Метризуемое пространство

В топологии и смежных областях математики , метрическое пространство является топологическим пространством , которая гомеоморфно в метрическом пространстве . То есть, топологическое пространство называется метризуемым если существует метрика такая , что топология , индуцированная это . ^{[1] [2]} Теоремы о метризации - это теоремы, которые дают достаточные условия для метризуемости топологического пространства.${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ ${\ displaystyle d \ двоеточие X \ times X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Свойства [ править ]

Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства метрических пространств. Например, они являются паракомпактными пространствами Хаусдорфа (а значит, нормальными и тихоновскими ) и имеют счетность в первом приближении . Однако нельзя сказать, что некоторые свойства метрики, такие как полнота, унаследованы. Это также верно и для других структур, связанных с метрикой. Например, метризуемое однородное пространство может иметь другой набор сжимающих отображений, чем метрическое пространство, которому оно гомеоморфно.

Теоремы метризации [ править ]

Одной из первых широко известных теорем о метризации была теорема Урысона о метризации . Это означает, что всякое хаусдорфово регулярное пространство с счетной второй счетностью метризуемо. Так, например, каждое счетное многообразие метризуемо. (Историческая справка: форма показанной здесь теоремы была фактически доказана Тихоновым в 1926 году. Урысон показал в статье, посмертно опубликованной в 1925 году, что каждое нормальное хаусдорфово пространство, имеющее счетность в секундах, метризуемо). Обратное неверно: существуют метрические пространства, которые не являются вторыми счетными, например, несчетное множество, наделенное дискретной метрикой. ^[3]Теорема Нагаты – Смирнова о метризации , описанная ниже, дает более конкретную теорему, в которой верно обратное.

Несколько других теорем метризации следуют как простые следствия теоремы Урысона. Например, компактное хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетно до секунд.

Теорема Урысона может быть переформулирована так: топологическое пространство сепарабельно и метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет счетность во вторых. Теорема Нагаты – Смирнова о метризации распространяет это на неотделимый случай. Он утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. Σ-локально конечная база - это база, которая представляет собой объединение счетного числа локально конечных наборов открытых множеств. Для тесно связанной теоремы см. Теорему о метризации Бинга .

Сепарабельные метризуемые пространства также можно охарактеризовать как те пространства, которые гомеоморфны подпространству гильбертова куба , т. Е. Счетно бесконечному произведению единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из вещественных чисел) с самим собой, наделенным топологией произведения .${\ Displaystyle \ lbrack 0,1 \ rbrack ^ {\ mathbb {N}}}$

Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность . Смирнов доказал, что локально метризуемое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и паракомпактно . В частности, многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.

Примеры [ править ]

Группа унитарных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве с сильной операторной топологией метризуема (см. Предложение II.1 в ^[4] ).${\ Displaystyle \ mathbb {U} ({\ mathcal {H}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Примеры неметризуемых пространств [ править ]

Ненормальные пространства не могут быть метризуемыми; важные примеры включают

• топологии Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , используется в алгебраической геометрии ,
• топологическое векторное пространство всех функций от вещественной прямой R к самому себе, с топологией поточечной сходимости .

Реальная линия с топологией нижнего предела не является метризуемой. Обычная функция расстояния не является метрикой на этом пространстве, потому что топология, которую она определяет, является обычной топологией, а не топологией нижнего предела. Это пространство хаусдорфово, паракомпактное и первое счетное.

Длинная линия локально метризуемая но не метризуемая; в некотором смысле это «слишком долго».

См. Также [ править ]

• Аполлоническая метрика
• Теорема Бинга о метризации
• Метризуемые ТВС
• Пространство Мура (топология)
• Теорема Нагаты – Смирнова о метризации.
• Униформизуемость , свойство топологического пространства быть гомеоморфным однородному пространству , или, что то же самое, топология, определяемая семейством псевдометрик.

Ссылки [ править ]

Эта статья включает материал из Metrizable на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .