Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В функциональном анализе и смежных областях математики , монтелевский , названный в честь Пола Монтелю , любое топологическое векторное пространство (TVS) , в которой аналог теоремы Монтеля держит. В частности, монтелевское пространство является стволом топологического векторного пространства , в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество является компактным .

Определение [ править ]

Хаусдорфа локально выпуклое топологическое векторное пространство называется пространством полу-Montel или идеально , если каждое ограниченное подмножество является относительно компактным . [примечание 1]

Топологическое векторное пространство (ТВС) обладает свойством Гейне-Бореля , если каждое замкнутое и ограниченное подмножество является компактным .

Известно, что подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено .

Монтелевским является стволом топологического векторного пространства со свойством Гейне-Борель. Точно так же это беспорядочное полумонтельское пространство.

Характеристики [ править ]

Разъемные пространство Фреше является монтелевским тогда и только тогда , когда каждый -слабо сходится последовательность в ее непрерывной сопряженное сильно сходится . [1]

Достаточные условия [ править ]

Полумонтельские пространства

Замкнутое векторное подпространство полумонтелевского пространства снова является полумонтелевым пространством. Локально выпуклая прямая сумма любого семейства полумонтелевских пространств снова является полумонтелевым пространством. Обратный предел обратной системы , состоящая из пола-монтелевских пространств снова пол-монтелевский. Декартово произведение любого семейства пола-монтелевские пространства (соответственно. MONTEL пространство) снова является пол-монтелевскими (соотва. Монтелевским).

Пространства Montel

Сильным двойником пространства Montel является Montel. Ствол квазиполного ядерное пространства является монтелевским. [1] Каждое произведение и локально выпуклая прямая сумма семейства пространств Монтеля является пространством Монтеля. [1] Строгий индуктивный предел последовательности пространств Монтеля - это пространство Монтеля. [1] Напротив, замкнутые подпространства и отдельные частные пространств Монтеля в общем случае даже не рефлексивны . [1] Каждое пространство Фреше Шварца является пространством Монтеля. [2]

Свойства [ править ]

Пространства Montel паракомпактны и нормальны . [3] Пространства Монтеля являются квазиполными и полурефлексивными, в то время как пространства Монтеля рефлексивны .

Никакое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. Это связано с тем, что банахово пространство не может удовлетворять свойству Гейне – Бореля : замкнутый единичный шар замкнут и ограничен, но не компактен. Пространства Фреше- Монтеля отделимы и имеют борнологический сильный двойственный. Метризуемое пространство Монтеля отделимо . [1]

Примеры [ править ]

В классическом комплексном анализе теорема Монтеля утверждает, что пространство голоморфных функций на открытом связном подмножестве комплексных чисел обладает этим свойством.

Многие пространства Монтеля, представляющие интерес в настоящее время, возникают как пространства пробных функций для пространства распределений . Пространство C ∞ (Ω) из гладких функций на открытом множестве Q , в ℝ п является Монтел пространство , снабженное топологией , индуцированной семейством полунорм

для n = 1, 2,… и K пробегает компактные подмножества Ω, а α - мультииндекс . Аналогично, пространство функций с компактным носителем в открытом множестве с финальной топологией семейства включений как K пробегает все компактные подмножества в Ω. Пространство Шварца также является пространством Монтеля.

Контрпримеры [ править ]

Каждое бесконечномерное нормированное пространство - это бочкообразное пространство , которое не является пространством Монтеля. [4] В частности, всякое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. [4] Существуют пространства Монтеля, которые не отделимы, и существуют пространства Монтеля, которые не являются полными . [4] Существуют пространства Монтеля, имеющие замкнутые векторные подпространства, которые не являются пространствами Монтеля. [5]

См. Также [ править ]

  • Бочковое пространство
  • Борнологическое пространство
  • Теорема Гейне – Бореля.
  • LB-пространство
  • LF-пространство
  • Ядерное пространство

Заметки [ править ]

  1. ^ Напомнимчто подмножество S топологического пространства X называется относительно компактным его замыкание в X является компактным .

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f Schaefer & Wolff 1999 , стр. 194-195.
  2. ^ Khaleelulla 1982 , стр. 32-63.
  3. ^ "Топологическое векторное пространство" . Энциклопедия математики . Энциклопедия математики . Проверено 6 сентября 2020 года .
  4. ^ a b c Khaleelulla 1982 , стр. 28-63.
  5. ^ Khaleelulla 1982 , стр. 103-110.
  • Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
  • Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. 26 . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. OCLC  316549583 .
  • Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: вводный курс по ядерным и безъядерным пространствам в свете дуальности "топология-борнология" . Математические исследования Северной Голландии. 52 . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC  316564345 .
  • Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
  • Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
  • Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
  • Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972 .
  • Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
  • Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
  • Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
  • Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
  • Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
  • Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
  • Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .
  • "Пространство Монтеля" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
  • v
  • t
  • e