Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении: пусть f - непрерывная функция, определенная на [ a ,  b ], и пусть s будет числом с f ( a ) < s < f ( b ). Тогда существует некоторый x между a и b такой, что f ( x ) = s .

В математическом анализе теорема о промежуточном значении утверждает, что если f является непрерывной функцией , область определения которой содержит интервал [ a ,  b ], то она принимает любое заданное значение между f ( a ) и f ( b ) в некоторой точке в пределах интервала .

Это имеет два важных следствия :

1. Если непрерывная функция имеет значения противоположного знака внутри интервала, то она имеет корень в этом интервале ( теорема Больцано ). ^[1]
2. Изображение непрерывной функции на интервале сам интервал.

Мотивация [ править ]

Теорема о промежуточном значении

Это отражает интуитивное свойство непрерывных функций над действительными числами : дана f, непрерывная на [1, 2] с известными значениями f (1) = 3 и f (2) = 5, тогда график y = f ( x ) должен проходить через горизонтальную линию y  = 4, в то время как x перемещается от 1 к 2. Он представляет идею о том, что график непрерывной функции на отрезке может быть нарисован, не отрывая карандаша от бумаги.

Теорема [ править ]

Теорема о промежуточном значении утверждает следующее:

Рассмотрим интервал действительных чисел и непрерывную функцию . потом${\ Displaystyle I = [а, б]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f \ двоеточие I \ to \ mathbb {R}}$

• Версия I. Если это число от до ,${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle f (а)}$${\ displaystyle f (b)}$

то есть ,${\ Displaystyle \ мин (е (а), е (б)) <и <\ макс (е (а), е (б))}$

то есть такое что .${\ Displaystyle с \ в (а, б)}$${\ displaystyle f (c) = u}$

• Версия II. множество изображений также интервал, и он содержит ,${\ Displaystyle f (I)}$${\ Displaystyle {\ bigl [} \ мин (е (а), е (б)), \ макс (е (а), е (б)) {\ bigr]}}$

Замечание: Версия II утверждает, что набор значений функции не имеет пробелов. Для любых двух значений функции , даже если они находятся за пределами интервала между и , все точки в интервале также являются значениями функции,${\ displaystyle c <d}$${\ Displaystyle f (а)}$${\ displaystyle f (b)}$${\ Displaystyle {\ bigl [} с, д {\ bigr]}}$

${\ Displaystyle {\ bigl [} с, d {\ bigr]} \ substeq f (I)}$.

Подмножество действительных чисел без внутреннего пробела - это интервал. Версия I , естественно, содержится в Версии II .

Отношение к полноте [ править ]

Теорема зависит от полноты действительных чисел и эквивалентна ей . Теорема о промежуточном значении неприменима к рациональным числам ℚ, потому что между рациональными числами существуют промежутки; иррациональные числа заполняют эти пробелы. Например, функция для удовлетворяет и . Однако, не существует рациональное число такое , что , поскольку является иррациональным числом.${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2} -2}$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f(0)=-2}$${\displaystyle f(2)=2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Доказательство [ править ]

Теорема может быть доказана как следствие свойства полноты действительных чисел следующим образом: ^[2]

Докажем первый случай . Второй случай аналогичен.${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$

Позвольте быть набор всех таких, что . Тогда непусто, поскольку является элементом и ограничено сверху . Следовательно, по полноте супремум существует. То есть это наименьшее число, которое больше или равно каждому члену . Мы утверждаем это .${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle f(x)\leq u}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c=\sup S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(c)=u}$

Исправьте некоторые . Поскольку непрерывно, существует такое, что всякий раз . Это означает, что${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$${\displaystyle |x-c|<\delta }$

${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$

для всех . По свойствам супремума существует такое, что содержится в , и поэтому${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon }$.

Сбор , мы знаем это, потому что это супремум . Это означает, что${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$${\displaystyle a^{**}\not \in S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon }$.

Оба неравенства

${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$

действительны для всех , из которых мы выводим как единственно возможное значение, как указано.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f(c)=u}$

Замечание: Теорема о промежуточном значении также может быть доказана с использованием методов нестандартного анализа , который ставит «интуитивные» аргументы, включающие бесконечно малые величины, на строгую основу. ^[3]

История [ править ]

Теорема была впервые доказана Бернаром Больцано в 1817 году. Больцано использовал следующую формулировку теоремы: ^[4]

Позвольте быть непрерывными функциями на интервале между и такими, что и . Тогда есть промежуточное и такое, что .${\displaystyle f,\phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(\alpha )<\phi (\alpha )}$${\displaystyle f(\beta )>\phi (\beta )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(x)=\phi (x)}$

Эквивалентность этой формулировки и современной можно показать, установив соответствующую постоянную функцию. Огюстен-Луи Коши представил современную формулировку и доказательство в 1821 году. ^[5] Оба были вдохновлены целью формализации анализа функций и работ Жозефа-Луи Лагранжа . Идея о том, что непрерывные функции обладают свойством промежуточного значения, имеет более раннее происхождение. Саймон Стевин доказал теорему о промежуточном значении для многочленов (используя кубическую${\displaystyle \phi }$в качестве примера), предоставив алгоритм построения десятичного разложения решения. Алгоритм итеративно делит интервал на 10 частей, создавая дополнительную десятичную цифру на каждом шаге итерации. ^[6] До того, как было дано формальное определение непрерывности, свойство промежуточного значения было дано как часть определения непрерывной функции. Среди сторонников - Луи Арбогаст , который предположил, что функции не имеют скачков, удовлетворяют свойству промежуточного значения и имеют приращения, размеры которых соответствуют размерам приращений переменной. ^[7]Ранее авторы считали результат интуитивно очевидным и не требующим доказательств. Идея Больцано и Коши состояла в том, чтобы определить общее понятие непрерывности (в терминах бесконечно малых в случае Коши и с использованием вещественных неравенств в случае Больцано) и предоставить доказательство, основанное на таких определениях.

