Линейная форма

В математике , А линейная форма (также известная как линейный функционал , ^[1] в одной форме , или ковектор ) представляет собой линейное отображение из векторного пространства в его поле из скаляров (часто, что действительные числа или в комплексных числах ) .

Если V - векторное пространство над полем k , то множество всех линейных функционалов от V до k само является векторным пространством над k с поточечным определением сложения и скалярного умножения . Это пространство называется двойственным пространством к V или иногда алгебраическим двойственным пространством , когда также рассматривается топологическое двойственное пространство . Его часто обозначают Hom ( V , k ) , ^[2] или, когда поле понимается ,; ^[3] также используются другие обозначения, такие как${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V '}$, ^{[4] [5]} или ^[2] Когда векторы представлены векторами-столбцами (как это часто бывает, когда базис фиксирован), тогда линейные функционалы представлены как векторы-строки , а их значения на определенных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-строкой слева).${\ Displaystyle V ^ {\ #}}$${\ displaystyle V ^ {\ vee}.}$

Примеры [ править ]

«Функция постоянного нуля», отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен (т.е. его диапазон равен k ).

Линейные функционалы в R ⁿ [ править ]

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве представлены как векторы-столбцы${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Для каждого вектора-строки [ a ₁ ⋯ a _n ] существует линейный функционал f, определяемый формулой

${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n},}$

и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.

Это можно интерпретировать как матричное произведение или скалярное произведение вектора-строки [ a ₁ ⋯ a _n ] и вектора-столбца :${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

(Определенно) Интеграция [ править ]

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , изучении векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

является линейным функционалом из векторного пространства C [ a ,  b ] непрерывных функций на интервале [ a ,  b ] до действительных чисел. Линейность I следует из стандартных фактов об интеграле:

${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$

Оценка [ править ]

Обозначим через P _n векторное пространство действительных полиномиальных функций степени ≤ n, определенных на интервале [ a ,  b ]. Если c ∈ [ a , b ] , то пусть - оценочный функционал${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$

Отображение f  →  f ( c ) линейно, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$

Если x ₀ , ..., x _n являются n + 1 различными точками в [ a , b ] , то оценочные функционалы ev _{x i} , i = 0, 1, ..., n образуют базис двойственного пространства P _n . ( Лакс (1996) доказывает этот последний факт с помощью интерполяции Лагранжа .)

Не пример [ править ]

Функция f, имеющая уравнение прямой f ( x ) = a + rx с a ≠ 0 (например, f ( x ) = 1 + 2 x ), не является линейным функционалом на , поскольку она не является линейной . ^{[nb 1]} Однако он аффинно-линейный . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Визуализация [ править ]

В конечных размерах линейный функционал может быть визуализирован в терминах его наборов уровней , наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях наборы уровней линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях это параллельные гиперплоскости . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда вводится в текстах по общей теории относительности , таких как « Гравитация » Миснера, Торна и Уиллера (1973) .

Приложения [ править ]

Приложение к квадратуре [ править ]

Если x ₀ , ..., x _n являются n + 1 различными точками в [ a , b ] , то линейные функционалы ev _{x i}  : f → f ( x _i ), определенные выше, образуют базис двойственного пространства к P _n , пространство многочленов степени ≤ n . Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на P _n, и поэтому может быть выражена как линейная комбинация этих базовых элементов. В символах есть коэффициенты a ₀ , ..., a _n, для которых

${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$

для всех f ∈ P _n . Это составляет основу теории числовой квадратуры . ^[6]

В квантовой механике [ править ]

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . Механические системы Quantum представлены гильбертовые пространства , которые являются анти - изоморфны их собственных двойственных пространств. Состояние квантово-механической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. Обозначения бюстгальтера .

Распределения [ править ]

В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями, могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах пробных функций .

Двойные векторы и билинейные формы [ править ]

Каждая невырожденная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V → V ^∗  : v ↦ v ^∗ такой, что

${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}$

где билинейная форма на V обозначается ⟨,⟩ (например, в евклидовом пространстве ⟨ V , W ⟩ = v ⋅ ш является скалярное произведение из V и W ).

Обратный изоморфизм - это V ^∗ → V  : v ^∗ ↦ v , где v - единственный элемент V такой, что

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)\quad \forall w\in V.}$

Определено выше , вектор v ^* ∈ V ^* называется быть двойной вектор из V ∈ V .

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты верны по теореме Рисса о представлении . Существует отображение V → V ^∗ в непрерывное сопряженное пространство V ^∗ .

Отношение к базам [ править ]

Основа двойственного пространства [ править ]

Пусть векторное пространство V имеет базис , не обязательно ортогональный . Тогда двойственное пространство V * имеет базис, называемый дуальным базисом, который определяется специальным свойством:${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$

Или, точнее,

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$

где δ - символ Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов не являются показателями, а являются контравариантными индексами.

Линейный функционал, принадлежащий двойственному пространству, может быть выражен как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») u _i , ${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {V}}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$

Тогда применение функционала к базисному вектору e _j дает${\displaystyle {\tilde {u}}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$

из-за линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]=\sum _{i}u_{i}{\delta ^{i}}_{j}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$

Таким образом, каждый компонент линейного функционала может быть извлечен путем применения функционала к соответствующему базисному вектору.

