В математике любое векторное пространство имеет соответствующее двойственное векторное пространство (или просто двойственное пространство для краткости), состоящее из всех линейных форм на, вместе со структурой векторного пространства точечного сложения и скалярного умножения на константы.
Двойственное пространство, как определено выше, определено для всех векторных пространств, и во избежание двусмысленности его также можно назвать алгебраическим двойственным пространством . При определении для топологического векторного пространства существует подпространство двойственного пространства, соответствующее непрерывным линейным функционалам, называемое непрерывным двойственным пространством .
Двойные векторные пространства находят применение во многих областях математики, использующих векторные пространства, например, в тензорном анализе с конечномерными векторными пространствами. Применительно к векторным пространствам функций (которые обычно бесконечномерны) двойственные пространства используются для описания мер , распределений и гильбертовых пространств . Следовательно, двойственное пространство - важное понятие в функциональном анализе .
Ранние термины для двойственного включают полярный Raum [Hahn 1927], espace contugué , присоединенное пространство [Alaoglu 1940] и транспониртер Raum [Schauder 1930] и [Banach 1932]. Термин « дуальный» появился у Бурбаки в 1938 г. [1]
Алгебраическое двойственное пространство
Учитывая любое векторное пространство над полем , (алгебраическое) двойственное пространство [2] (альтернативно обозначается как[3] или[4] [5] ) [nb 1] определяется как множество всех линейных отображений ( линейные функционалы ). Поскольку линейные отображения являются гомоморфизмами векторных пространств , двойственное пространство можно обозначить. [6] Двойственное пространство сам становится векторным пространством над при оснащении сложением и скалярным умножением, удовлетворяющим:
для всех , , а также .
Элементы алгебраического дуального пространства иногда называемые ковекторы или один-форм .
Спаривание функционала в двойном пространстве и элемент из иногда обозначается скобкой: [7] или. [8] Эта пара определяет невырожденное билинейное отображение [nb 2] называется естественным спариванием .
Конечномерный случай
Если V конечномерно, то V * имеет ту же размерность, V . Имея базис { e 1 , ..., e n } в V , можно построить особый базис в V ∗ , называемый дуальным базисом . Этот двойственный базис представляет собой набор { e 1 , ..., e n } линейных функционалов на V , определяемых соотношением
при любом выборе коэффициентов гр я ∈ F . В частности, если, в свою очередь, позволить каждому из этих коэффициентов равняться единице, а другим - нулю, получаем систему уравнений
где - символ Кронекера . Это свойство называется свойством биортогональности .
Например, если V является R 2 , пусть его базис быть выбран в качестве { е 1 = (1/2, 1/2), е 2 = (0, 1)} . Базисные векторы не ортогональны друг другу. Тогда e 1 и e 2 являются одноформными (функциями, которые отображают вектор в скаляр) такие, что e 1 ( e 1 ) = 1 , e 1 ( e 2 ) = 0 , e 2 ( e 1 ) = 0 , и e 2 ( e 2 ) = 1 . (Примечание: верхний индекс здесь - это индекс, а не показатель степени.) Эта система уравнений может быть выражена с использованием матричной записи как
Решение этого уравнения показывает, что двойственный базис равен { e 1 = (2, 0), e 2 = (−1, 1)} . Поскольку e 1 и e 2 являются функционалами, их можно переписать как e 1 ( x , y ) = 2 x и e 2 ( x , y ) = - x + y . В общем, когда V является R n , если E = ( e 1 , ..., e n ) - это матрица, столбцы которой являются базисными векторами, а Ê = ( e 1 , ..., e n ) - это матрица, столбцы - это двойственные базисные векторы, тогда
где I n - единичная матрица порядка n . Свойство биортогональности этих двух базисных наборов позволяет любую точку x ∈ V представить в виде
даже если базисные векторы не ортогональны друг другу. Строго говоря, приведенное выше утверждение имеет смысл только тогда, когда внутренний продукти соответствующие пары двойственности вводятся, как описано ниже в § Билинейные произведения и двойственные пространства .
