В математике , особенно в реальном анализе , теорема Больцано – Вейерштрасса , названная в честь Бернарда Больцано и Карла Вейерштрасса , является фундаментальным результатом о сходимости в конечномерном евклидовом пространстве R n . Теорема утверждает, что каждая ограниченная последовательность в R n имеет сходящуюся подпоследовательность . [1] Эквивалентная формулировка является то , что подмножество из R п является последовательно компактным , если и только если он закрыт , иограниченный . [2] Теорема иногда называется теоремой о секвенциальной компактности . [3]
История и значение
Теорема Больцано – Вейерштрасса названа в честь математиков Бернарда Больцано и Карла Вейерштрасса . Фактически это было впервые доказано Больцано в 1817 году как лемма при доказательстве теоремы о промежуточном значении . Примерно через пятьдесят лет результат был признан значительным сам по себе и снова доказан Вейерштрассом. С тех пор она стала важной теоремой анализа .
Доказательство
Сначала докажем теорему для (набор всех действительных чисел ), в этом случае заказ наможно найти хорошее применение. Действительно, мы имеем следующий результат:
Лемма : каждая бесконечная последовательность в имеет монотонную подпоследовательность .
Доказательство : назовем положительный целочисленный индекс последовательности "пик" последовательности, когда для каждого . Предположим сначала, что последовательность имеет бесконечно много вершин, что означает, что существует подпоследовательность со следующими индексами и следующие условия . Итак, бесконечная последовательность в имеет монотонную подпоследовательность, которая . Но предположим теперь, что имеется только конечное число пиков, пусть будет последним пиком и пусть первый индекс новой подпоследовательности быть настроенным на . потом не пик, так как наступает после финального пика, что подразумевает наличие с участием а также . Очередной раз, наступает после последнего пика, следовательно, есть где с участием . Повторение этого процесса приводит к бесконечной неубывающей подпоследовательности , тем самым доказывая, что каждая бесконечная последовательность в имеет монотонную подпоследовательность. [4]
Теперь предположим, что у вас есть ограниченная последовательность в; по доказанной лемме существует монотонная подпоследовательность, также ограниченная. Из теоремы о монотонной сходимости следует, что эта подпоследовательность сходится.
Наконец, общий случай (), сводится к случаю следующим образом: задана ограниченная последовательность в , последовательность первых координат является ограниченной действительной последовательностью, следовательно, она имеет сходящуюся подпоследовательность. Затем можно выделить подподпоследовательность, на которой сходятся вторые координаты, и так далее, пока в конце мы не перейдем от исходной последовательности к подпоследовательности. раз - которая все еще является подпоследовательностью исходной последовательности - на которой сходится каждая последовательность координат, следовательно, сама подпоследовательность сходится.
Альтернативное доказательство
Существует также альтернативное доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса с использованием вложенных интервалов . Начнем с ограниченной последовательности:
Так как ограничена, эта последовательность имеет нижнюю границу и верхняя граница .
Мы принимаем как первый интервал для последовательности вложенных интервалов.
Затем мы разделили в середине на два подинтервала одинакового размера.
Поскольку каждая последовательность имеет бесконечно много элементов, должен быть (по крайней мере) один из этих подинтервалов, содержащий бесконечно много элементов . Мы возьмем этот подинтервал как второй интервал последовательности вложенных интервалов.
Затем мы разделили снова в середине на два подинтервала одинакового размера.
Опять же, один из этих подынтервалов содержит бесконечно много членов . Мы берем этот подынтервал как третий подынтервал последовательности вложенных интервалов.
Мы продолжаем этот процесс бесконечно много раз. Таким образом мы получаем последовательность вложенных интервалов.
Поскольку мы уменьшаем длину интервала вдвое на каждом шаге, предел длины интервала равен нулю. Таким образом, есть ряд то есть в каждом интервале . Теперь покажем, чтоявляется точкой накопления из.
Возьмите район из . Поскольку длина интервалов сходится к нулю, существует интервал это подмножество . Так как содержит по построению бесконечно много членов а также , также содержит бесконечно много членов . Это доказывает, что это точка накопления . Таким образом, существует подпоследовательность что сходится к .
Последовательная компактность в евклидовых пространствах
Пусть представляет собой подмножество R п со свойством , что каждая последовательность A имеет подпоследовательность , сходящуюся к элементу из A . Тогда A должно быть ограниченным, поскольку в противном случае в A существует последовательность x m с || х м || ≥ m для всех m , и тогда каждая подпоследовательность неограничена и, следовательно, не сходится. Более того, A должна быть замкнутой, так как из не внутренней точки x в дополнении к A можно построить A -значную последовательность, сходящуюся к x . Таким образом, подмножества A в R n, для которых каждая последовательность в A имеет подпоследовательность, сходящуюся к элементу A, т. Е. Подмножества, которые последовательно компактны в топологии подпространства, являются в точности замкнутыми и ограниченными подмножествами.
Эта форма теоремы делает особенно очистить аналогию с теоремой Гейне-Бореля , который утверждает , что подмножество R п является компактным тогда и только тогда , когда оно замкнуто и ограничено. Фактически, общая топология говорит нам, что метризуемое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно, так что теоремы Больцано – Вейерштрасса и Гейне – Бореля по существу одинаковы.
Приложение к экономике
В экономике существуют различные важные концепции равновесия , для доказательства существования которых часто требуются вариации теоремы Больцано – Вейерштрасса. Одним из примеров является наличие распределения, эффективного по Парето . Распределение - это матрица пакетов потребления для агентов в экономике, и распределение является эффективным по Парето, если в него нельзя внести никаких изменений, которые не ухудшают положение ни одного агента и хотя бы одного агента лучше (здесь строки матрицы распределения должны быть ранжируется по отношению предпочтения ). Теорема Больцано – Вейерштрасса позволяет доказать, что если множество распределений компактно и непусто , то система имеет распределение, эффективное по Парето.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Дж. Вили.
- Фитцпатрик, Патрик М. (2006). Advanced Calculus (2-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-37603-7.
Внешние ссылки
- "Теорема Больцано-Вейерштрасса" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса.
- PlanetMath: доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса
- Рэп Больцано-Вейерштрасса