Двойная основа и внутренний продукт [ править ]

Когда пространство V несет внутренний продукт , тогда можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис . В трех измерениях ( n = 3 ) дуальный базис можно записать явно${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$

для я = 1, 2, 3, где ε является символом Леви-Чивита и скалярное произведение (или скалярное произведение ) на V .${\displaystyle \langle ,\rangle }$

В более высоких измерениях это обобщает следующим образом

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$

где - звездный оператор Ходжа .${\displaystyle \star }$

Над кольцом [ править ]

Модули над кольцом - это обобщения векторных пространств, которые снимают ограничение на принадлежность коэффициентов полю . Для модуля M над кольцом R линейная форма на M - это линейное отображение из M в R , причем последнее рассматривается как модуль над собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom _k ( V , k ) , независимо от того, является ли k полем или нет. Это правый модуль , если V - левый модуль.

Существование «достаточного» линейных форм на модуле равносильно проективности . ^[8]

Смена поля [ править ]

Любое векторное пространство X над также является векторным пространством над , наделенным сложной структурой ; то есть существует реальное векторное подпространство, такое что мы можем (формально) записать как -векторные пространства. Каждый -линейный функционал на X является -линейным оператором , но он не является -линейным функционалом на X , потому что его диапазон (а именно ) двумерен над . (И наоборот, линейный функционал имеет слишком малый диапазон, чтобы быть линейным функционалом.) ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ R {\displaystyle \mathbb {R} } ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Тем не менее, каждый -линейного функционал однозначно определяет -линейный функционал на с ограничением . Более удивительно, что этот результат можно обратить: каждый -линейный функционал g на X индуцирует канонически- линейный функционал L _g ∈ X ^# , такой, что действительная часть L _g равна g : define ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Л _г ( х ) = г ( х ) - я г ( IX ) для всех х ∈ Х .

Отображение L _• является -линейным (то есть L _{g + h} = L _g + L _h и L _rg = r L _g для всех и ). Аналогично, обратным сюръекции, определяемой f ↦ Im f, является отображение I ↦ ( x ↦ I ( ix ) + i I ( x )) .${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R^{\#}} }}$${\displaystyle {\text{Hom}}(X,\mathbb {C} )\rightarrow {\text{Hom}}(X,\mathbb {R} )}$

Эта связь была обнаружена Генри Лёвигом в 1934 г. (хотя обычно ее приписывают Ф. Мюррею) ^[9], и ее можно естественным образом обобщить на произвольные конечные расширения поля .

В бесконечных измерениях [ править ]

Ниже все векторные пространства находятся либо над действительными числами, либо над комплексными числами . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если V - топологическое векторное пространство , пространство непрерывных линейных функционалов - непрерывное двойственное - часто просто называют двойственным пространством. Если V - банахово пространство , то также и его (непрерывное) двойственное пространство . Чтобы отличить обычное двойственное пространство от непрерывного двойственного пространства, первое иногда называют алгебраическим двойственным пространством . В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный такой же, как алгебраический двойственный, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный является собственным подпространством алгебраического двойственного.

Линейный функционал f на (не обязательно локально выпуклом ) топологическом векторном пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что | f | ≤ p . ^[10]

Характеристика замкнутых подпространств [ править ]

Непрерывные линейные функционалы обладают хорошими свойствами для анализа : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто, ^[11] и нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство не является полным. . ^[12]

Гиперплоскости и максимальные подпространства [ править ]

Векторное подпространство М в X называется максимальным , если М ⊊ X , но нет векторных подпространств N , удовлетворяющий M ⊊ N ⊊ X . M является максимальным тогда и только тогда, когда оно является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на X (т. Е. M = ker f для некоторого нетривиального линейного функционала f на X ). Гиперплоскость в X представляет собой перевод максимального вектора подпространства. По линейности подмножество H в Xявляется гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал f на X такой, что H = { x ∈ X  : f ( x ) = 1 }. ^[9]

Отношения между несколькими линейными функционалами [ править ]

Любые два линейных функционала с одним и тем же ядром пропорциональны (т. Е. Скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Если f - нетривиальный линейный функционал на X с ядром N , x ∈ X удовлетворяет f ( x ) = 1 , а U - сбалансированное подмножество X , то N ∩ ( x + U ) = ∅ тогда и только тогда, когда | f ( u ) | <1 для всех у ∈ U . ^[12]

Теорема Хана-Банаха [ править ]

Любой (алгебраический) линейный функционал на векторном подпространстве продолжается на все пространство; например, описанные выше оценочные функционалы могут быть расширены до векторного пространства многочленов на всех из . Однако это расширение не всегда может быть выполнено при сохранении непрерывности линейного функционала. Семейство теорем Хана-Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например, ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Равностепенная непрерывность семейств линейных функционалов [ править ]

Пусть X - топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством X ' .

Для любого подмножества H в X ' следующие утверждения эквивалентны: ^[16]

1. Н является эквинепрерывно ;
2. H содержится в поляре некоторой окрестности 0 в X ;
3. (предварительно) полярная из Н есть окрестность 0 в X ;

Если H является равностепенно непрерывным подмножеством X ', то следующие множества также равностепенно непрерывны: слабое * замыкание, уравновешенная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . ^[16] Более того, из теоремы Алаоглу следует, что слабое * замыкание равностепенно непрерывного подмножества X ' является слабо * компактным (и, таким образом, каждое равностепенное непрерывное подмножество слабо * относительно компактно). ^{[17] [16]}

См. Также [ править ]

• Разрывная линейная карта
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Положительный линейный функционал
• Мультилинейная форма  - отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Axler, Sheldon (2015), Linear Algebra Done Right , Undergraduate Texts in Mathematics (3-е изд.), Springer , ISBN 978-3-319-11079-0
• Бишоп, Ричард ; Голдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ многообразий , Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике. 96 (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-97245-5.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261 .
• Халмос, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике (1958, 2-е изд.), Springer , ISBN 0-387-90093-4
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008), A (краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Лакс, Питер (1996), линейная алгебра , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schutz, Bernard (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Springer , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .