В математике , A топологического пространства X является последовательно компактным , если каждая последовательность точек в X имеет сходящуюся подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке X .
Каждое метрическое пространство естественно является топологическим пространством, а для метрических пространств понятия компактности и секвенциальной компактности эквивалентны (если предполагать счетный выбор ). Однако существуют секвенциально компактные топологические пространства, не являющиеся компактными, и компактные топологические пространства, не являющиеся секвенциально компактными.
Примеры и свойства [ править ]
Пространство всех действительных чисел с обычной топологией не последовательно компактно; последовательность ( s n ), заданная как s n = n для всех натуральных чисел n, является последовательностью, не имеющей сходящейся подпоследовательности.
Если пространство является метрическим , то оно секвенциально компактно тогда и только тогда, когда оно компактно . [1] первый несчетный с топологией порядка представляет собой пример последовательного компактного топологического пространства, не являющийся компактным. Продукт из копий замкнутого единичного интервала является примером компактного пространства, не последовательно компактные. [2]
Связанные понятия [ править ]
Топологическое пространство X называется предельно компактным, если каждое бесконечное подмножество X имеет предельную точку в X , и счетно компактным, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. В метрическом пространстве понятия секвенциальной компактности, компактности по предельным точкам, счетной компактности и компактности эквивалентны (если принять аксиому выбора ).
В секвенциальном (хаусдорфовом) пространстве секвенциальная компактность эквивалентна счетной компактности. [3]
Существует также понятие последовательной компактификации по одной точке - идея состоит в том, что все несходящиеся последовательности должны сходиться к дополнительной точке. [4]
См. Также [ править ]
- Теорема Больцано – Вейерштрасса - ограниченная последовательность в конечномерном евклидовом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность
- Пространство Фреше – Урысона
- Последовательность покрывающих карт
- Последовательное пространство - топологическое пространство , которое можно охарактеризовать в терминах последовательностей.
Заметки [ править ]
- ^ Уиллард, 17G, стр. 125.
- ^ Стин и Зеебах, Пример 105 , стр. 125-126.
- ^ Энгелкинг, Общая топология, Теорема 3.10.31
К. П. Харт, Джун-ити Нагата, Дж. Э. Воган (редакторы), Энциклопедия общей топологии, Глава d3 (П. Саймона) - ^ Браун, Рональд, "Последовательно правильные карты и последовательная компактификация", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.
Ссылки [ править ]
- Мункрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
- Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур-младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
