Сфероид

Сфероиды с вертикальными осями вращения

сплюснутый		вытянутый

Сфероид или эллипсоид вращения , является квадрика поверхности получается вращающейся собой эллипс об одном из его главных осей; другими словами, эллипсоид с двумя равными полудиаметрами . Сфероид имеет круговую симметрию .

Если эллипс вращается вокруг своей главной оси, в результате получается вытянутый (удлиненный) сфероид, по форме напоминающий мяч для американского футбола или регби . Если эллипс вращается вокруг своей малой оси, в результате получается сплющенный (сплющенный) сфероид в форме чечевицы или простого M&M . Если образующий эллипс - круг, результат - сфера .

Благодаря совместному действию силы тяжести и вращения , то фигура Земли (и все планеты ) не совсем сфера, но вместо этого слегка уплощенной в направлении его оси вращения. По этой причине в картографии и геодезии Земля часто аппроксимируется сплюснутым сфероидом, известным как опорный эллипсоид , а не сферой. Текущая модель Мировой геодезической системы использует сфероид, радиус которого составляет 6 378,137 км (3 963,191 миль) на экваторе и 6 356,752 км (3 949,903 миль) на полюсах .

Слово сфероид изначально означало «приблизительно сферическое тело», допускающее неровности даже за пределами двух- или трехосной эллипсоидальной формы, и именно так этот термин используется в некоторых более старых работах по геодезии (например, в отношении усеченных сферических гармонических расширений. земли). ^[1]

Уравнение [ править ]

Назначение полуосей на сфероиде. Это сплюснутая , если с < (слева) и вытянутым , если с > (справа).

Уравнение трехосного эллипсоида с центром в начале координат с полуосями a , b и c, выровненными вдоль осей координат:

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1.}$

Уравнение сфероида с z в качестве оси симметрии задается положением a = b :

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1.}$

Полуось a - это экваториальный радиус сфероида, а c - расстояние от центра до полюса вдоль оси симметрии. Возможны два случая:

• c < a : сплюснутый сфероид
• c > a : вытянутый сфероид

Случай a = c сводится к сфере.

Свойства [ править ]

Площадь [ править ]

Сплюснутый сфероид с c < a имеет площадь поверхности

${\ displaystyle S _ {\ rm {сжатый}} = 2 \ pi a ^ {2} \ left (1 + {\ frac {1-e ^ {2}} {e}} {\ text {artanh}} \, e \ right) = 2 \ pi a ^ {2} + \ pi {\ frac {c ^ {2}} {e}} \ ln \ left ({\ frac {1 + e} {1-e}} \ справа) \ quad {\ mbox {where}} \ quad e ^ {2} = 1 - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}.}.$

Сплюснутый сфероид создается вращением вокруг оси z эллипса с большой полуосью а и малой полуосью с , поэтому е можно определить как эксцентриситет . (См. Эллипс .) ^[2]

Вытянутый сфероид с c > a имеет площадь поверхности

${\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\qquad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

Вытянутый сфероид создается вращением вокруг оси z эллипса с большой полуосью с и малой полуосью а ; следовательно, e можно снова определить как эксцентриситет . (См. Эллипс .) ^[3]

Эти формулы идентичны в том смысле, что формулу для S- _{сплющенного} сфероида можно использовать для расчета площади поверхности вытянутого сфероида и наоборот. Однако затем e становится мнимым и уже не может быть напрямую отождествлено с эксцентриситетом. Оба эти результата могут быть представлены во многих других формах, используя стандартные математические тождества и отношения между параметрами эллипса.

Объем [ править ]

Объем внутри сфероида (любого вида) равен . Если - экваториальный диаметр, а - полярный диаметр, объем равен .${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}a^{2}c\approx 4.19a^{2}c}$${\displaystyle A=2a}$${\displaystyle C=2c}$${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C}$

Кривизна [ править ]

Если сфероид параметризован как

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta );\,\!}$

где β - приведенная или параметрическая широта , λ - долгота , и -π/2< β <+π/2и −π < λ <+ π , то его гауссова кривизна равна

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={c^{2} \over \left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}};\,\!}$

и его средняя кривизна является

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right) \over 2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}.\,\!}$

Обе эти кривизны всегда положительны, так что каждая точка сфероида эллиптическая.