В частности, R n можно интерпретировать как пространство столбцов из n действительных чисел , его двойственное пространство обычно записывается как пространство строк из n действительных чисел. Такая строка действует на R n как линейный функционал путем обычного умножения матриц . Это потому, что функционал отображает каждый n -вектор x в действительное число y . Затем, рассматривая этот функционал как матрицу M , а x , y как матрицу размера n × 1 и матрицу 1 × 1 (тривиально действительное число), соответственно, если Mx = y, то по причинам размерности M должно быть 1 Матрица × n ; то есть M должен быть вектор-строкой.
Если V состоит из пространства геометрических векторов на плоскости, то кривые уровня элемента V ∗ образуют семейство параллельных прямых в V , потому что диапазон является одномерным, так что каждая точка в диапазоне является кратным любого ненулевого элемента. Таким образом, элемент V ∗ можно интуитивно представить как конкретное семейство параллельных прямых, покрывающих плоскость. Чтобы вычислить значение функционала на заданном векторе, достаточно определить, на какой из линий лежит этот вектор. Неформально это «подсчитывает», сколько линий пересекает вектор. В более общем смысле, если V - векторное пространство любой размерности, то множества уровня линейного функционала в V ∗ являются параллельными гиперплоскостями в V , и действие линейного функционала на вектор может быть визуализировано в терминах этих гиперплоскостей. [9]
Бесконечномерный случай
Если V не конечномерно, но имеет базис [nb 3] e α, индексированный бесконечным множеством A , то та же конструкция, что и в конечномерном случае, дает линейно независимые элементы e α ( α ∈ A ) двойственного пространства , но они не станут основой.
Например, пространство R ∞ , элементами которого являются те последовательности действительных чисел, которые содержат только конечное число ненулевых элементов, которое имеет базис, индексированный натуральными числами N : для i ∈ N , e i - это последовательность, состоящая из всех нули, кроме i-й позиции, которая равна 1 . Двойственное пространство R ∞ (изоморфно) R N , пространству всех последовательностей действительных чисел: каждая действительная последовательность ( a n ) определяет функцию, в которой элемент ( x n ) из R ∞ отправляется на число
что является конечной суммой, потому что ненулевых x n только конечное число . Размерность из R ∞ счетно бесконечно, в то время как R N не имеет счетный базис.
Это наблюдение обобщается на любое [nb 3] бесконечномерное векторное пространство V над любым полем F : выбор базиса { e α : α ∈ A } отождествляет V с пространством ( F A ) 0 функций f : A → F такое, что что f α = f ( α ) отлична от нуля только для конечного числа α ∈ A , где такая функция f отождествляется с вектором
в V (сумма конечна по предположению о f , и любой v ∈ V может быть записан таким образом по определению базиса).
Двойное пространство V затем может быть идентифицировано с пространством Р А из всех функций от А до F : линейный функционал Т на V однозначно определяется значениями & thetas ; & alpha ; = Т ( е & alpha ; ) она принимает на основе V , и любая функция θ : A → F (с θ ( α ) = θ α ) определяет линейный функционал T на V формулой
Снова сумма конечна, потому что f α отлична от нуля только для конечного числа α .
Множество ( F A ) 0 можно отождествить (по существу по определению) с прямой суммой бесконечного числа копий F (рассматриваемого как 1-мерное векторное пространство над собой), индексированных A , т. Е. Существуют линейные изоморфизмы
С другой стороны, F A (опять же по определению) является прямым произведением бесконечного числа копий F, индексированных A , и поэтому идентификация
является частным случаем общего результата, связывающего прямые суммы (модулей) с прямыми произведениями.
Если базис бесконечен, то алгебраическое двойственное пространство всегда имеет большую размерность (как кардинальное число ), чем исходное векторное пространство. Это контрастирует со случаем непрерывного двойственного пространства, обсуждаемого ниже, которое может быть изоморфным исходному векторному пространству, даже если последнее является бесконечномерным.
