Внутреннее пространство продукта

Геометрическая интерпретация угла между двумя векторами, определенная с помощью внутреннего произведения

Пространства скалярных произведений над любым полем имеют «скалярные произведения», симметричные и линейные по первому аргументу. Пространства эрмитовых произведений ограничены полем комплексных чисел и имеют «эрмитовы произведения», которые сопряженно-симметричны и линейны по первому аргументу. Пространства внутреннего продукта могут быть определены над любым полем, имеющим «внутренние продукты», которые являются линейными по первому аргументу, сопряженно-симметричными и положительно-определенными. В отличие от внутренних произведений, скалярные произведения и эрмитовы произведения не обязательно должны быть положительно определенными.

В математике , внутреннее пространство продукта или Хаусдорфово предгильбертово пространство ^{[1] [2]} представляет собой векторное пространство с бинарной операцией , называемой внутренним продуктом. Эта операция связывает каждую пару векторов в пространстве со скалярной величиной, известной как внутреннее произведение векторов, часто обозначаемой с помощью угловых скобок (как в ). ^[3] Внутренние произведения позволяют строго вводить интуитивно понятные геометрические понятия, такие как длина вектора или угол между двумя векторами. Они также предоставляют средства определения ортогональности${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$между векторами (нулевой внутренний продукт). Внутренние пространства продуктов обобщают евклидовы пространства (в котором скалярное произведение является скалярное произведение , ^[4] также известный как скалярное произведение) для векторных пространств любого (возможно , бесконечного) размерности , и изучаются в функциональном анализе . Внутренние пространства продукта над полем из комплексных чисел , которые иногда называют унитарных пространств . Первое использование концепции векторного пространства со скалярным произведением принадлежит Джузеппе Пеано в 1898 году ^[5].

Внутреннее произведение естественным образом индуцирует ассоциированную норму (| x | и | y | - нормы x и y на рисунке), которая канонически превращает каждое внутреннее пространство продукта в нормированное векторное пространство . Если это нормированное пространство также является банаховым пространством, то пространство скалярного произведения называется гильбертовым пространством . ^[1] Если внутреннее произведение ( H , ·, ·) не является гильбертовым пространством, то его можно «расширить» до гильбертова пространства ( H , ⟨·, · _H ) , называемого пополнением. Явно, это означает , что Н является линейно и изометрический внедренным на плотное векторное подпространство Н и что скалярное произведение ⟨·, ·⟩ _Н на Н является единственным непрерывным продолжением исходного скалярного произведения ⟨·, ·⟩ . ^{[1] [6]}

Определение [ править ]

В этой статье, поле из скаляров обозначается 𝔽 либо поле действительных чисел или поле комплексных чисел .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Формально внутреннее пространство продукта является векторным пространством V над полем 𝔽 вместе с картой

${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: V \ times V \ to \ mathbb {F}}$

называется внутренним произведением, которое удовлетворяет следующим условиям (1), (2) и (3) ^[1] для всех векторов x , y , z ∈ V и всех скаляров a ∈ 𝔽 : ^{[7] [8] [9]}

1. Линейность в первом аргументе: ^{[примечание 1]}

   ${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle ax, y \ rangle & = a \ langle x, y \ rangle \\\ langle x + y, z \ rangle & = \ langle x, z \ rangle + \ langle y , z \ rangle \ end {выравнивается}}}$

   • Если условие (1) выполнено и если оно также антилинейно (также называется сопряженной линейной ) по своему второму аргументу ^{[примечание 2],} то это называется полуторалинейной формой . ^[1]${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$
2. Сопряженная симметрия или эрмитова симметрия : ^{[примечание 3]}

   ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ overline {\ langle y, x \ rangle}}}$

   • Условия (1) и (2) являются определяющими свойствами эрмитовой формы , которая является особым типом полуторалинейной формы. ^[1] Полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда она действительна для всех x . ^[1] В частности, из условия (2) следует ^{[примечание 4],} что это действительное число для всех x .${\ Displaystyle \ langle х, х \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle х, х \ rangle}$
3. Положительная определенность : ^[1]

   ${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle> 0 \ quad {\ text {if}} x \ neq 0 \ quad {\ text {(подразумевается линейность}} \ langle 0,0 \ rangle = 0 {\ text {) }}.}$