Обобщения [ править ]

Теорема о промежуточном значении тесно связана с топологическим понятием связности и следует из основных свойств связных множеств в метрических пространствах и, в частности, связных подмножеств:

• Если и являются метрическими пространствами , является непрерывным отображением и является связным подмножеством, то является связным. (*)${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E\subset X}$${\displaystyle f(E)}$
• Подмножество связно тогда и только тогда , когда оно удовлетворяет следующее свойство: . (**)${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$

Фактически, связность является топологическим свойством и (*) обобщается на топологические пространства : если и являются топологическими пространствами, является непрерывным отображением и является связным пространством , то является связным. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$ Сохранение связности при непрерывных отображениях можно рассматривать как обобщение теоремы о промежуточном значении, свойства вещественнозначных функций действительной переменной, на непрерывные функции в общих пространствах.

Вспомните первую версию теоремы о промежуточном значении, изложенную ранее:

Теорема о промежуточном значении. (Версия I). Рассмотрим отрезок действительных чисел и непрерывную функцию . Тогда, если это действительное число такое , что существует такое, что .${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))}$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle f(c)=u}$

Теорема о промежуточном значении является непосредственным следствием этих двух свойств связности: ^[8]

Доказательство: По (**)является связным множеством. Из (*) следует, что образ,, также связан. Для удобства предположим, что. Затем еще раз вызов (**)подразумевает это, илидля некоторых. Так,необходимо провестисамом деле, и желаемый вывод следует. Тот же аргумент применим, если, так что мы закончили.${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle f(I)}$${\displaystyle f(a)<f(b)}$${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$${\displaystyle u\in f(I)}$${\displaystyle f(c)=u}$${\displaystyle c\in I}$${\displaystyle u\neq f(a),f(b)}$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle f(b)<f(a)}$${\displaystyle \ \ \blacksquare }$

Теорема о промежуточном значении обобщается естественным образом: предположим, что X - связное топологическое пространство, а ( Y , <) - вполне упорядоченное множество, снабженное топологией порядка , и пусть f  : X → Y - непрерывное отображение. Если a и b - две точки в X и u - точка в Y, лежащая между f ( a ) и f ( b ) относительно <, то существует c в X такое, что f( c ) =  u . Исходная теорема восстанавливается, если заметить, что связно и что его естественная топология - это порядковая топология.

Теорема Брауэра о неподвижной точке является связанной теоремой, которая в одном измерении дает частный случай теоремы о промежуточном значении.

Converse ложный [ править ]

Функция Дарбу - это функция f с действительными значениями, которая обладает «свойством промежуточного значения», т. Е. Удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении: для любых двух значений a и b в области определения f и любого y между f ( ) и е ( б ), существует некоторая с между и Ь с F ( гр ) = у. Теорема о промежуточном значении гласит, что каждая непрерывная функция является функцией Дарбу. Однако не всякая функция Дарбу непрерывна; т.е. обратное утверждение теоремы о промежуточном значении неверно.

В качестве примера возьмем функцию f  : [0, ∞) → [−1, 1], определенную формулой f ( x ) = sin (1 / x ) для x  > 0 и f (0) = 0. Эта функция не является непрерывна в точке х  = 0 , так как предел из F ( х ) , как х стремится к 0 не существует; но функция имеет свойство промежуточного значения. Другой, более сложный пример - функция с основанием 13 Конвея .

Фактически, теорема Дарбу утверждает, что все функции, возникающие в результате дифференцирования какой-либо другой функции на некотором интервале, обладают свойством промежуточного значения (даже если они не обязательно должны быть непрерывными).

Исторически это свойство промежуточного значения предлагалось как определение непрерывности функций с действительными значениями; ^[9] это определение не было принято.

Практическое применение [ править ]

Аналогичным результатом является теорема Борсука – Улама , которая утверждает, что непрерывное отображение -сферы в евклидово -пространство всегда будет отображать некоторую пару антиподальных точек в одно и то же место.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Доказательство для одномерного случая: возьмем любую непрерывную функцию на окружности. Проведите линию через центр круга, пересекая его в двух противоположных точках и . Определить быть . Если линия повернута на 180 градусов, вместо нее будет получено значение - d . Согласно теореме о промежуточном значении должен быть некоторый промежуточный угол поворота, для которого d = 0, и, как следствие, f ( A ) = f ( B ) под этим углом.${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f(A)-f(B)}$

В общем, для любой непрерывной функции, область определения которой является некоторой замкнутой выпуклой -мерной фигурой и любой точкой внутри фигуры (не обязательно ее центром), существуют две антиподальные точки по отношению к данной точке, функциональное значение которых одинаково.${\displaystyle n}$

Теорема также подкрепляет объяснение того, почему вращение качающегося стола приводит его к устойчивости (при соблюдении некоторых легко выполняемых ограничений). ^[10]

См. Также [ править ]

• Теорема о среднем значении
• Теорема о волосатом шарике

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Теорема о промежуточном значении в ProofWiki
• Промежуточное значение теорема - Bolzano теорема при вырезе в-узле
• Теорема Больцано Хулио Сезара де ла Инсера, Wolfram Demonstrations Project .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о промежуточном значении» . MathWorld .
• Белк, Джим (2 января 2012 г.). «Двумерная версия теоремы о промежуточном значении» . Обмен стеками .
• Подтверждение системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4