Билинейные произведения и двойственные пространства
Если V конечномерно, то V изоморфно V ∗ . Но в общем случае между этими двумя пространствами нет естественного изоморфизма . [10] Любая билинейная форма ⟨·, · на V задает отображение V в двойственное ему пространство с помощью
где правая часть определяется как функционал на V принимает каждый ш ∈ V к ⟨ V , ш ⟩ . Другими словами, билинейная форма определяет линейное отображение
определяется
Если билинейная форма невырождена , то это изоморфизм на подпространство в V ∗ . Если V конечномерно, то это изоморфизм на все V ∗ . Наоборот, любой изоморфизмиз V в подпространство V ∗ (соответственно, все V ∗, если V конечномерно) определяет единственную невырожденную билинейную формуна V пользователем
Таким образом , существует взаимно однозначное соответствие одному между изоморфизмам V на подпространство (соотв., Все) V * и невырожденных билинейных форм на V .
Если векторное пространство V находится над комплексным полем, то иногда более естественно рассматривать полуторалинейные формы вместо билинейных. В этом случае данная полуторалинейная форма ⟨·, · определяет изоморфизм V с комплексно сопряженным двойственным пространством
Сопряженное пространство V ∗ можно отождествить с множеством всех аддитивных комплекснозначных функционалов f : V → C таких, что
Инъекция в дабл-дуал
Существует естественный гомоморфизм из в двойной дуал , определяется для всех . Другими словами, если карта оценки определяется , тогда определяется как карта . Эта картавсегда инъективен ; [nb 3] это изоморфизм тогда и только тогда, когдаконечномерна. [11] Действительно, изоморфизм конечномерного векторного пространства с его двойным двойным является архетипическим примером естественного изоморфизма . Бесконечномерные гильбертовые пространства не являются контрпримером к этому, поскольку они изоморфны своим непрерывным двойным двойникам, а не своим алгебраическим двойным двойникам.
Транспонировать линейную карту
Если f : V → W - линейное отображение , то транспонированная (или двойственная ) f ∗ : W ∗ → V ∗ определяется следующим образом:
для каждого . Результирующий функционал в называется откат от вдоль .
Для всех а также :
где скобка [·, ·] слева является естественным спариванием V с его двойственным пространством, а скобка справа - естественным спариванием W с его двойственным пространством . Это тождество характеризует транспонирование [12] и формально аналогично определению сопряженного .
Назначение f ↦ f ∗ дает инъективное линейное отображение между пространством линейных операторов из V в W и пространством линейных операторов из W ∗ в V ∗ ; этот гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда W конечномерно. Если V = W, то пространство линейных отображений на самом деле является алгеброй относительно композиции отображений , и тогда присвоение является антигомоморфизмом алгебр, что означает, что ( fg ) ∗ = g ∗ f ∗ . Таким образом, на языке теории категорий взятие двойственного векторных пространств и транспонирования линейных отображений является контравариантным функтором из категории векторных пространств над F в себя. Можно отождествить ( f ∗ ) ∗ с f, используя естественную инъекцию в двойное двойственное.
Если линейное отображение f представлено матрицей A относительно двух базисов V и W , то f ∗ будет представлено транспонированной матрицей A T относительно двойственных базисов W ∗ и V ∗ , отсюда и название. В качестве альтернативы, поскольку f представлен как A, действующим слева на векторах-столбцах, f ∗ представлен той же матрицей, действующей справа на векторах-строках. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним произведением на R n , которое идентифицирует пространство векторов-столбцов с двойным пространством векторов-строк.
Факторпространства и аннигиляторы
Пусть S подмножество V . Аннуляторный из S в V * , обозначается здесь S 0 , представляет собой набор линейных функционалов F ∈ V * такие , что [ е , ев ] = 0 для всех s ∈ S . То есть S 0 состоит из всех линейных функционалов f : V → F таких, что ограничение на S обращается в нуль: f | S = 0 . В конечномерных векторных пространствах аннигилятор двойственен (изоморфен) ортогональному дополнению .
Аннигилятор подмножества сам является векторным пространством. Аннулятор нулевого вектора - это все дуальное пространство:, а аннигилятор всего пространства - это просто нулевой ковектор: . Кроме того, назначение аннулятора подмножеству V обращает включения, так что если S ⊆ T ⊆ V , то
Если A и B - два подмножества V, то
и равенство выполняется, если V конечномерно. Если A i - это любое семейство подмножеств V, индексированных i, принадлежащих некоторому набору индексов I , то
В частности, если A и B подпространства в V, то
Если V конечномерно и W - векторное подпространство , то
после отождествления W с его образом во втором сопряженном пространстве при изоморфизме двойной двойственности V ≈ V ∗∗ . В частности, аннулятор образует связность Галуа на решетке подмножеств конечномерного векторного пространства.
