Двойная основа

В линейной алгебре , дан векторное пространство V с базисом B из векторов , индексированных в множестве индексов I ( мощность из I представляет размерность V ), то двойной набор из B представляет собой набор B ^* векторы в сопряженном пространстве V ^∗ с тем же множеством индексов I , что B и B ^∗ образуют биортогональную систему . Двойной набор всегда линейно независимно не обязательно охватывает V ^∗ . Если это делает диапазон V ^* , а затем B ^* называется двойным основанием или взаимной основой для базиса B .

Обозначение индексированных векторных наборов как и , будучи биортогональным, означает, что пара элементов должна иметь внутренний продукт, равный 1, если индексы равны, и равному 0 в противном случае. Символически, вычисляя двойственный вектор в V ^∗ на векторе в исходном пространстве V :${\ displaystyle B = \ {v_ {i} \} _ {i \ in I}}$${\ displaystyle B ^ {*} = \ {v ^ {i} \} _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle v ^ {i} \ cdot v_ {j} = \ delta _ {j} ^ {i} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} i = j \\ 0 & {\ text { if}} i \ neq j {\ text {,}} \ end {case}}}$

где - символ Кронекера .${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$

Введение [ править ]

Чтобы выполнять операции с вектором, мы должны иметь простой метод вычисления его компонентов. В декартовой системе отсчета необходимая операция - это скалярное произведение вектора и базового вектора. ^[1] Например,

${\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {1} \ mathbf {i} _ {1} + x ^ {2} \ mathbf {i} _ {2} + x ^ {3} \ mathbf {i} _ {3}}$

где - основания в декартовой системе отсчета. Компоненты можно найти по${\ Displaystyle \ mathbf {я} _ {к}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle x ^ {k} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {i} _ {k}.}$

В не декартовой системе отсчета мы не обязательно имеем e _i · e _j = 0 для всех i ≠ j . Однако всегда можно найти вектор e ⁱ такой, что

${\ displaystyle x ^ {i} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i} \ qquad (i = 1,2,3).}$

Равенство выполняется, когда e ⁱ является двойственным основанием e _i .

В декартовой системе отсчета мы имеем ${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}=\mathbf {e} _{k}=\mathbf {i} _{k}.}$

Существование и уникальность [ править ]

Двойственный набор всегда существует и дает инъекцию из V в V ^∗ , а именно отображение, которое отправляет v _i в v ⁱ . Это говорит о том , в частности, что сопряженное пространство имеет размерность больше или равно , что из V .

Однако двойственное множество бесконечномерного V не покрывает его двойственное пространство V ^∗ . Например, рассмотрим отображение w в V ^∗ из V в лежащие в основе скаляры F, заданные как w ( v _i ) = 1 для всех i . Это отображение явно ненулевое на всех v _i . Если бы w было конечной линейной комбинацией дуальных базисных векторов v ⁱ , скажем, для конечного подмножества K в I , то для любого j, не входящего в K${\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}$, , Что противоречит определению ш . Итак, этот w не лежит в промежутке двойственного множества.${\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}$

Двойник к бесконечномерному пространству имеет большую размерность (это большая бесконечная мощность), чем исходное пространство, и, следовательно, они не могут иметь базис с тем же набором индексации. Однако существует двойственный набор векторов, который определяет подпространство двойственного, изоморфного исходному пространству. Далее, для топологических векторных пространств , А непрерывное сопряженное пространство может быть определенно, в этом случае сопряженный базис может существовать.

Конечномерные векторные пространства [ править ]

В случае конечномерных векторных пространств двойственный набор всегда является дуальным базисом и уникален. Эти базисы обозначаются B = { e ₁ ,…, e _n } и B ^∗ = { e ¹ ,…, e ⁿ } . Если обозначить вычисление ковектора на векторе как пару, условие биортогональности станет:

${\displaystyle \left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.}$

Объединение двойственного базиса с базисом дает отображение из пространства базисов V в пространство базисов V ^∗ , и это тоже изоморфизм. Для топологических полей, таких как действительные числа, пространство двойственных является топологическим пространством , и это дает гомеоморфизм между многообразиями Штифеля баз этих пространств.

Категорная и алгебраическая конструкция двойственного пространства [ править ]

Другой способ представить двойственное пространство векторного пространства ( модуля ) - это ввести его в категориальном смысле. Для этого позвольте быть модулем, определенным над кольцом (то есть является объектом в категории ). Тогда мы определим сопряженное пространство , обозначенное , чтобы быть , модуль , образованный из всех -линейных модуля гомоморфизмов в . Обратите внимание, что мы можем определить дуал к двойственному, называемый двойным двойственным к , записанный как и определяемый как .${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\ast }}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\ast \ast }}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}$

Чтобы формально построить базис для двойственного пространства, мы ограничимся теперь случаем, когда - конечномерный свободный (левый) -модуль, где - кольцо из единицы. Затем мы предполагаем, что набор является базисом для . Отсюда мы определяем дельта-функцию Кронекера над базисом с помощью if и if . Затем набор описывает линейно независимое множество с каждым . Поскольку он конечномерен, базис имеет конечную мощность. Тогда набор является базисом и является свободным (правым) -модулем.${\displaystyle F}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \delta _{xy}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta _{xy}=1}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \delta _{xy}=0}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }$${\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F^{\ast }}$${\displaystyle F^{\ast }}$${\displaystyle R}$

Примеры [ править ]

Например, стандартные базисные векторы R ² ( декартовой плоскости ) равны

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

и стандартные базисные векторы ее двойственного пространства R ² * являются

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}$

В трехмерном евклидовом пространстве для заданного базиса { e ₁ , e ₂ , e ₃ } можно найти биортогональный (дуальный) базис { e ¹ , e ² , e ³ } по формулам ниже:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}$

где ^T обозначает транспонирование и

${\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

- объем параллелепипеда, образованного базисными векторами и${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}$

В общем, дуальный базис базиса в конечномерном векторном пространстве можно легко вычислить следующим образом: имея базис и соответствующий дуальный базис, мы можем построить матрицы${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Тогда определяющее свойство дуального базиса утверждает, что

${\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}$

Следовательно, матрица двойственного базиса может быть вычислена как${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}$

См. Также [ править ]

• Обратная решетка
• Индекс Миллера
• Ось зоны

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лебедев, Леонид П .; Клауд, Майкл Дж .; Еремеев, Виктор А. (2010). Тензорный анализ в приложениях к механике . World Scientific. ISBN 978-981431312-4.CS1 maint: ref=harv (link)
• «В поисках двойной основы» . Обмен стеками . 27 мая 2012 г.