Вышеупомянутые три условия являются определяющими свойствами внутреннего продукта, поэтому внутренний продукт иногда (что эквивалентно) определяется как положительно определенная эрмитова форма . Внутреннее произведение может быть эквивалентно определено как положительно определенная полуторалинейная форма. ^{[1] [примечание 5]}

Предполагая, что (1) выполняется, условие (3) будет выполняться тогда и только тогда, когда выполняются оба условия (4) и (5), приведенные ниже: ^{[6] [1]}

4. Положительная полуопределенность или неотрицательная определенность : ^[1]

   ${\ Displaystyle \ langle х, х \ rangle \ geq 0}$

   • Условие (1), (2) и (4) является определяющим свойством положительной полуопределенной эрмитовой формы , что позволяет определить полунорм на V , данный V ↦ √ ⟨ v , v ⟩ . Эта полунорма является нормой тогда и только тогда, когда выполняется условие (5).
5. Разделение точек или определенность :

   ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\quad {\text{ implies }}\quad x=0.}$

Условия с (1) по (5) удовлетворяются каждым внутренним продуктом.

Элементарные свойства [ править ]

Положительная определенность и линейность соответственно гарантируют, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,x\rangle &=0\Rightarrow x=\mathbf {0} \\\langle \mathbf {0} ,x\rangle &=\langle 0x,x\rangle =0\langle x,x\rangle =0\end{aligned}}}$

Сопряженная симметрия означает , что ⟨ х , х ⟩ является реальным для всех х , потому что

${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}\,.}$

Сопряженная симметрия и линейность по первой переменной подразумевают

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,ay\rangle &={\overline {\langle ay,x\rangle }}={\overline {a}}{\overline {\langle y,x\rangle }}={\overline {a}}\langle x,y\rangle \\\langle x,y+z\rangle &={\overline {\langle y+z,x\rangle }}={\overline {\langle y,x\rangle }}+{\overline {\langle z,x\rangle }}=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \,\end{aligned}}}$

то есть сопряженная линейность по второму аргументу. Итак, внутренний продукт - это полуторалинейная форма .

Это важное обобщение известного квадратного разложения следует ниже:

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \,.}$

Эти свойства, составляющие указанную выше линейность по первому и второму аргументу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x+y,z\rangle &=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \,,\\\langle x,y+z\rangle &=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \end{aligned}}}$

иначе известны как аддитивность .

В случае сопряженной симметрия сводится к симметрии, а полуторалинейность сводится к билинейности. Следовательно, скалярное произведение на вещественном векторном пространстве является положительно определенной симметричной билинейной формой . То есть,${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &=\langle y,x\rangle \\\Rightarrow \langle -x,x\rangle &=\langle x,-x\rangle \,,\end{aligned}}}$

и биномиальное расширение становится:

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \,.}$

Альтернативные определения, обозначения и примечания [ править ]

Обычный частный случай внутреннего продукта, скалярного продукта или скалярного произведения , записывается с центрированной точкой.${\displaystyle a\cdot b.}$

Некоторые авторы, особенно в области физики и матричной алгебры , предпочитают определять внутреннее произведение и полуторалинейную форму с линейностью во втором аргументе, а не в первом. Тогда первый аргумент становится сопряженным линейным, а не вторым. В этих дисциплинах, мы должны написать внутренний продукт , как ⟨ у  |  х ⟩ ( Бра и кеты из квантовой механики ), соответственно у ^† х (скалярное произведение в случае конвенции формирования произведения матриц AB , как скалярное произведение рядов А со столбцами B${\displaystyle \langle x,y\rangle }$). Здесь кеты и столбцы отождествляются с векторами V , а бюстгальтеры и строки с линейными функционалами (ковекторами) двойственного пространства V ^∗ , сопряженность которых связана с двойственностью. Этот обратный порядок теперь иногда следует в более абстрактной литературе ^[10] с ⟨ х , у ⟩ сопряженной линейно по й , а не у . Некоторые вместо этого находят золотую середину, распознавая ·, ·⟩ и ⟨· | ·⟩ Как различные обозначения - различающиеся только тем, какой аргумент является линейно сопряженным.