Если W является подпространством в V, то фактор-пространство V / W является самостоятельным векторным пространством и, следовательно, имеет двойственное. К первой теореме изоморфизма , функционал F : V → F пропускается через V / W тогда и только тогда , когда W находится в ядре из F . Таким образом, существует изоморфизм
Как частное следствие, если V является прямой суммой двух подпространств A и B , то V ∗ является прямой суммой A 0 и B 0 .
Непрерывное двойное пространство
При работе с топологическими векторными пространствами , в непрерывных линейных функционалах из пространства в основное поле (или же ) особенно важны. Это порождает понятие «непрерывного двойственного пространства» или «топологического двойственного», которое является линейным подпространством алгебраического двойственного пространства., обозначаемый . Для любого конечномерного нормированного векторного пространства или топологического векторного пространства, такого как евклидово n- пространство , непрерывное двойственное и алгебраическое двойственное совпадают. Однако это неверно для любого бесконечномерного нормированного пространства, как показано на примере разрывных линейных отображений . Тем не менее, в теории топологических векторных пространств термины «непрерывное двойственное пространство» и «топологическое двойственное пространство» часто заменяются на «двойственное пространство».
Для топологического векторного пространства его непрерывное сопряженное пространство , [13] или топологическое сопряженное пространство , [14] или просто сопряженное пространство [13] [14] [15] [16] (в смысле теории топологических векторных пространств) определяется как пространство всех непрерывных линейных функционалов .
Характеристики
Если Х представляет собой Хаусдорфова топологическое векторное пространство (ТВС), то непрерывное двойственное пространство X совпадает с непрерывным двойным пространством завершения из X . [1]
Топологии на двойном
Существует стандартная конструкция для введения топологии на непрерывном двойственном топологического векторного пространства . Исправить коллекциюиз ограниченных подмножеств из. Это дает топологию на равномерной сходимости на множествах из или, что то же самое, топология, порожденная полунормами вида
где является линейным непрерывным функционалом на , а также пробегает класс
Это означает, что сеть функционалов стремится к функциональному в если и только если
Обычно (но не обязательно) класс должен удовлетворять следующим условиям:
- Каждая точка из принадлежит к какому-то набору :
- Каждые два набора а также содержатся в некотором наборе :
- замкнут относительно операции умножения на скаляры:
Если эти требования выполнены, то соответствующая топология на хаусдорфова, а множества
формируют его местную базу.
Вот три наиболее важных частных случая.
- Сильная топология на- топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в (так вот можно выбрать как класс всех ограниченных подмножеств в ).
Если является нормированным векторным пространством (например, банаховым пространством или гильбертовым пространством ), то сильная топология на нормировано (фактически, это банахово пространство, если поле скаляров полно), с нормой
- Топология стереотипа на- топология равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (так вот можно выбрать как класс всех вполне ограниченных подмножеств в ).
- Слабая топология на топология равномерной сходимости на конечных подмножествах в (так вот можно выбрать как класс всех конечных подмножеств в ).
Каждый из этих трех вариантов топологии на приводит к варианту свойства рефлексивности для топологических векторных пространств:
- Если наделен сильной топологией , то соответствующее понятие рефлексивности является стандартным: рефлексивные в этом смысле пространства просто называются рефлексивными . [17]
- Если наделен стереотипной дуальной топологией, то соответствующая рефлексивность представлена в теории стереотипных пространств : рефлексивные в этом смысле пространства называются стереотипными .
- Если наделено слабой топологией , то соответствующая рефлексивность представлена в теории двойственных пар : [18] рефлексивные в этом смысле пространства - произвольные (хаусдорфовы) локально выпуклые пространства со слабой топологией. [19]
Примеры
Пусть 1 < p <∞ - действительное число, и рассмотрим банахово пространство ℓ p всех последовательностей a = ( a n ), для которых
Определим число q как 1 / p + 1 / q = 1 . Тогда непрерывный сопряженный л р естественно отождествляются с л д : учитывая элемент , То соответствующий элемент л д представляет собой последовательность где обозначает последовательность, у которой n -й член равен 1, а все остальные равны нулю. Наоборот, для элемента a = ( a n ) ∈ ℓ q соответствующий непрерывный линейный функционална л р определяется
для всех b = ( b n ) ∈ ℓ p (см . неравенство Гёльдера ).
