В топологии и смежных областях математики , A подмножество из топологического пространства X называется плотным (в X ) , если каждая точка х в X либо принадлежит A или является предельной точкой из А ; то есть замыкание в А представляет собой весь набор X . [1] Неформально, для каждой точки в X , точка либо в A, либо произвольно «близка» к члену A. - например, рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел, потому что каждое действительное число либо является рациональным числом, либо имеет рациональное число, произвольно близкое к нему (см. Диофантово приближение ).
Формально, подмножество топологического пространства X плотно в X , если для любой точки х в X , любая окрестность из й содержит по крайней мере одну точку из A (то есть, имеет непустое пересечение с каждым непустым открытым подмножеством из Х ). Эквивалентно, плотно в X тогда и только тогда , когда наименьшее замкнутое подмножество из X , содержащее А является Х само по себе. Это также может быть выражено, говоря , что замыкание в А является X , или что внутренняя часть дополнения в А пусто.
Плотность топологического пространства X является наименее кардинальной из плотного подмножества X .
Плотность в метрических пространствах
Альтернативное определение плотного множества в случае метрических пространств следующее. Когда топология в X задается метрикой , в замыкании из A в X является объединением из А и множество всех пределов последовательностей элементов в А (его предельных точек ),
Тогда A плотно в X, если
Если последовательность плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве X , тотакже плотно в X . Этот факт является одной из эквивалентных форм теоремы Бэра о категории .
Примеры
В действительных числах с обычной топологией имеют рациональные числа как счетное плотное подмножество , который показывает , что мощность плотного подмножества топологического пространства может быть строго меньше , чем мощность самого пространства. Эти иррациональные числа являются еще плотное подмножество , которое показывает , что топологическое пространство может иметь несколько непересекающихся плотных подмножеств (в частности, два плотные подмножества могут дополнять друг друга), и они не должны быть даже одной и той же мощности. Возможно, что еще более удивительно, и рациональные, и иррациональные числа имеют пустую внутреннюю часть, показывая, что плотные множества не обязательно должны содержать непустые открытые множества. Пересечение двух плотных открытых подмножеств топологического пространства снова плотно и открыто.
По аппроксимационной теореме Вейерштрасса любую заданную комплекснозначную непрерывную функцию, определенную на отрезке [ a , b ], можно равномерно аппроксимировать с любой точностью полиномиальной функцией . Другими словами, полиномиальные функции плотны в пространстве C [ a , b ] непрерывных комплекснозначных функций на интервале [ a , b ], снабженном супремум-нормой .
Каждое метрическое пространство плотно в своем пополнении .
Характеристики
Каждое топологическое пространство представляет собой плотное подмножество самого себя. Для множества X с дискретной топологией все пространство является единственным плотным подмножеством. Каждое непустое подмножество множества X, снабженное тривиальной топологией , плотно, и каждая топология, для которой каждое непустое подмножество плотно, должна быть тривиальной.
Плотность транзитивна : даны три подмножества A , B и C топологического пространства X с A ⊆ B ⊆ C ⊆ X, такие что A плотно в B, а B плотно в C (в соответствующей топологии подпространства ), то A также плотно в C .
Изображения из плотного подмножества при сюръективной непрерывной функции снова плотно. Плотность топологического пространства (наименьшая из мощностей его плотных подмножеств) является топологическим инвариантом .
Топологическое пространство со связным плотным подмножеством обязательно само связно.
Непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножеств: если две непрерывные функции F , г : Х → Y в хаусдорфова пространства Y соглашаются на плотном подмножестве X , то они совпадают на всем X .
Для метрических пространств существуют универсальные пространства, в которые могут быть вложены все пространства заданной плотности : метрическое пространство плотности α изометрично подпространству C ([0, 1] α , R ) , пространству вещественных непрерывных функций на продукт из альфа копия единичного интервала . [2]
Связанные понятия
Точка х подмножеств A топологического пространства X называется предельной точка из А (в X ) , если каждая окрестность х содержит точку , кроме й самого, а изолированная точка из A в противном случае. Подмножество без изолированных точек называется плотным в себе .
Подмножество A топологического пространства X называется нигде не плотным (в X ), если в X нет окрестности, на которой A плотно. Точно так же подмножество топологического пространства нигде не является плотным, если и только если внутренность его замыкания пуста. Внутренность дополнения нигде не плотного набора всегда плотная. Дополнением к замкнутому нигде не плотному множеству является открытое плотное множество. Для топологического пространства X подмножество A в X, которое может быть выражено как объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств X , называется скудным . Рациональные числа, хотя и плотны в действительных числах, являются скудными как подмножество действительных чисел.
Топологическое пространство со счетным плотным подмножеством называется сепарабельным . Топологическое пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда пересечение счетного числа плотных открытых множеств всегда плотно. Топологическое пространство называется разрешимым, если оно представляет собой объединение двух непересекающихся плотных подмножеств. В более общем смысле топологическое пространство называется κ-разрешимым для кардинала κ, если оно содержит κ попарно непересекающихся плотных множеств.
Вложение топологического пространства X в качестве плотного подмножества компактного пространства называется компактифи- из X .
Линейный оператор между топологическими векторными пространствами X и Y называется плотно определен , если его доменом является плотным подмножеством X , и если его диапазон находится внутри Y . См. Также непрерывное линейное расширение .
Топологическое пространство X является hyperconnected тогда и только тогда , когда каждое непустое открытое множество плотно в X . Топологическое пространство субмаксимально тогда и только тогда, когда каждое плотное подмножество открыто.
Если является метрическим пространством, то непустое подмножество Y называется ε-плотным, если
Тогда можно показать, что D плотно в тогда и только тогда, когда он ε-плотен для каждого
Смотрите также
- Теорема Блумберга
- Плотный порядок
- Плотный (теория решетки)
Рекомендации
Заметки
- ^ Стин, Луизиана; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-X
- ^ Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура» . Бык. Austral. Математика. Soc . 1 (2): 169–173. DOI : 10.1017 / S0004972700041411 .
Общие ссылки
- Николя Бурбаки (1989) [1971]. Общая топология, главы 1–4 . Элементы математики. Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2.
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446