Индекс Миллера

Плоскости с разными индексами Миллера в кубических кристаллах

Примеры направлений

Индексы Миллера образуют в кристаллографии систему обозначений плоскостей в кристаллической решетке (решетке Браве) .

В частности, семейство плоскостей решетки определяется тремя целыми числами h , k и  ℓ , индексами Миллера . Они написаны (hkℓ), и обозначим семейство плоскостей , ортогональных к , где являются основой из обратной решетки векторов (заметим , что плоскость не всегда ортогональны линейной комбинации прямых векторов решетки из - за решетки векторы не должны быть взаимно ортогональные). По соглашению отрицательные целые числа пишутся с чертой, как в 3 для −3. Целые числа обычно записываются в младших числах, т. Е. Их${\ Displaystyle ч \ mathbf {b_ {1}} + к \ mathbf {b_ {2}} + \ ell \ mathbf {b_ {3}}}$${\displaystyle \mathbf {b_{i}} }$${\displaystyle h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}} }$Наибольший общий делитель должен быть 1. Индексы Миллера также используются для обозначения отражений в рентгеновской кристаллографии . В этом случае целые числа не обязательно являются наименьшими, и их можно рассматривать как соответствующие плоскости, разнесенные таким образом, что отражения от соседних плоскостей будут иметь разность фаз ровно на одну длину волны (2π), независимо от того, есть ли атомы на всех эти самолеты или нет.

Есть также несколько связанных обозначений: ^[1]

• обозначение {hkℓ} обозначает множество всех плоскостей, которые эквивалентны (hkℓ) симметрией решетки.

В контексте направлений кристалла (не плоскостей) соответствующие обозначения:

• [hkℓ] с квадратными вместо круглых скобок обозначает направление в базисе векторов прямой решетки вместо обратной решетки; и
• аналогично, обозначение <hkℓ> обозначает множество всех направлений, которые эквивалентны [hkℓ] по симметрии.

Индексы Миллера были введены в 1839 году британским минералогом Уильямом Хэллоусом Миллером , хотя почти идентичная система ( параметры Вейсса ) уже использовалась немецким минералогом Кристианом Самуэлем Вайсом с 1817 года. ^[2] Метод также исторически известен как система Миллера. и индексы как Миллериан, ^[3] хотя сейчас это редко.

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждается.

Определение [ править ]

Примеры определения индексов для плоскости с помощью пересечений с осями; слева (111), справа (221)

Есть два эквивалентных способа определить значение индексов Миллера: ^[1] через точку в обратной решетке или как обратные пересечения вдоль векторов решетки. Оба определения приведены ниже. В любом случае необходимо выбрать три вектора решетки a ₁ , a ₂ и a _3, которые определяют элементарную ячейку (обратите внимание, что обычная элементарная ячейка может быть больше, чем примитивная ячейка решетки Браве , как показано в приведенных ниже примерах. ). С их помощью также определяются три примитивных вектора обратной решетки (обозначаемые b ₁ , b ₂ иб ₃ ).

Тогда, учитывая три индекса Миллера, h, k, ℓ, (hkℓ) обозначает плоскости, ортогональные вектору обратной решетки:

${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$

То есть (hkℓ) просто указывает нормаль к плоскостям в основе векторов примитивной обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль всегда является вектором обратной решетки. Требование наименьших членов означает, что это кратчайший вектор обратной решетки в заданном направлении.

Эквивалентно, (hkℓ) обозначает плоскость , которая перехватывает три точки ₁ / ч , ₂ / к , а ₃ / ℓ , или какое - кратное. То есть индексы Миллера пропорциональны обратным точкам пересечений плоскости, лежащих в основе векторов решетки. Если один из индексов равен нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (точка пересечения находится «на бесконечности»).

Учитывая только (hkℓ) плоскости , пересекающие одну или несколько точки решетки (в плоскости решетки ), перпендикулярное расстояние d между соседними плоскостями решетки связанно с (кратчайшим) вектором обратной решетки ортогонально плоскости по формуле: . ^[1]${\displaystyle d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|}$

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление :

${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$

То есть вместо обратной решетки используется базис прямой решетки. Обратите внимание, что [hkℓ] обычно не нормально к плоскостям (hkℓ), за исключением кубической решетки, как описано ниже.

Случай кубических структур [ править ]

В частном случае простых кубических кристаллов векторы решетки ортогональны и имеют одинаковую длину (обычно обозначаемую a ), как и векторы обратной решетки. Таким образом, в этом общем случае индексы Миллера (hkℓ) и [hkℓ] просто обозначают нормали / направления в декартовых координатах .

Для кубических кристаллов с постоянной решетки a расстояние d между соседними (hkℓ) плоскостями решетки равно (сверху)

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}}$.

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

• Индексы в угловых скобках, такие как «100», обозначают семейство направлений, которые эквивалентны из-за операций симметрии, таких как [100], [010], [001] или отрицательное значение любого из этих направлений.
• Индексы в фигурных скобках или скобках, например {100}, обозначают семейство нормалей плоскости, которые эквивалентны из-за операций симметрии, подобно тому, как угловые скобки обозначают семейство направлений.

Для гранецентрированной кубической и объемноцентрированной кубической решеток векторы примитивной решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера обычно определяются относительно векторов решетки кубической сверхъячейки и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональной и ромбоэдрической структур [ править ]

Индексы Миллера-Браве

С гексагональной и ромбоэдрической решетчатыми системами можно использовать систему Браве-Миллера , которая использует четыре индекса ( h k i ℓ ), которые подчиняются ограничению

ч + к + я = 0.

