Теорема Монтеля

---

В комплексном анализе , области математики , теорема Монтеля относится к одной из двух теорем о семействах голоморфных функций . Они названы в честь французского математика Поля Монтеля и дают условия, при которых семейство голоморфных функций является нормальным .

Первая и более простая версия теоремы утверждает, что семейство голоморфных функций, определенных на открытом подмножестве комплексных чисел , является нормальным тогда и только тогда, когда оно локально равномерно ограничено.

Эта теорема имеет следующее формально более сильное следствие. Предположим, что это семейство мероморфных функций на открытом множестве . Если такое, что не является нормальным в , и является окрестностью , то плотно в комплексной плоскости.${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle Z_ {0} \ в D}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle Z_ {0}}$${\ Displaystyle U \ подмножество D}$${\ Displaystyle Z_ {0}}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {е \ в {\ mathcal {F}}} е (U)}$

Более сильная версия теоремы Монтеля (иногда называемая тестом фундаментальной нормальности ) утверждает, что семейство голоморфных функций, все из которых пропускают одни и те же два значения , является нормальным.${\ Displaystyle а, б \ в \ mathbb {C},}$

Условия в приведенных выше теоремах достаточны, но не необходимы для нормальности. Действительно, семья нормальна, но не пропускает ни одного сложного значения.${\ Displaystyle \ {г \ карты г \}}$

Первая версия теоремы Монтеля является прямым следствием теоремы Марти (которая утверждает, что семейство нормально тогда и только тогда, когда сферические производные локально ограничены) и интегральной формулы Коши . ^[1]

---