Существуют различные технические причины, по которым необходимо ограничить базовое поле определением и внутри него. Вкратце, базовое поле должно содержать упорядоченное подполе, чтобы неотрицательность имело смысл ^[11], и, следовательно, должно иметь характеристику, равную 0 (поскольку любое упорядоченное поле должно иметь такую ​​характеристику). Это сразу исключает конечные поля. Базовое поле должно иметь дополнительную структуру, такую ​​как выделенный автоморфизм . Как правило, любой квадратично закрыт подпол или будет достаточно для этой цели (например, алгебраических чисел ,${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$конструктивные числа ). Однако в случаях, когда это собственное подполе (т. Е. Ни одно, ни ), даже конечномерные внутренние пространства произведения не могут быть метрически полными. Напротив, все конечномерные внутренние пространства-произведения поверх или такие, которые используются в квантовых вычислениях , автоматически являются метрически полными (и, следовательно, гильбертовыми пространствами ).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

В некоторых случаях необходимо рассматривать неотрицательные полуопределенные полуопределенные формы. Это означает, что требуется только неотрицательное значение. Лечение этих случаев показано ниже.${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

Некоторые примеры [ править ]

Реальные числа [ править ]

Простым примером являются действительные числа со стандартным умножением в качестве внутреннего произведения ^[4]

${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy.}$

Евклидово векторное пространство [ править ]

В более общем смысле, действительное n- пространство с скалярным произведением является внутренним пространством произведения ^[4] , примером евклидова векторного пространства .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$

где х ^Т является транспонированной из х .

Комплексное координатное пространство [ править ]

Общая форма внутреннего продукта на известна как эрмитова форма и задается${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$

где М является любая эрмитова положительно определенная матрица и у ^† является сопряженной транспозицией от у . В реальном случае это соответствует скалярному произведению результатов масштабирования двух векторов, различающихся по направлениям , с положительными масштабными коэффициентами и ортогональными направлениями масштабирования. Это взвешенная версия скалярного произведения с положительными весами с точностью до ортогонального преобразования.

Гильбертово пространство [ править ]

В статье о гильбертовых пространствах есть несколько примеров пространств внутреннего продукта, в которых метрика, индуцированная внутренним продуктом, дает полное метрическое пространство. Примером внутреннего пространства продукта, которое индуцирует неполную метрику, является пространство непрерывных комплекснозначных функций и на интервале Внутреннее произведение${\displaystyle C([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b].}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$

Это пространство не завершено; рассмотрим, например, для интервала [−1, 1] последовательность непрерывных «ступенчатых» функций {  f _k } _k , определяемую следующим образом:

${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$

Эта последовательность является последовательностью Коши для нормы, индуцированной предыдущим скалярным произведением, которая не сходится к непрерывной функции.

Случайные переменные [ править ]

Для вещественных случайных величин X и Y , с ожидаемым значением их продукта

${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\operatorname {E} (XY)}$

это внутренний продукт. ^{[12] [13] [14]} В этом случае ⟨ Х , Х ⟩ = 0 тогда и только тогда , когда Pr ( Х = 0) = 1 (то есть, Х = 0 почти наверное ). Это определение ожидания как внутреннего продукта также может быть распространено на случайные векторы .

Реальные матрицы [ править ]

Для реальных квадратных матриц одного и того же размера, ⟨ A , B ⟩ ≝ тр ( АВ ^Т ) с транспонированной как конъюгации

${\displaystyle \left(\langle A,B\rangle =\left\langle B^{\textsf {T}},A^{\textsf {T}}\right\rangle \right)}$

это внутренний продукт.

Векторные пространства с формами [ править ]

На внутреннем пространстве продукта или, в более общем смысле, векторном пространстве с невырожденной формой (отсюда изоморфизм V → V ^∗ ), векторы могут быть отправлены в ковекторы (в координатах, через транспонирование), так что можно взять внутренний продукт и внешний произведение двух векторов, а не просто вектора и ковектора.

Норма [ править ]

Пространства внутреннего продукта - это нормированные векторные пространства для нормы, определенной в ^[4].

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Что касается любого нормированного векторного пространства, внутреннее пространство продукта является метрическим пространством для расстояния, определяемого формулой

${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$

Аксиомы внутреннего продукта гарантируют, что приведенная выше карта образует норму, которая будет иметь следующие свойства.

Однородность

Для вектора x из V и скаляра r

${\displaystyle \|rx\|=|r|\,\|x\|.}$

Неравенство треугольника

Для векторов и из V${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

Эти два свойства показывают, что у человека действительно есть норма.