Аналогичным образом, непрерывное сопряженное л 1 естественно отождествляется с л ∞ (пространство ограниченных последовательностей). Кроме того, непрерывные двойственные банаховы пространства c (состоящие из всех сходящихся последовательностей с супремумной нормой ) и c 0 (последовательности, сходящиеся к нулю) естественно отождествляются с ℓ 1 .
По теореме о представлении Рисса непрерывное двойственное гильбертово пространство снова является гильбертовым пространством, которое антиизоморфно исходному пространству. Это дает начало обозначениям, используемым физиками в математической формулировке квантовой механики .
По теореме Рисса – Маркова – Какутани о представлении непрерывное двойственное пространство некоторых непрерывных функций может быть описано с помощью мер.
Транспонировать непрерывную линейную карту
Если T : V → W - непрерывное линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами, то (непрерывное) транспонирование T ′ : W ′ → V ′ определяется той же формулой, что и раньше:
Полученный функционал T ′ ( φ ) принадлежит V ′ . Присвоение T → T ′ создает линейное отображение между пространством непрерывных линейных отображений из V в W и пространством линейных отображений из W ′ в V ′ . Когда T и U - составные непрерывные линейные отображения, то
Когда V и W - нормированные пространства, норма транспонирования в L ( W ′ , V ′ ) равна норме T в L ( V , W ) . Некоторые свойства транспонирования зависят от теоремы Хана – Банаха . Например, ограниченное линейное отображение T имеет плотный диапазон тогда и только тогда, когда транспонированное T ′ инъективно.
Когда T - компактное линейное отображение между двумя банаховыми пространствами V и W , то транспонированное T ′ компактно. Это можно доказать с помощью теоремы Арцела – Асколи .
Когда V - гильбертово пространство, существует антилинейный изоморфизм i V из V на его непрерывное двойственное V ′ . Для любого ограниченного линейного отображения T на V транспонированный и присоединенный операторы связаны соотношением
Когда T является непрерывным линейным отображением между двумя топологическими векторными пространствами V и W , то транспонирование T ′ непрерывно, когда W ′ и V ′ снабжены «совместимыми» топологиями: например, когда для X = V и X = W , как двойственные X ' имеют сильную топологию & beta ; ( X' , X ) равномерной сходимости на ограниченных множествах X , или оба имеют -слабой топологии сг ( Х ' , X ) точечно сходимости на X . Транспонирование T ′ непрерывно от β ( W ′ , W ) к β ( V ′ , V ) или от σ ( W ′ , W ) к σ ( V ′ , V ) .
Аннигиляторы
Предположим, что W - замкнутое линейное подпространство нормированного пространства V , и рассмотрим аннулятор W в V ′ ,
Тогда двойственное к фактору V / W можно отождествить с W ⊥ , а двойственное к W можно отождествить с фактором V ' / W ⊥ . [20] Действительно, пусть P обозначает каноническую сюръекцию из V на фактор V / W ; тогда транспонированный P ′ является изометрическим изоморфизмом из ( V / W ) ′ в V ′ с диапазоном, равным W ⊥ . Если j обозначает отображение инъекции из W в V , то ядро транспонирования j ′ является аннулятором W :
и из теоремы Хана – Банаха следует, что j ′ индуцирует изометрический изоморфизм V ′ / W ⊥ → W ′ .
Другие свойства
Если двойной нормированного пространства V является отделимо , то и пространство V сам по себе. Обратное неверно: например, пространство ℓ 1 сепарабельно, а двойственное к нему ℓ ∞ - нет.
Двойной двойной
По аналогии со случаем двойного алгебраического двойственного оператора всегда существует естественно определенный непрерывный линейный оператор Ψ: V → V ′ ′ из нормированного пространства V в его непрерывное двойное двойственное пространство V ′ ′ , определяемый формулой
Как следствие теоремы Хана-Банаха , это отображение в действительности является изометрией , т.е. | | Ф ( х ) = | | | | х | | для всех х ∈ V . Нормированные пространства, для которых отображение является биекцией , называются рефлексивными .
