Пространство с первым счетом

В топологии , разделе математики , пространство с первым счетом - это топологическое пространство, удовлетворяющее «первой аксиоме счетности ». В частности, пространство X называется счетным первым, если каждая точка имеет счетный базис окрестности (локальную базу). То есть, для каждой точки х в X существует последовательность N ₁ , N ₂ , ... из окрестностей от х , таких , что для любых окрестностей N от й существует целоея с N _я , содержащийся в N . Поскольку каждая окрестность любой точки содержит открытую окрестность этой точки, можно без ограничения общности выбрать базис окрестностей, состоящий из открытых окрестностей.

Примеры и контрпримеры [ править ]

Большинство «повседневных» пространств в математике счетно первыми. В частности, каждое метрическое пространство счетно до первого. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что набор открытых шаров с центром в точке x и радиусом 1 / n для целых чисел n > 0 формирует счетную локальную базу в точке x .

Примером пространства, которое не учитывается первым, является конфинитная топология на несчетном множестве (таком как действительная линия ).

Другой контрпример - это порядковое пространство ω ₁ +1 = [0, ω ₁ ], где ω ₁ - первое несчетное порядковое число. Элемент ω ₁ является предельной точкой подмножества [0, ω ₁ ), хотя ни одна последовательность элементов в [0, ω ₁ ) не имеет элемента ω _{1 в} качестве предела. В частности, точка ω ₁ в пространстве ω ₁ +1 = [0, ω ₁ ] не имеет счетной локальной базы. Однако поскольку ω ₁ - единственная такая точка, подпространство ω ₁ = [0, ω ₁ ) счетно первым.

Фактор - пространство , где натуральные числа на прямой идентифицируются как одна точка не является первым счетным. ^[1] Однако это пространство обладает тем свойством, что для любого подмножества A и каждого элемента x в замыкании A существует последовательность в A, сходящаяся к  x . Пространство с таким свойством последовательности иногда называют пространством Фреше – Урысона .${\ Displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {N}}$

Счетность до первого строго слабее, чем счётность до второго . Каждое подсчитываемое вторым пространство является подсчетом первым, но любое несчетное дискретное пространство считается первым, но не подсчитываемым вторым.

Свойства [ править ]

Одним из наиболее важных свойств первого счетно-пространств является то , что дано подмножество A , точка х лежит в замыкании части А , если и только если существует последовательность { х _п } в A , который сходится к х . (Другими словами, каждое пространство с первым счетом является пространством Фреше-Урысона .) Это имеет последствия для пределов и непрерывности . В частности, если f - функция на пространстве с первым счетом, то f имеет предел L в точке xтогда и только тогда , когда для каждой последовательности х _п → х , где х _п ≠ х для всех п , мы имеем F ( х _п ) → л . Кроме того, если f - функция на пространстве с первым счетом, то f непрерывна тогда и только тогда, когда всякий раз, когда x _n → x , то f ( x _n ) → f ( x ).

В пространствах с первым счетом секвенциальная компактность и счетная компактность являются эквивалентными свойствами. Однако существуют примеры секвенциально компактных пространств с первым счетом, которые не являются компактными (это обязательно неметрические пространства). Одним из таких пространств является ординальное пространство [0, ω ₁ ). Каждое счетное пространство компактно порождено .

Каждое подпространство пространства с первым счетом счетно первым. Любое счетное произведение пространства с первым счетом является счетным первым, хотя несчетные произведения не обязательно.

См. Также [ править ]

• Место с подсчетом секунд
• Отделимое пространство

Ссылки [ править ]

• "первая аксиома счетности" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Сигма серии в чистой математике, Vol. 6 (Перераб. И доп. Ред.). Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3885380064.