Неравенство Коши – Шварца.

Для x , y элементов V

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$

равенство тогда и только тогда , когда х и у являются линейно зависимыми . В российской математической литературе это неравенство также известно как неравенство Коши – Буняковского или неравенство Коши – Буняковского – Шварца .

Поляризационная идентичность

Внутренний продукт может быть извлечен из нормы с помощью поляризационной идентичности.

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ,}$

который является формой закона косинусов .

Ортогональность

Два вектора ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю.
В случае евклидовых векторных пространств , которые являются пространствами скалярных произведений конечной размерности над вещественными числами, скалярное произведение позволяет определять (неориентированный) угол двух ненулевых векторов как

${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$

и

${\displaystyle 0\leq \angle (x,y)\leq \pi .}$

теорема Пифагора

Всякий раз , когда х , у в V и ⟨ х , у ⟩ = 0 , то

${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$

Доказательство идентичности требует только выражения определения нормы в терминах внутреннего продукта и умножения с использованием свойства аддитивности каждого компонента. Название теорема Пифагора происходит от геометрической интерпретации в евклидовой геометрии .

Личность Парсеваля

Индукция по пифагорейской урожайности теоремы: если х ₁ , ..., х _п являются ортогональными векторами, то есть, ⟨ х _J , х _к ⟩ = 0 для различных индексов J , к , то

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$

Закон параллелограмма

Для x , y элементов V ,

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$

Фактически, закон параллелограмма является необходимым и достаточным условием существования скалярного продукта, соответствующего данной норме.

Неравенство Птолемея

Для x , y , z элементов V ,

${\displaystyle \|x-y\|\|z\|+\|y-z\|\|x\|\geq \|x-z\|\|y\|.}$

Неравенство Птолемея фактически является необходимым и достаточным условием существования внутреннего продукта, соответствующего данной норме. Подробно Исаак Якоб Шенберг доказал в 1952 году, что для любого реального полунормированного пространства, если его полунорма птолемеична, то полунорма является нормой, ассоциированной со скалярным произведением. ^[15]

Реальные и сложные части внутренних продуктов [ править ]

Предположим, что это скалярный продукт на V (поэтому он антилинейен по второму аргументу). В идентичности поляризации показывает , что действительная часть внутреннего продукта является${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$

Если это вещественное векторное пространство , то и мнимая часть (также называемая сложная часть ) из всегда 0 .${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

В оставшейся части этого раздела предполагаем, что V - комплексное векторное пространство. Идентичность поляризации для комплексных векторных пространств показывают , что

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

Отображение, определенное с помощью for all, удовлетворяет аксиомам внутреннего продукта, за исключением того, что оно антилинейно по своему первому , а не второму аргументу. Реальная часть обоих и равна, но внутренние продукты различаются своей сложной частью:${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

Последнее равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал через его действительную часть.

Реальные и сложные внутренние продукты

Позвольте обозначать рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами, а не комплексными числами. Действительная часть комплексного внутреннего продукта является карта , которая обязательно формирует реальный внутренний продукт на реальном векторном пространстве Каждый внутренний продукт в реальном векторном пространстве симметричны и билинейной .${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

Например, если с внутренним продуктом , где есть векторное пространство над полем , то есть векторное пространство над и является скалярным произведением , где идентифицируются с точкой (и аналогично для ). Кроме того , он был вместо этого определенно как симметричной карты (а не обычная антисимметричной карта ) , то его действительная часть будет не быть скалярным произведением.${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$

Следующие примеры показывают, что, хотя реальные и сложные внутренние продукты имеют много общих свойств и результатов, они не полностью взаимозаменяемы. Например, если то , но следующий пример показывает , что обратное, вообще говоря, не верно. Для любого вектора (который является вектором, повернутым на 90 °) принадлежит и, следовательно, также принадлежит (хотя скалярное умножение на i не определено в, по-прежнему верно, что вектор, обозначенный как, является элементом ). Для сложного внутреннего продукта значение всегда равно${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle V}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Если есть внутренний продукт, упомянутый выше, то карта, определенная как, является ненулевой линейной картой (линейной для обоих и ), которая обозначает поворот на 90 ° в плоскости. Эта карта удовлетворяет всем векторам, у которых если бы этот внутренний продукт был комплексным, а не действительным, этого было бы достаточно, чтобы сделать вывод, что эта линейная карта является тождественной (т. Е. Той ), а вращение определенно не является. Напротив, для всех ненулевых отображение удовлетворяет${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle Ax=ix}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle x\in V_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A=0}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2}\neq 0.}$

