В математике , то замыкание подмножества S точек в топологическом пространстве состоит из всех точек в S вместе со всеми предельными точками из S . Замыкание S может быть эквивалентно определяется как союз из S и его границы , а также как пересечение всех замкнутых множеств , содержащих S . Интуитивно замыкание можно представить как все точки, которые находятся либо в S, либо «около» S.. Точка , которая находится в замыкании S является точкой закрытия из S . Понятие закрытия во многом двойственно понятию интерьера .
Определения
Точка закрытия
Для подмножество евклидова пространства , точка закрытия если каждый открытый шар сосредоточен в содержит точку (этот момент может быть сам).
Это определение обобщается на любое подмножество из метрического пространства Полностью выражен, для метрическое пространство с метрикой точка закрытия если для каждого есть некоторые такое, что расстояние (очередной раз, разрешено). Другой способ выразить это - сказать, что точка закрытия если расстояние
Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Позволять быть подмножеством топологического пространства потом является точкой закрытия или клейкой точка из если каждый район содержит точку [1] Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми.
Предельная точка
Определение точки закрытия тесно связано с определением предельной точки . Разница между этими двумя определениями тонкая, но важная, а именно: в определении предельной точки каждая окрестность точкирассматриваемый должен содержать точку из множества, отличную отсам . Множество всех предельных точек множестваназывается производное множество из
Таким образом, каждая предельная точка является точкой закрытия, но не каждая точка закрытия является предельной точкой. Точка замыкания, которая не является предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка изолированная точка если это элемент и если есть окрестности который не содержит других точек Кроме как сам. [2]
Для данного набора и указать точка закрытия если и только если является элементом или же предельная точка (или оба).
Закрытие набора
Замыкание подмножества топологического пространства обозначается или, возможно, (если понимается), где, если оба а также ясны из контекста, то его также можно обозначить как или же (более того, иногда пишется с заглавной буквы ) можно определить с помощью любого из следующих эквивалентных определений:
- есть множество всех точек закрытия из
- это набор вместе со всеми его предельными точками . [3]
- является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих
- наименьшее замкнутое множество, содержащее
- это союз и его граница
- это набор всех для которого существует сеть (оцененная) в что сходится к в
Замыкание множества обладает следующими свойствами. [4]
- является закрытым надмножеством
- Набор закрыто тогда и только тогда, когда
- Если тогда это подмножество
- Если замкнутое множество, то содержит если и только если содержит
Иногда второе или третье свойство выше используется как определение топологического замыкания, которое все еще имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. Ниже). [5]
В пространстве с первым счетом (например, в метрическом пространстве )- множество всех пределов всех сходящихся последовательностей точек вДля общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр ».
Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если "закрытие", "надмножество", "пересечение", "содержит / содержащий", "наименьший" и "закрытый" заменяются на "внутренний", "подмножество", "объединение", "содержащий" в "," крупнейшем "и" открытом ". Подробнее об этом см. Ниже оператор закрытия .
Примеры
Рассмотрим сферу в 3-х измерениях. Неявно есть две области интересов, создаваемые этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым 3-шаром). Полезно уметь различать внутреннюю часть 3-шара и поверхность, поэтому мы различаем открытый 3-шар и закрытый 3-шар - закрытие 3-шара. Закрытие открытого 3-шара - это открытый 3-шар плюс поверхность.
В топологическом пространстве :
- В любом пространстве,
- В любом пространстве
Давая а также стандарт (метрика) топология :
- Если евклидово пространство из действительных чисел , то
- Если евклидово пространство затем закрытие множества из рациональных чисел является все пространство Мы говорим что является плотным в
- Если является комплексной плоскости тогда
- Если является конечным подмножеством евклидова пространства тогда (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно аксиоме T 1. )
На множество действительных чисел можно ставить другие топологии вместо стандартной.
- Если наделена топологией нижнего предела , то
- Если учесть дискретная топология , в которой каждое множество замкнуто (открыто), а затем
- Если учесть тривиальная топология , в которой только замкнутом (открытом) множество пустого множество и сам тогда
Эти примеры показывают, что закрытие набора зависит от топологии основного пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.
- В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему закрытию.
- В любом недискретном пространстве поскольку единственные закрытые множества - это пустое множество и Само по себе мы имеем, что закрытие пустого множества является пустым множеством, и для каждого непустого подмножества из Другими словами, любое непустое подмножество недискретного пространства плотно .
Закрытие набора также зависит от того, в каком пространстве мы выполняем закрытие. Например, если- множество рациональных чисел с обычной относительной топологией, индуцированной евклидовым пространством и если тогда это как закрытые и открытые в потому что ни ни его дополнение не может содержать , что было бы нижней границей , но не может быть в так как иррационально. Так, не имеет четко определенного закрытия из-за того, что граничные элементы не находятся в . Однако, если вместо этого мы определимбыть набором действительных чисел и определить интервал таким же образом, тогда закрытие этого интервала хорошо определено и будет набором всех действительных чисел, больших или равных .
