Расстояние по большому кругу , ортодромическое расстояние или сферическое расстояние - это кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы , измеренное вдоль поверхности сферы (в отличие от прямой линии, проходящей через внутреннюю часть сферы). Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве - это длина прямой линии между ними, но на сфере прямых линий нет. В пространствах кривизны прямые заменяются геодезическими . Геодезические на сфере - это круги на сфере, центры которых совпадают с центром сферы, и называются большими кругами..
Определение расстояния по дуге большого круга является частью более общей задачи навигации по дуге большого круга , которая также вычисляет азимуты в конечных точках и промежуточных точках пути.
Через любые две точки на сфере, которые не находятся прямо напротив друг друга , проходит уникальный большой круг. Две точки разделяют большой круг на две дуги. Длина более короткой дуги - это расстояние по большому кругу между точками. Большой круг с таким расстоянием называется римановой окружностью в римановой геометрии .
Между двумя точками, которые находятся прямо напротив друг друга, называемыми антиподальными точками , существует бесконечно много больших кругов, и все дуги большого круга между противоположными точками имеют длину, равную половине окружности круга, или, где r - радиус сферы.
Земля близко к сферической , так ортодромии формула дает расстояние между точками на поверхности Земли исправить в пределах от около 0,5% . [1]
Формулы
Позволять а также быть географической долготой и широтой в радианах двух точек 1 и 2, ибыть их абсолютными различиями; тогда, центральный угол между ними, задается сферическим законом косинусов, если один из полюсов используется как вспомогательная третья точка на сфере: [2]
Проблема обычно выражается в нахождении центрального угла . Учитывая этот угол в радианах, фактическая длина дуги d на сфере радиуса r может быть тривиально вычислена как
Расчетные формулы
В компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой формула сферического закона косинусов может иметь большие ошибки округления, если расстояние небольшое (если две точки находятся на расстоянии километра друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла близок 0,99999999). Для современных 64-битных чисел с плавающей запятой формула сферического закона косинусов, приведенная выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний, превышающих несколько метров на поверхности Земли. [3] Формула гаверсинуса численно лучше подходит для малых расстояний: [4]
Исторически использование этой формулы было упрощено доступностью таблиц для функции гаверсинуса : hav ( θ ) = sin 2 ( θ / 2).
Хотя эта формула точна для большинства расстояний на сфере, она также страдает ошибками округления для особого (и несколько необычного) случая противоположных точек (на противоположных концах сферы). Формула, которая является точной для всех расстояний, является следующим частным случаем формулы Винсенти для эллипсоида с равными большой и малой осями: [5]
Векторная версия
Другое представление аналогичных формул, но с использованием нормальных векторов вместо широты и долготы для описания положений, находится с помощью трехмерной векторной алгебры , с использованием скалярного произведения , векторного произведения или их комбинации: [6]
где а также являются нормалями к эллипсоиду в двух положениях 1 и 2. Подобно приведенным выше уравнениям, основанным на широте и долготе, выражение, основанное на arctan, является единственным, которое хорошо согласовано для всех углов . Выражение, основанное на arctan, требует величины перекрестного произведения по скалярному произведению.
От длины хорды
Линия, проходящая через трехмерное пространство между интересующими точками на сферической Земле, - это хорда большого круга между точками. Центральный угол между двумя точками может быть определен из длины хорды. Расстояние большого круга пропорционально центральному углу.
Длина хорды большого круга, , может быть вычислен следующим образом для соответствующей единичной сферы посредством декартового вычитания :
Центральный угол:
Радиус сферической Земли
Форма Земли близко напоминает сплюснутый шар (а сфероид ) с экваториальным радиусом6378,137 км; расстояниеот центра сфероида до каждого полюса 6356,7523142 км. При вычислении длины короткой линии север-юг на экваторе окружность, которая наилучшим образом соответствует этой линии, имеет радиус(что равняется полу-латусной прямой кишке меридиана ), или 6335,439 км, в то время как сфероид на полюсах лучше всего аппроксимируется сферой радиуса, или 6399,594 км, разница в 1%. Пока предполагается сферическая Земля, любая отдельная формула для расстояния на Земле гарантированно верна только в пределах 0,5% (хотя возможна более высокая точность, если формула предназначена только для применения к ограниченной области). Используя средний радиус Земли ,(для эллипсоида WGS84 ) означает, что в пределе малого уплощения среднеквадратичная относительная ошибка в оценках расстояния минимизируется. [7]
Смотрите также
- Аэронавигация
- Угловое расстояние
- Изоазимутал
- Центральный угол
- Кругосветное плавание
- Планирование полета
- Геодезия
- Геодезические на эллипсоиде
- Геодезическая система
- Географическое расстояние
- Навигация по большому кругу
- Формула гаверсина
- Дуга меридиана
- Линия румба
- Сферическая земля
- Сферическая геометрия
- Сферическая тригонометрия
Ссылки и примечания
- ↑ Адмиралтейское руководство по навигации, Том 1 , Канцелярия, 1987, стр. 10, ISBN 9780117728806,
Ошибки, вносимые принятием сферической Земли на основе международной морской мили, составляют не более 0,5% для широты и 0,2% для долготы.
- ^ Kells, Lyman M .; Керн, Уиллис Ф .; Блэнд, Джеймс Р. (1940). Плоская и сферическая тригонометрия . McGraw Hill Book Company, Inc. стр. 323 -326 . Проверено 13 июля 2018 года .
- ^ «Вычислить расстояние, азимут и многое другое между точками широты и долготы» . Дата обращения 10 августа 2013 .
- ^ Синнотт, Роджер В. (август 1984). «Добродетели гаверсов». Небо и телескоп . 68 (2): 159.
- ^ Винсенти, Фаддей (1975-04-01). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор обзора . Кингстон-роуд, Толворт, Суррей: Управление зарубежных исследований . 23 (176): 88–93. DOI : 10,1179 / sre.1975.23.176.88 . Проверено 21 июля 2008 .
- ^ Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . Издательство Кембриджского университета. 63 (3): 395–417. DOI : 10.1017 / S0373463309990415 .
- ^ Маккоу, GT (1932). «Длинные линии на Земле». Обзор обзора империи . 1 (6): 259–263. DOI : 10,1179 / sre.1932.1.6.259 .
Внешние ссылки
- GreatCircle в MathWorld