Ортонормированные последовательности [ править ]

Пусть V - конечномерное внутреннее пространство продукта размерности n . Напомним , что каждый базис из V состоит ровно п линейно независимых векторов. Используя процесс Грама – Шмидта, мы можем начать с произвольного базиса и преобразовать его в ортонормированный базис. То есть в базис, в котором все элементы ортогональны и имеют единичную норму. В символах, базис { е ₁ , ..., е _п } ортонормальна , если ⟨ е _я , е _J ⟩ = 0 для любого I ≠ J и⟨ Е _я , е _я ⟩ = || e _i || = 1 для каждого i .

Это определение ортонормированного базиса обобщается на случай бесконечномерных пространств скалярного произведения следующим образом. Пусть V - любое внутреннее пространство продукта. Тогда сборник

${\displaystyle E=\left\{e_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$

является базисом для V, если подпространство V, порожденное конечными линейными комбинациями элементов E , плотно в V (в норме, индуцированной скалярным произведением). Мы говорим, что E является ортонормированным базисом для V, если он является базисом и

${\displaystyle \left\langle e_{\alpha },e_{\beta }\right\rangle =0}$

если & alpha ; ≠ & beta ; и ⟨ е _{& alpha} ; , е _{& alpha} ; ⟩ = || e _α || = 1 для всех & alpha ; , & beta ; ∈ .

Используя бесконечномерный аналог процесса Грама-Шмидта, можно показать:

Теорема. Любое отделимое внутреннее пространство произведения V имеет ортонормированный базис.

Используя принцип максимума Хаусдорфа и тот факт, что в пространстве полного внутреннего произведения ортогональная проекция на линейные подпространства корректно определена, можно также показать, что

Теорема. Любое полное внутреннее пространство продукта V имеет ортонормированный базис.

Две предыдущие теоремы поднимают вопрос о том, все ли пространства внутреннего произведения имеют ортонормированный базис. Ответ, оказывается, отрицательный. Это нетривиальный результат, и он будет доказан ниже. Следующее доказательство взято из книги Халмоса по проблемам гильбертова пространства (см. Ссылки). ^{[ необходима цитата ]}

Доказательство

Напомним, что размерность внутреннего продукта - это мощность максимальной ортонормированной системы, которую оно содержит (по лемме Цорна оно содержит по крайней мере одну, а любые две имеют одинаковую мощность). Ортонормированный базис, безусловно, является максимальной ортонормированной системой, но, как мы увидим, обратное не обязательно. Заметим , что если G является плотным подпространством скалярное произведение пространства Н , то любой ортонормированный базис G автоматически ортонормированный базис H . Таким образом, достаточно построить скалярное произведение пространства Н с плотной подпространстве G , размерность которого строго меньше , чем у Н . Пусть K - гильбертово пространство размерности ℵ 0 (например, K = l 2 ( N ) ). Пусть E - ортонормированный базис K , поэтому | E | = ℵ 0 . Продолжим E до базиса Гамеля E ∪ F для K , где E ∩ F = ∅ . Так как известно , что размерность Хамель из K является гр, мощность континуума, должно быть, что | F | = с . Пусть L - гильбертово пространство размерности c (например, L = l 2 (ℝ) ). Пусть B - ортонормированный базис для L , и пусть φ  : F → B - биекция. Тогда существует линейное преобразование Т  : K → L такое , что Tf = φ (  F  ) для F ∈ F , и Te = 0 для е ∈ E . Пусть H = K ⊕ L и пусть G = {( к , Тк ): K ∈ K )} является графиком Т . Пусть Ḡ - замыкание G в H ; мы покажем г = Н . Так как для любого е ∈ E мы ( е , 0 ) ∈ G , то отсюда следует , что K ⊕ 0 ⊂ G . Далее, если b ∈ B , то b = Tf для некоторого f ∈ F ⊂ K , поэтому (  f , b ) ∈ G ⊂ Ḡ ; поскольку также (  f , 0) ∈ Ḡ , то также имеем ( 0 , b ) ∈ Ḡ . Отсюда следует , что 0 ⊕ L ⊂ G , так что G = H , и G плотно в H . Наконец, {( e , 0): e ∈ E } - максимальное ортонормированное множество в G ; если ${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$ для всех е ∈ Е , то , конечно , K = 0 , так что ( к , Тк ) = (0, 0) является нулевой вектор в G . Следовательно, размерность G равна | E | = ℵ 0 , тогда как ясно, что размерность H равна c . Это завершает доказательство.