Оператор закрытия
Оператор замыкания на множествеявляется отображением из множества мощности из , в себя, что удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Учитывая топологическое пространство топологическое замыкание индуцирует функцию который определяется отправкой подмножества к где обозначение или же может использоваться вместо этого. Наоборот, если является оператором замыкания на множестве то топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как точно таких подмножеств это удовлетворяет (так дополняет в этих подмножеств образуют открытые множества топологии). [6]
Оператор закрытия является двойным к внутреннему оператору, который обозначается в смысле
а также
Следовательно, абстрактная теория операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского легко переводятся на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в
В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве верен следующий результат:
Теорема [7] (С. Ursescu) - Пустьпоследовательность подмножеств полного метрического пространства
- Если каждый закрыт в тогда
- Если каждый открыт в тогда
Факты о закрытии
Подмножество будет закрыт в если и только если В частности:
- Замыкание пустого множества - это пустое множество;
- Закрытие сам по себе
- Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством (но не обязательно равным) пересечению замыканий множеств.
- В союзе с конечным числом множеств, то замыкание объединения и объединение замыканий равно; объединение нулевых множеств - это пустое множество, и поэтому это утверждение содержит более раннее утверждение о закрытии пустого множества как особый случай.
- Замыкание объединения бесконечного множества множеств не обязательно равно объединению замыканий, но всегда является надмножеством объединения замыканий.
Если и если является подпространством в (означающий, что наделена топологией подпространств, что индуцирует на нем), то и закрытие вычислено в равно пересечению и закрытие вычислено в :
- [доказательство 1]
В частности, плотно в если и только если это подмножество
Если но не обязательно является подмножеством только тогда
гарантируется в целом там, где это сдерживание может быть строгим (рассмотрим, например, с обычной топологией, а также [доказательство 2] ) хотя если открытое подмножество тогда равенство будет иметь место [доказательство 3] (независимо от связи между а также ). Следовательно, еслилюбое открытое покрытие из и если есть любое подмножество, тогда:
так как для каждого (где каждый наделено топологией подпространств, индуцированной на нем). Это равенство особенно полезно, когдаявляется многообразием, а множества в открытой крышкеявляются областями координатных карт . На словах этот результат показывает, что замыкание в любого подмножества можно вычислить "локально" в множествах любого открытого покрытия а затем объединились вместе. Таким образом, этот результат можно рассматривать как аналог известного факта, что подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда он " локально закрыт в", что означает, что если любое открытое покрытие из тогда закрыт в если и только если закрыт в для каждого
Категорическая интерпретация
Можно элегантно определить оператор замыкания в терминах универсальных стрелок следующим образом.
Powerset набораможет быть реализована в виде частичного порядка категории в котором объекты являются подмножествами, а морфизмы - отображениями включения в любое время это подмножество Кроме того, топология на является подкатегорию из с функтором включения Множество замкнутых подмножеств, содержащих фиксированное подмножество можно отождествить с категорией запятой Эта категория - также частичный заказ - затем имеет начальный объект Таким образом, существует универсальная стрелка из к дается включением
Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее соответствует открытому набору, содержащемуся в мы можем интерпретировать категорию как множество открытых подмножеств, содержащихся в с конечным объектом интерьер из
Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическим замыканием ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок .
Смотрите также
- Точка привязки - точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
- Замыкательная алгебра
- Производное множество (математика)
- Интерьер (топология)
- Предельная точка - точка x в топологическом пространстве, все окрестности которой содержат некоторую точку в данном подмножестве, отличную от x .
Заметки
- ^ Потому что является замкнутым подмножеством Перекресток является замкнутым подмножеством (по определению топологии подпространств ), откуда следует, что (так как это наименьшее замкнутое подмножество содержащий ). Так как является замкнутым подмножеством из определения топологии подпространства должно существовать некоторое множество такой, что закрыт в а также Так как а также закрыт в минимальность подразумевает, что Пересекая обе стороны с показывает, что
- ^ Из а также следует, что а также что подразумевает
- ^ Пусть и предположим, что открыт в Позволять что равно (так как ). Дополнение открыт в где быть открытым в теперь подразумевает, что также открыт в вследствие этого является замкнутым подмножеством где содержит как подмножество (потому что если в тогда ), откуда следует, что Пересекая обе стороны с доказывает, что Обратное включение следует из
Рекомендации
- ^ Шуберт 1968 , стр. 20
- ^ Kuratowski 1966 , стр. 75
- ^ Хокинг & Young 1988 , стр. 4
- ^ Крум 1989 , стр. 104
- ^ Gemignani 1990 , стр. 55, Первин 1965 , стр. 40 и Бейкер 1991 , стр. 38 используют второе свойство в качестве определения.
- ^ Pervin 1965 , стр. 41 год
- ^ Зэлинеску 2002 , стр. 33.
Библиография
- Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm. С. Браун Издатель, ISBN 0-697-05972-3
- Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
- Джеминьяни, Майкл С. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Довер, ISBN 0-486-66522-4
- Хокинг, Джон Дж .; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN 0-486-65676-4
- Куратовский, К. (1966), Топология , I , Academic Press
- Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
- Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
- Зэлинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, штат Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Руководство по ремонту 1921556 . OCLC 285163112 .
Внешние ссылки
- «Замыкание множества» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]