Нормальная семья

В математике , со специальным приложением к комплексному анализу , A нормальная семья является пре-компактное подмножество пространства непрерывных функций . Неформально это означает, что функции в семье не разбросаны широко, а скорее скрепляются несколько «сгруппированно». Иногда, если каждая функция в нормальной семье F удовлетворяет конкретное свойство (например , является голоморфным ), тем свойство справедливо для каждой предельной точки множества F .

Более формально, пусть X и Y - топологические пространства . Множество непрерывных функций имеет естественную топологию, называемую компактно-открытой топологией . Нормальная семья является предварительно компактное подмножество относительно этой топологии.${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

Если Y является метрическим пространством , то компактно-открытой топология эквивалентна топологии компактной сходимости , ^[1] , и мы получим определение , которое ближе к классическому: Коллекция F непрерывных функций называются нормальной семьей , если каждая последовательность функций из F содержит подпоследовательность , которая сходится равномерно на компактных подмножества из X в непрерывную функцию от X к Y . То есть для каждой последовательности функций из F существует подпоследовательность${\ Displaystyle f_ {п} (х)}$и непрерывная функция от X к Y такое , что имеет место следующее для каждого компактного подмножества К , содержащейся в X :${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sup _ {x \ in K} d_ {Y} (f_ {n} (x), f (x)) = 0}$

где это метрика на Y .${\ displaystyle d_ {Y}}$

Нормальные семейства голоморфных функций [ править ]

Это понятие возникло в результате комплексного анализа , то есть изучения голоморфных функций . В этом случае X представляет собой открытое подмножество в комплексной плоскости , Y представляет собой комплексную плоскость, и метрика на Y задается . Как следствие интегральной теоремы Коши , последовательность голоморфных функций, равномерно сходящаяся на компактах, должна сходиться к голоморфной функции. То есть каждая предельная точка нормального семейства голоморфна. ${\ displaystyle d_ {Y} (y_ {1}, y_ {2}) = | y_ {1} -y_ {2} |}$

Нормальные семейства голоморфных функций - самый быстрый способ доказательства теоремы об отображении Римана . ^[2]

В более общем смысле, если пространства X и Y являются римановыми поверхностями , а Y снабжено метрикой, вытекающей из теоремы униформизации , то каждая предельная точка нормального семейства голоморфных функций также голоморфна. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

Например, если Y - сфера Римана , то метрика униформизации - это сферическое расстояние . В этом случае голоморфная функция от X до Y называется мероморфной функцией , и поэтому каждая предельная точка нормального семейства мероморфных функций является мероморфной функцией.

Критерии [ править ]

В классическом контексте голоморфных функций существует несколько критериев, которые можно использовать для установления того, что множество является нормальным семейством: теорема Монтеля утверждает, что множество локально ограниченных голоморфных функций является нормальным. Теорема Монтеля-Каратеодори утверждает, что набор мероморфных функций, которые пропускают значения ноль и один, является нормальным.

Теорема Марти ^[3] предоставляет критерий, который эквивалентен определению в контексте мероморфных функций: множество F мероморфных функций из области на комплексную плоскость является нормальным семейством тогда и только тогда, когда для каждого компактного подмножества K из U существует существует константа C, так что для каждого z в K мы имеем ${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f \ in F}$

${\ displaystyle {\ frac {2f '(z)} {1+ | f (z) | ^ {2}}} \ leq C.}$

Действительно, выражение слева - это формула для обратного движения элемента длины дуги на сфере Римана к комплексной плоскости через обратную стереографическую проекцию .

История [ править ]

Поль Монтель впервые ввел термин «нормальная семья» в 1911 году. ^{[4] [5]} Поскольку концепция нормальной семьи всегда была очень важна для комплексного анализа, терминология Монтеля все еще используется по сей день, даже если с современной точки зрения , некоторые математики могли бы предпочесть фразу pre-compact subset . Обратите внимание, что хотя понятие компактной открытой топологии обобщает и разъясняет концепцию, во многих приложениях исходное определение более практично.

См. Также [ править ]

• Фундаментальный тест на нормальность

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Альфорс, Ларс В. (1953), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного , Макгроу-Хилл
• Альфорс, Ларс В. (1966), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (2-е изд.), McGraw-Hill
• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , International Series in Pure and Applied Mathematics (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• Бирдон, Алан Ф. (1979), Комплексный анализ. Принцип аргумента в анализе и топологии , John Wiley & Sons, ISBN 0471996718
• Чуанг, Чи Тай (1993), Нормальные семейства мероморфных функций , World Scientific, ISBN 9810212577
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции комплексного переменного I . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Гамелен, Теодор В. (2001). Комплексный анализ . Springer-Verlag. ISBN 0-387-95093-1.
• Марти, Фредерик  : Recherches sur la repartition des valeurs d'une function méromorphe. Анна. Фак. Sci. Univ. Тулуза, 1931, 28, № 3, с. 183–261.
• Монтель, Поль (1927), Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leur applications (на французском языке), Gauthier-Villars
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Шифф, JL (1993). Нормальные семьи . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.

Эта статья включает в себя материал из обычного семейства на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .