В реальном анализе теорема Гейне-Бореля , названный в честь Эдуарда Гейне и Борель , говорится:
Для подмножества S в евклидовом пространстве R п , следующие два утверждения эквивалентны:
- S является закрытым и ограниченным
- S является компактным , то есть каждое открытое покрытие из S имеет конечное подпокрытие.
История и мотивация
История того, что сегодня называется теоремой Гейне – Бореля, начинается в 19 веке с поиска прочных основ реального анализа. Центральное место в теории занимали концепция равномерной непрерывности и теорема, утверждающая, что каждая непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна. Питер Густав Лежен Дирихле был первым, кто доказал это, и неявно использовал в своем доказательстве существование конечного подпокрытия данного открытого покрытия отрезка. [1] Он использовал это доказательство в своих лекциях 1852 года, которые были опубликованы только в 1904 году. [1] Позже Эдуард Гейне , Карл Вейерштрасс и Сальваторе Пинчерле использовали аналогичные методы. Эмиль Борель в 1895 году первым сформулировал и доказал форму того, что сейчас называется теоремой Гейне – Бореля. Его формулировка ограничивалась счетными обложками. Пьер Кузен (1895 г.), Лебег (1898 г.) и Шенфлис (1900 г.) обобщили его на произвольные накрытия. [2]
Доказательство
Если набор компактный, то его нужно закрыть.
Пусть S - подмножество R n . Заметим сначала следующее: если является предельной точкой из S , то любой конечной коллекции C открытых множеств, таким образом, что каждое открытое множество U ∈ C не пересекается с некоторой окрестности V U из , не может быть крышка S . Действительно, пересечение конечного семейства множеств V U окрестность W из в R н . Так как является предельной точкой S , W должны содержать точку й в S . Этот x ∈ S не покрывается семейством C , потому что каждый U в C не пересекается с V U и, следовательно, не пересекается с W , которое содержит x .
Если S компактно , но не замкнуто, то оно имеет предельную точку а , не в S . Рассмотрим набор C ' , состоящую из открытой окрестности N ( х ) для каждого х ∈ S , выбранного достаточно малы , чтобы не пересекались некоторой окрестности V х из . Тогда С ' представляет собой открытое покрытие S , но любое конечное поднабором C ' имеет вид C обсуждался ранее, и , следовательно , не может быть открыто подпокрытием S . Это противоречит компактности S . Следовательно, каждая предельная точка S находится в S , поэтому S замкнута.
Доказательство выше относится практически без изменения , показывая , что любое компактное подмножество S из хаусдорфовой топологического пространства X замкнуто в X .
Если множество компактно, то оно ограничено.
Позволять быть компактным множеством в , а также шар радиуса 1 с центром в . Тогда множество всех таких шаров с центром в явно открытая крышка , поскольку содержит все . Скомпактно, возьмем конечное подпокрытие этого покрытия. Это подпокрытие представляет собой конечное объединение шаров радиуса 1. Рассмотрим все пары центров этих (конечного числа) шаров (радиуса 1) и пустьбыть максимальным расстоянием между ними. Тогда если а также являются центрами (соответственно) единичных шаров, содержащих произвольные , неравенство треугольника говорит:
Так что диаметр ограничен .
Замкнутое подмножество компакта компактно.
Пусть К замкнутое подмножество компактного множества Т в R п и пусть С К открытое покрытие из K . Тогда U = R n \ K - открытое множество и
это открытое покрытие Т . Поскольку T компактно, то C T имеет конечное подпокрытиекоторый также охватывает меньший набор K . Поскольку U не содержит ни одной точки из K , множество K уже покрыточто является конечным поднабором оригинальной коллекции C K . Таким образом, можно извлечь из любого открытого покрытия C K поля K конечное подпокрытие.
Если множество замкнуто и ограничено, то оно компактно.
Если множество S в R n ограничено, то его можно заключить в n -блок
где a > 0. По указанному выше свойству достаточно показать, что T 0 компактно.
Предположим от противного, что T 0 не компактно. Тогда существует бесконечное открытое покрытие C пространства T 0 , не допускающее никакого конечного подпокрытия. Посредством деления пополам каждой из сторон T 0 блок T 0 может быть разбит на 2 n подпункта n -боксов, каждый из которых имеет диаметр, равный половине диаметра T 0 . Тогда хотя бы одно из 2 n секций T 0 должно требовать бесконечного подпокрытия C , иначе сама C будет иметь конечное подпокрытие, объединяя вместе конечные покрытия секций. Назовите этот раздел T 1 .
Кроме того, боковые стороны Т 1 могут быть разделены пополам, получая 2 н секцию Т 1 , по меньшей мере , один из которых должен потребовать бесконечное подпокрытие C . Продолжение подобным образом дает убывающую последовательность вложенных n -боксов:
где длина стороны T k равна (2 a ) / 2 k , которая стремится к 0, когда k стремится к бесконечности. Определим последовательность ( x k ) такую, что каждый x k принадлежит T k . Эта последовательность фундаментальна, поэтому она должна сходиться к некоторому пределу L . Поскольку каждое T k замкнуто и для каждого k последовательность ( x k ) в конечном итоге всегда находится внутри T k , мы видим, что L ∈ T k для каждого k .
Так как С охватывает Т 0 , то она имеет некоторый член U ∈ C такое , что L ∈ U . Так как U открыта, существует п -шар В ( L ) ⊆ U . Для достаточно больших к , имеет один T K ⊆ B ( L ) ⊆ U , но тогда бесконечное число членов C , необходимых для покрытия T K может быть заменен только один: U , противоречие.
Таким образом, T 0 компактно. Поскольку S замкнуто и является подмножеством компакта T 0 , то S также компактно (см. Выше).
Свойство Гейне-Бореля
Теорема Гейне – Бореля не выполняется, как указано для общих метрических и топологических векторных пространств , и это приводит к необходимости рассматривать специальные классы пространств, для которых это предложение верно. Их называют пространствами со свойством Гейне – Бореля .
В теории метрических пространств
Метрическое пространство называется обладающим свойством Гейне – Бореля, если каждое замкнутое ограниченное [3] множество в компактный.
Многие метрические пространства не обладают свойством Гейне – Бореля, например, метрическое пространство рациональных чисел (или вообще любое неполное метрическое пространство). Полные метрические пространства также могут не обладать этим свойством; например, никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне – Бореля (как метрические пространства). Еще более тривиально, если действительная прямая не наделена обычной метрикой, она может не обладать свойством Гейне – Бореля.
Метрическое пространство имеет метрику Гейне – Бореля, локально идентичную по Коши метрике тогда и только тогда, когда он полный ,-компактный и локально компактный . [4]
В теории топологических векторных пространств
Топологическое векторное пространство называется обладающим свойством Гейне – Бореля [5] (Р. Э. Эдвардс использует термин ограниченно компактное пространство [6] ), если каждое замкнутое ограниченное [7] множество вкомпактный. [8] Никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне – Бореля (как топологические векторные пространства). Но в некоторых бесконечномерных пространствах Фреше есть, например, пространство гладких функций на открытом множестве [6] и пространство голоморфных функций на открытом множестве . [6] В более общем смысле, любое квазиполное ядерное пространство обладает свойством Гейне – Бореля. Все пространства Монтеля также обладают свойством Гейне – Бореля.
Смотрите также
Заметки
- ^ a b Раман-Сундстрём, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619 .
- ^ Сундстрём, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].
- ^ Набор в метрическом пространстве называется ограниченным, если он содержится в шаре конечного радиуса, т. е. существует а также такой, что .
- Перейти ↑ Williamson & Janos 1987 .
- ↑ Кириллов и Гвишиани 1982 , теорема 28.
- ^ а б в Эдвардс 1965 , 8.4.7.
- ^ Набор в топологическом векторном пространстве называется ограниченной, если для каждой окрестности нуля в существует скаляр такой, что .
- ^ В случае, когда топология топологического векторного пространства порождается некоторой метрикой это определение не эквивалентно определению свойства Гейне – Бореля как метрическое пространство, поскольку понятие ограниченного множества в как метрическое пространство отличается от понятия ограниченного множества в как топологическое векторное пространство. Например, пространство гладких функций на отрезке с метрикой (здесь это -я производная функции ) обладает свойством Гейне – Бореля как топологическое векторное пространство, но не как метрическое пространство.
Рекомендации
- П. Дюгач (1989). "По переписке Бореля и теории Дирихле – Гейне – Вейерштрасса – Бореля – Шенфлиса – Лебега". Arch. Int. Hist. Sci . 39 : 69–110.
- BookOfProofs: Собственность Гейне-Бореля
- Jeffreys, H .; Джеффрис, Б.С. (1988). Методы математической физики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521097239.
- Williamson, R .; Янош, Л. (1987). «Строительные метрики с свойством Гейне-Бореля» . Proc. AMS . 100 (3): 567–573. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1987-0891165-X .
- Кириллов, АА; Гвишиани, А.Д. (1982). Теоремы и проблемы функционального анализа . Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
- Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
Внешние ссылки
- Иван Кениг, д-р профессор Ханс-Кристиан Граф фон Боттмер, Дмитрий Тиссен, Андреас Тимм, Виктор Виттман (2004 г.). Теорема Гейне – Бореля . Ганновер: Университет Лейбница. Архивировано из оригинала (avi • mp4 • mov • swf • потоковое видео) 19.07.2011.
- "Теорема Бореля-Лебега о покрытии" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Mathworld "Теорема Гейне-Бореля"
- "Анализ первых доказательств теоремы Гейне-Бореля - доказательство Лебега"