Здесь h , k и ℓ идентичны соответствующим индексам Миллера, а i - избыточный индекс.

Эта четырехиндексная схема маркировки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, сходство между (110) ≡ (11 2 0) и (120) ≡ (1 1 20) более очевидно, когда показан избыточный индекс.

На рисунке справа плоскость (001) имеет 3-кратную симметрию: она остается неизменной при повороте на 1/3 (2π / 3 рад, 120 °). Направления [100], [010] и [ 1 1 0] действительно похожи. Если S - пересечение плоскости с осью [ 1 1 0], то

я = 1 / S .

Существуют также специальные схемы (например, в литературе по просвечивающей электронной микроскопии ) для индексации векторов гексагональной решетки (а не векторов или плоскостей обратной решетки) с четырьмя индексами. Однако они не работают, подобным образом добавляя избыточный индекс к обычному трехиндексному набору.

Например, вектор обратной решетки (hkℓ), как предложено выше, может быть записан в терминах векторов обратной решетки как . Для гексагональных кристаллов это может быть выражено в терминах базисных векторов прямой решетки a ₁ , a ₂ и a ₃ как${\displaystyle h\mathbf {b_{1}} +k\mathbf {b_{2}} +\ell \mathbf {b_{3}} }$

${\displaystyle h\mathbf {b_{1}} +k\mathbf {b_{2}} +\ell \mathbf {b_{3}} ={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a_{1}} +{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a_{2}} +{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a_{3}} .}$

Следовательно, зонные индексы направления, перпендикулярного плоскости (hkℓ), в подходящей нормированной триплетной форме просто . Однако, когда четыре индекса используются для зоны, перпендикулярной плоскости (hkℓ), в литературе часто используется вместо. ^[4] Таким образом, как вы можете видеть, индексы зоны с четырьмя индексами в квадратных или угловых скобках иногда смешивают один индекс прямой решетки справа с индексами обратной решетки (обычно в круглых или фигурных скобках) слева.${\displaystyle [2h+k,h+2k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$${\displaystyle [h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]}$

И обратите внимание, что для гексагональных межплоскостных расстояний они принимают вид

${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$

Кристаллографические плоскости и направления [ править ]

Кристаллографические направления - это линии, соединяющие узлы ( атомы , ионы или молекулы ) кристалла. Точно так же кристаллографические плоскости - это плоскости, связывающие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости влияют на поведение кристалла:

• оптические свойства : в конденсированных средах свет «перескакивает» от одного атома к другому с рассеянием Рэлея ; скорость света , таким образом , изменяется в зависимости от направлений, будь то атомы находятся близко или далеко; это дает двойное лучепреломление
• адсорбция и реакционная способность : адсорбция и химические реакции могут происходить на атомах или молекулах на поверхности кристаллов, поэтому эти явления чувствительны к плотности узлов;
• поверхностное натяжение : конденсация материала означает, что атомы, ионы или молекулы более стабильны, если они окружены другими подобными частицами; поверхностное натяжение границы раздела, таким образом, изменяется в зависимости от плотности на поверхности
  • Поры и кристаллиты имеют тенденцию иметь прямые границы зерен, следующие за плотными плоскостями.
  • расщепление
• дислокации ( пластическая деформация )
  • ядро дислокации имеет тенденцию растекаться по плотным плоскостям (упругое возмущение «разбавляется»); это уменьшает трение ( сила Пайерлса – Набарро ), скольжение чаще происходит на плотных плоскостях;
  • возмущение, переносимое дислокацией ( вектор Бюргерса ), идет вдоль плотного направления: смещение одного узла в плотном направлении представляет собой меньшее искажение;
  • линия дислокации имеет тенденцию следовать плотному направлению, линия дислокации часто является прямой линией, петля дислокации часто представляет собой многоугольник .

По всем этим причинам важно определить плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы [ править ]

Обычно индексы Миллера по определению всегда являются целыми числами, и это ограничение является физически значимым. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость (abc), где «индексы» Миллера a , b и c (определенные выше) не обязательно являются целыми числами.

Если a , b и c имеют рациональные соотношения, то одно и то же семейство плоскостей может быть записано в терминах целочисленных индексов (hk by) путем соответствующего масштабирования a , b и c : разделить на наибольшее из трех чисел, а затем умножить на наименьший общий знаменатель . Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными соотношениями. Причина, по которой плоскости, в которых компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные отношения, вызывают особый интерес, заключается в том, что это плоскости решетки : они единственные плоскости, пересечения которых с кристаллом являются 2d-периодическими.

С другой стороны, для плоскости (abc), где a , b и c имеют иррациональные отношения, пересечение плоскости с кристаллом не является периодическим. Он образует апериодический узор, известный как квазикристалл . Эта конструкция точно соответствует стандартному методу определения квазикристалла "разрез и проектирование" с использованием плоскости с индексами Миллера иррационального отношения. (Хотя многие квазикристаллы, такие как мозаика Пенроуза , образованы «разрезами» периодических решеток более чем в трех измерениях, включая пересечение более чем одной такой гиперплоскости .)

См. Также [ править ]

• Кристальная структура
• Хрустальная привычка
• Линия Кикучи
• Ось зоны

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с индексом Миллера .

• Интернет-словарь кристаллографии IUCr
• Описание индекса Миллера с диаграммами
• Онлайн-руководство по плоскостям решетки и индексам Миллера .
• MTEX - бесплатный набор инструментов MATLAB для анализа текстур
• http://sourceforge.net/projects/orilib  - Набор процедур для управления вращением / ориентацией, включая специальные инструменты для ориентации кристаллов.