Когда V является топологическим векторным пространством, то Ψ ( x ) все еще может быть определено той же формулой для любого x ∈ V , однако возникают некоторые трудности. Во-первых, когда V не является локально выпуклым , непрерывное двойственное может быть равно {0}, а отображение Ψ тривиально. Однако, если V является Хаусдорфа и локально выпуклое отображение Ψ инъективна от V алгебраической двойной V ' * из непрерывного двойного, снова , как следствие теоремы Хана-Банаха. [№ 4]
Во-вторых, даже в локально выпуклом контексте несколько естественных топологий векторных пространств могут быть определены на непрерывном двойственном V ′ , так что непрерывный двойной двойственный V ′ ′ не определяется однозначно как множество. Утверждение, что Ψ отображает из V в V ′ ′ , или, другими словами, что Ψ ( x ) непрерывно на V ′ для любого x ∈ V , является разумным минимальным требованием к топологии V ′ , а именно, что отображения вычислений
непрерывна для выбранной топологии на V ′ . Кроме того, все еще существует выбор топологии на V ′ ′ , и от этого выбора зависит непрерывность Ψ. Как следствие, определение рефлексивности в этой структуре более сложно, чем в нормированном случае.
Смотрите также
- Continuous dual space
- Covariance and contravariance of vectors
- Dual module
- Dual norm
- Duality (mathematics)
- Duality (projective geometry)
- Pontryagin duality
- Reciprocal lattice – dual space basis, in crystallography
Заметки
- ^ For used in this way, see An Introduction to Manifolds (Tu 2011, p. 19). This notation is sometimes used when is reserved for some other meaning. For instance, in the above text, is frequently used to denote the codifferential of , so that represents the pullback of the form . Halmos (1974, p. 20) uses to denote the algebraic dual of . However, other authors use for the continuous dual, while reserving for the algebraic dual (Trèves 2006, p. 35).
- ^ In many areas, such as quantum mechanics, ⟨·,·⟩ is reserved for a sesquilinear form defined on V × V.
- ^ a b c Several assertions in this article require the axiom of choice for their justification. The axiom of choice is needed to show that an arbitrary vector space has a basis: in particular it is needed to show that RN has a basis. It is also needed to show that the dual of an infinite-dimensional vector space V is nonzero, and hence that the natural map from V to its double dual is injective.
- ^ If V is locally convex but not Hausdorff, the kernel of Ψ is the smallest closed subspace containing {0}.
Рекомендации
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011, pp. 225-273.
- ^ Katznelson & Katznelson (2008) p. 37, §2.1.3
- ^ Tu (2011) p. 19, §3.1
- ^ Axler (2015) p. 101, §3.94
- ^ Halmos (1974) p. 20, §13
- ^ Tu (2011) p. 19, §3.1
- ^ Halmos (1974) p. 21, §14
- ^ Misner, Thorne & Wheeler 1973
- ^ Misner, Thorne & Wheeler 1973, §2.5
- ^ MacLane & Birkhoff 1999, §VI.4
- ^ Halmos (1974) pp. 25, 28
- ^ Halmos (1974) §44
- ^ a b Robertson & Robertson 1964, II.2
- ^ a b Schaefer 1966, II.4
- ^ Rudin 1973, 3.1
- ^ Bourbaki 2003, II.42
- ^ Schaefer 1966, IV.5.5
- ^ Schaefer 1966, IV.1
- ^ Schaefer 1966, IV.1.2
- ^ Rudin 1991, chapter 4
Библиография
- Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
- Bourbaki, Nicolas (1989). Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
- Bourbaki, Nicolas (2003). Elements of mathematics, Topological vector spaces. Springer-Verlag.
- Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
- Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
- Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-8218-4419-9.
- MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (3rd ed.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-1646-2..
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Rudin, Walter (1973). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 25 (First ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 9780070542259.
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Robertson, A.P.; Robertson, W. (1964). Topological vector spaces. Cambridge University Press.
- Schaefer, Helmut H. (1966). Topological vector spaces. New York: The Macmillan Company.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Внешние ссылки
- Weisstein, Eric W. "Dual space". MathWorld.