Тождество Парсеваля немедленно приводит к следующей теореме:

Теорема. Пусть V сепарабельное пространство скалярного произведения и { е _к } _K ортогонального базиса  V . Тогда карта

${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$

является изометрическим линейным отображением V → l ² с плотным образом.

Эту теорему можно рассматривать как абстрактную форму ряда Фурье , в котором произвольный ортонормированный базис играет роль последовательности тригонометрических полиномов . Обратите внимание, что базовым набором индексов может быть любой счетный набор (и на самом деле любой набор вообще, при условии, что l ² определено соответствующим образом, как объясняется в статье Гильбертово пространство ). В частности, мы получаем следующий результат в теории рядов Фурье:

Теорема. Пусть V - пространство скалярного произведения C [−π, π] . Тогда последовательность (индексированная на множестве всех целых чисел) непрерывных функций

${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$

ортонормированный базис пространства С [-я, π] с L ² внутреннего продукта. Отображение

${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

является изометрической линейной картой с плотным изображением.

Ортогональность последовательности { e _k } _k немедленно следует из того, что если k ≠ j , то

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$

Нормальность последовательности задана намеренно, то есть коэффициенты выбираются таким образом, чтобы норма равнялась 1. Наконец, тот факт, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку в норме внутреннего произведения , следует из того факта, что последовательность имеет плотную алгебраическую оболочку, на этот раз в пространстве непрерывных периодических функций на [−π, π] с равномерной нормой. В этом состоит содержание теоремы Вейерштрасса о равномерной плотности тригонометрических полиномов.

Операторы внутренних пространств продукта [ править ]

Актуальны несколько типов линейных отображений A из внутреннего пространства продукта V во внутреннее пространство продукта W :

• Непрерывные линейные отображения , т. Е. A линейно и непрерывно относительно метрики, определенной выше, или, что то же самое, A является линейным и множеством неотрицательных действительных чисел {|| Ax ||} , где x пробегает замкнутый единичный шар V , ограничен.
• Симметричные линейные операторы, то есть, является линейным и ⟨ Ах , у ⟩ = ⟨ х , Ay ⟩ для всех х , у в V .
• Изометрии, т.е. является линейным и ⟨ Ах , Ау ⟩ = ⟨ х , у ⟩ для всех х , у в V , или , что эквивалентно, является линейным и || Топор || = || х || для всех х в V . Все изометрии инъективны . Изометрии - это морфизмы между внутренними пространствами продукта, а морфизмы реальных пространств внутреннего продукта - это ортогональные преобразования (сравните с ортогональной матрицей ).
• Изометрические изоморфизмы, т. Е. A - изометрия, которая сюръективна (и, следовательно, биективна ). Изометрические изоморфизмы также известны как унитарные операторы (сравните с унитарной матрицей ).

С точки зрения теории пространств внутреннего продукта, нет необходимости различать два пространства, которые изометрически изоморфны. Спектральная теорема дает канонический вид симметричных, унитарных и в более общем плане нормальных операторов на конечномерных пространствах внутренних продуктов. Обобщение спектральной теоремы справедливо для непрерывных нормальных операторов в гильбертовых пространствах.

Обобщения [ править ]

Любая из аксиом внутреннего продукта может быть ослаблена, что приведет к обобщению понятий. Обобщения, наиболее близкие к внутренним произведениям, возникают там, где сохраняются билинейность и сопряженная симметрия, но ослабляется положительная определенность.

Вырожденные внутренние продукты [ править ]

Если V - векторное пространство, а ⟨·, · - полуопределенная полуторалинейная форма, то функция:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

имеет смысл и удовлетворяет всем свойствам нормы, за исключением того, что || х || = 0 не влечет x = 0 (такой функционал тогда называется полунормой ). Мы можем создать внутреннее пространство продукта, рассматривая частное W = V / { x  : || х || = 0 }. Полуторалинейная форма ⟨·, ·⟩ факторы через W .

