Коллектор Штифеля

В математике , то многообразие Штифель является множество всех ортонормированный к реперы в То есть, это множество упорядоченных ортонормированный к -грамм из векторов в его честь назван швейцарский математик Эдуард Stiefel . Аналогичным образом можно определить комплексное многообразие Штифеля ортонормированных k -фреймов в и кватернионное многообразие Штифеля ортонормированных k -фреймов в . В более общем смысле конструкция применима к любому реальному, сложному или кватернионному внутреннему пространству продукта .${\ Displaystyle V_ {к} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ Displaystyle V_ {к} (\ mathbb {C} ^ {n})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle V_ {к} (\ mathbb {H} ^ {n})}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

В некоторых контекстах некомпактное многообразие Штифеля определяется как множество всех линейно независимых k -фреймов в, или оно гомотопически эквивалентно, поскольку компактное многообразие Штифеля является деформационным ретрактом некомпактного, по Граму – Шмидту . Утверждения о некомпактной форме соответствуют утверждениям для компактной формы, заменяя ортогональную группу (или унитарную, или симплектическую группу) общей линейной группой .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n};}$

Топология [ править ]

Пусть обозначают или . Многообразие Штифеля можно представить как набор матриц размера n × k , записав k- кадр как матрицу из k векторов-столбцов в Условие ортонормированности выражается как A * A =, где A * обозначает сопряженное транспонирование из а и обозначается K × K единичной матрицы . Тогда у нас есть${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} .}$${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle I_{k}}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})=\left\{A\in \mathbb {F} ^{n\times k}:A^{*}A=I_{k}\right\}.}$

Топология на это топология подпространства , унаследованная от С помощью этой топологии является компактным многообразием , размерность которого определяется${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n\times k}.}$${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)\\\dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&=2nk-k^{2}\\\dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&=4nk-k(2k-1)\end{aligned}}}$

Как однородное пространство [ править ]

Каждый из многообразия Штифеля можно рассматривать как однородное пространство для действия в виде классической группы в естественном образе.${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Каждое ортогональное преобразование k- кадра приводит к другому k- кадру, и любые два k- кадра связаны некоторым ортогональным преобразованием. Другими словами, ортогональная группа О ( п ) действует транзитивно на The стабилизатора подгруппы данного кадра подгруппа изоморфна О ( п - к ) , который действует нетривиально на ортогональном дополнении пространства , натянутое на этом кадре.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Точно так же унитарная группа U ( n ) действует транзитивно со стабилизирующей подгруппой U ( n - k ), а симплектическая группа Sp ( n ) действует транзитивно со стабилизирующей подгруппой Sp ( n - k ).${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$

В каждом случае можно рассматривать как однородное пространство:${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong {\mbox{O}}(n)/{\mbox{O}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong {\mbox{U}}(n)/{\mbox{U}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong {\mbox{Sp}}(n)/{\mbox{Sp}}(n-k)\end{aligned}}}$

Когда k = n , соответствующее действие свободно, так что многообразие Штифеля является главным однородным пространством для соответствующей классической группы.${\displaystyle V_{n}(\mathbb {F} ^{n})}$

Когда k строго меньше n, тогда специальная ортогональная группа SO ( n ) также действует транзитивно со стабилизирующей подгруппой, изоморфной SO ( n - k ), так что${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\cong {\mbox{SO}}(n)/{\mbox{SO}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

То же верно и для действия специальной унитарной группы на${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\cong {\mbox{SU}}(n)/{\mbox{SU}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

Таким образом, при k = n  - 1 многообразие Штифеля является главным однородным пространством для соответствующей специальной классической группы.

Единая мера [ править ]

Многообразие Штифеля можно снабдить равномерной мерой , т. Е. Мерой Бореля , инвариантной относительно действия указанных выше групп. Например, который изоморфен единичной окружности на евклидовой плоскости, имеет в качестве своей равномерной меры очевидную равномерную меру ( длину дуги ) на окружности. Это просто , чтобы попробовать эту меру на использовании гауссовых случайных матриц : если случайная матрица с независимыми одинаково распределенными записей в соответствии с стандартным нормальным распределением на и A  =  QR является QR - разложение${\displaystyle V_{1}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{n\times k}}$${\displaystyle \mathbb {F} }$из А , то матрицы, являются независимыми случайными величинами , и Q распределяется в соответствии с равномерной мерой на этот результат является следствием Bartlett разложения теоремы . ^[1]${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times k},R\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n}).}$

Особые случаи [ править ]

1-фрейм в - не что иное, как единичный вектор, поэтому многообразие Штифеля - это просто единичная сфера в Следовательно:${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle V_{1}(\mathbb {F} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}(\mathbb {R} ^{n})&=S^{n-1}\\V_{1}(\mathbb {C} ^{n})&=S^{2n-1}\\V_{1}(\mathbb {H} ^{n})&=S^{4n-1}\end{aligned}}}$

Учитывая 2-фрейм, пусть первый вектор определяет точку в S ^{n −1,} а второй - единичный касательный вектор к сфере в этой точке. Таким образом, многообразие Штифеля можно отождествить с единичным касательным расслоением к S ^{n −1} .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Когда k = n или n - 1, мы видели в предыдущем разделе, что это главное однородное пространство и, следовательно, диффеоморфное соответствующей классической группе:${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {SO} (n)\\V_{n-1}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {SU} (n)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {O} (n)\\V_{n}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {U} (n)\\V_{n}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \mathrm {Sp} (n)\end{aligned}}}$

Функциональность [ править ]

При наличии ортогонального включения между векторными пространствами образ набора из k ортонормированных векторов ортонормирован, поэтому существует индуцированное замкнутое включение многообразий Штифеля, и это функториально . Более тонко, учитывая n- мерное векторное пространство X , конструкция дуального базиса дает биекцию между базами X и базами двойственного пространства, которое является непрерывным, и, таким образом, дает гомеоморфизм верхних многообразий Штифеля. Это также функториально для изоморфизмов векторных пробелы.${\displaystyle X\hookrightarrow Y,}$${\displaystyle V_{k}(X)\hookrightarrow V_{k}(Y),}$${\displaystyle X^{*},}$${\displaystyle V_{n}(X){\stackrel {\sim }{\to }}V_{n}(X^{*}).}$

В качестве основного пакета [ править ]

Есть естественная проекция

${\displaystyle p:V_{k}(\mathbb {F} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

от многообразия Штифеля к грассманиане из K -плоскостей , в который посылает K -реперов на подпространство , натянутое на этом кадре. Волокна по заданной точке Р в этом множестве все ортонормированы к -frames содержится в пространстве P .${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$${\displaystyle G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Эта проекция имеет структуру главного G- расслоения, где G - ассоциированная классическая группа степени k . Возьмем реальный случай для конкретности. Существует естественное правое действие O ( k ), на котором вращается k- кадр в пространстве, которое он охватывает. Это действие бесплатное, но не переходное. Эти орбиты этого действия являются именно ортонормированным к -frames порождающего данные к - мерное подпространство; то есть они являются слоями карты p . Аналогичные аргументы справедливы в комплексном и кватернионном случаях.${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

Тогда у нас есть последовательность основных связок:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\mathrm {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\mathrm {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n})\end{aligned}}}$

В векторных расслоений , связанных с этим главных расслоений с помощью естественного действия G на это только тавтологические расслоения над грассманианов. Другими словами, многообразие Штифеля - это ортогональное, унитарное или симплектическое расслоение реперов, ассоциированное с тавтологическим расслоением на грассманиане.${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}$${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

При предельном переходе эти расслоения становятся универсальными расслоениями для классических групп.${\displaystyle n\to \infty }$

Гомотопия [ править ]

Многообразия Штифеля входят в семейство расслоений :

${\displaystyle V_{k-1}(\mathbb {R} ^{n-1})\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to S^{n-1},}$

таким образом, первая нетривиальная гомотопическая группа пространства имеет размерность n  -  k . Более того, ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \pi _{n-k}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} &n-k{\text{ even or }}k=1\\\mathbb {Z} _{2}&n-k{\text{ odd and }}k>1\end{cases}}}$

Этот результат используется в определении классов Штифеля – Уитни с точки зрения теории препятствий .

См. Также [ править ]

• Множество флагов

Ссылки [ править ]

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-79540-0.
• Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна ((3-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94087-1.
• Джеймс, Иоан Маккензи (1976). Топология многообразий Штифеля . CUP Архив. ISBN 978-0-521-21334-9.
• "Многообразие Штифеля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]