестиугольники.${\displaystyle \operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle (m,m)}$

Мотивация [ править ]

В теории представлений как векторы в V, так и линейные функционалы в V * рассматриваются как векторы-столбцы, так что представление может действовать (путем умножения матриц) слева . Учитывая базис для V и двойственный базис для V * , действие линейного функционала φ на v , φ (v) может быть выражено умножением матриц,

${\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}$,

где верхний индекс T - транспонированная матрица. Последовательность требует

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .}$^[9]

С данным определением,

${\displaystyle \langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \rho (g^{-1})^{T}\varphi ,\rho (g)v\rangle =(\rho (g^{-1})^{T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \varphi ,v\rangle .}$

Для представления алгебры Ли выбирается согласованность с возможным представлением группы. В общем случае, если Π - представление группы Ли, то π, заданное формулой

${\displaystyle \pi (X)={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})|_{t=0}.}$

является представлением своей алгебры Ли. Если Π * двойственна П , то соответствующая ей алгебра Ли представление π * задается

${\displaystyle \pi ^{*}(X)={\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}(e^{tX})|_{t=0}={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{-tX})^{T}|_{t=0}=-\pi (X)^{T}.}$   ^[10]

Пример [ править ]

Рассмотрим группу комплексных чисел с модулем 1. Все неприводимые представления одномерны, как следствие леммы Шура . Неприводимые представления параметризуются целыми числами и задаются явно как${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }].}$

Тогда двойственное представление к является обратным транспонированию этой матрицы по порядку, то есть${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\theta }).}$

Другими словами, двойственное представление есть .${\displaystyle \rho _{n}}$${\displaystyle \rho _{-n}}$

Обобщение [ править ]

Общий кольцевой модуль не допускает двойственного представления. Однако модули алгебр Хопфа это делают.

См. Также [ править ]

• Комплексно-сопряженное представление
• Тензорное произведение представлений
• Формула характера Кириллова

Ссылки [ править ]

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.