Эта конструкция используется во многих контекстах. Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала - особенно важный пример использования этой техники. Другой пример - представление полуопределенных ядер на произвольных множествах.

Невырожденные сопряженные симметричные формы [ править ]

В качестве альтернативы, один может потребовать, чтобы спаривание быть невырожденная форма , а это означает , что для всех ненулевых х существует некоторое у таких , что ⟨ х , у ⟩ ≠ 0 , хотя у не равно нужно х ; другими словами, индуцированное отображение в сопряженное пространство V → V ^∗ инъективно. Это обобщение важно в дифференциальной геометрии : многообразие, касательные пространства которого имеют внутреннее произведение, является римановым многообразием , а если это связано с невырожденной сопряженной симметрической формой, то многообразие является псевдоримановым многообразием.. По закону инерции Сильвестра , точно так же, как каждый внутренний продукт подобен скалярному произведению с положительными весами на множестве векторов, каждая невырожденная сопряженная симметричная форма подобна скалярному произведению с ненулевыми весами на множестве векторов, а количество положительный и отрицательный веса называются соответственно положительным индексом и отрицательным индексом. Произведение векторов в пространстве Минковского является примером неопределенного внутреннего продукта, хотя, технически говоря, это не внутренний продукт в соответствии со стандартным определением, приведенным выше. Пространство Минковского имеет четыре размеры и индексы 3 и 1 (присвоение «+» и «-» на них различается в зависимости от соглашений ).

Чисто алгебраические утверждения (те, которые не используют положительность) обычно полагаются только на невырожденность (инъективный гомоморфизм V → V ^∗ ) и, таким образом, верны в более общем случае.

Связанные продукты [ править ]

Термин «внутренний продукт» противопоставляется внешнему продукту , что является несколько более общей противоположностью. Проще говоря, в координатах внутренний продукт является произведением ковектора 1 × n с вектором n × 1 , что дает матрицу 1 × 1 (скаляр), в то время как внешнее произведение является произведением вектора m × 1 с Ковектор 1 × n , что дает матрицу размера m × n . Обратите внимание, что внешний продукт определяется для разных размеров, а внутренний продукт требует того же размера. Если размеры совпадают, то внутренним продуктом является следвнешнего продукта (трассировка правильно определяется только для квадратных матриц). В неформальном резюме: «внутреннее становится горизонтальным, умноженным на вертикальное, и сжимается вниз, внешнее - вертикально, умножается на горизонтальное и расширяется».

Более абстрактно, внешнее произведение - это билинейное отображение W × V ^∗ → Hom ( V , W ), переводящее вектор и ковектор в линейное преобразование ранга 1 ( простой тензор типа (1, 1)), а внутреннее произведение - это билинейное оценочное отображение V ^∗ × V → F, заданное вычислением ковектора на векторе; порядок векторных пространств доменов здесь отражает различие ковекторов / векторов.

Внутренний продукт и внешний продукт не следует путать с внутренним продуктом и внешним продуктом , которые вместо этого являются операциями над векторными полями и дифференциальными формами или, в более общем смысле, с внешней алгеброй .

В качестве дополнительного усложнения в геометрической алгебре внутреннее произведение и внешнее (грассмановское) произведение объединяются в геометрическое произведение (произведение Клиффорда в алгебре Клиффорда ) - внутреннее произведение отправляет два вектора (1-вектора) в скаляр ( 0-вектор), в то время как внешний продукт отправляет два вектора в бивектор (2-вектор) - и в этом контексте внешний продукт обычно называется внешним продуктом (альтернативно, продуктом клина ). Внутреннее произведение в этом контексте более правильно называть скалярным произведением, поскольку рассматриваемая невырожденная квадратичная форма не обязательно должна быть положительно определенной (не обязательно должна быть внутренним произведением).

См. Также [ править ]

• Билинейная форма
• Биортогональная система
• Двойное пространство
• Энергетическое пространство
• L-полувнутренний продукт

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98258-8.
• Эмч, Джерард Г. (1972). Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля . Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-23900-0.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Молодой, Николай (1988). Введение в гильбертово пространство . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-33717-5.