Соотношение сторон [ править ]

Соотношение сторон сплюснутого сфероид / эллипс, с  : , этим отношением к полярному экваториальным длинам, в то время как уплощение (также называемый сплюснутости) F , представляет собой отношение разности экваториально-полярной длиной к экваториальной длине:

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

Первый эксцентриситет (обычно просто эксцентриситет, как указано выше) часто используется вместо сплющивания. ^[4] Он определяется:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Отношения между эксцентриситетом и уплощением следующие:

${\displaystyle e={\sqrt {2f-f^{2}}}}$,

${\displaystyle f=1-{\sqrt {1-e^{2}}}}$

Все современные геодезические эллипсоиды определяются большой полуосью плюс малой полуосью (задающей соотношение сторон), уплощением или первым эксцентриситетом. Хотя эти определения математически взаимозаменяемы, реальные вычисления должны терять некоторую точность. Чтобы избежать путаницы, при определении эллипсоида его собственные значения считаются точными в той форме, в которой оно задается.

Приложения [ править ]

Наиболее распространенными формами распределения плотности протонов и нейтронов в атомном ядре являются сферические , вытянутые и сплюснутые сфероидальные, где полярная ось считается осью вращения (или направлением вектора спинового углового момента ). Деформированные формы ядер возникают в результате конкуренции между электромагнитным отталкиванием между протонами, поверхностным натяжением и эффектами квантовой оболочки .

Сплюснутые сфероиды [ править ]

Сплюснутый сфероид - это приблизительная форма вращающихся планет и других небесных тел , включая Землю, Сатурн , Юпитер и быстро вращающуюся звезду Альтаир . Сатурн - самая сплюснутая планета в Солнечной системе со сплющенностью 0,09796. Ученый- просветитель Исаак Ньютон , опираясь на эксперименты с маятником Жана Ричера и теории Христиана Гюйгенса для их интерпретации, пришел к выводу, что Юпитер и Земля представляют собой сжатые сфероиды из-за их центробежной силы . ^[5][6] Разнообразные картографические и геодезические системы Земли основаны на опорных эллипсоидах , все из которых являются сжатыми.

Научно-фантастический пример чрезвычайно сплющенной планета Mesklin от Hal Clement романа «s миссии тяжести .

Вытянутые сфероиды [ править ]

Вытянутый сфероид - это приблизительная форма мяча в некоторых видах спорта, например, в регби .

Несколько спутников Солнечной системы по форме напоминают вытянутые сфероиды, хотя на самом деле они представляют собой трехосные эллипсоиды . Примерами являются Сатурн «ы спутники Мимас , Энцелад и Тефия , и Уран » спутник Миранда .

В отличие от превращения в сплющенные сфероиды из-за быстрого вращения, небесные объекты слегка искажаются в вытянутые сфероиды под действием приливных сил, когда они вращаются вокруг массивного тела на близкой орбите. Наиболее ярким примером является спутник Юпитера Ио , который из-за небольшого эксцентриситета становится немного более или менее вытянутым по своей орбите, вызывая интенсивный вулканизм . Большая ось вытянутого сфероида в этом случае проходит не через полюса спутника, а через две точки на его экваторе, прямо обращенные к основному объекту и от него.

Этот термин также используется для описания формы некоторых туманностей, таких как Крабовидная туманность . ^[7] Зоны Френеля , используемые для анализа распространения волн и интерференции в космосе, представляют собой серию концентрических вытянутых сфероидов с главными осями, выровненными вдоль прямой видимости между передатчиком и приемником.

В атомных ядрах этих актинидов и лантанидов элементы имеют форму вытянутого сфероида. ^[8] В анатомии органы, близкие к сфероидальным, такие как яички, можно измерить по их длинной и короткой осям . ^[9]

Многие подводные лодки имеют форму, которую можно описать как вытянутый сфероид. ^[10]

Динамические свойства [ править ]

Для сфероида, имеющего однородную плотность, момент инерции - это момент инерции эллипсоида с дополнительной осью симметрии. Принимая во внимание описание сфероида как имеющий большую ось С , и малой осей а и б , моменты инерции вдоль этих главных осей являются С , и Б . Однако в сфероиде малые оси симметричны. Следовательно, наши инерционные члены по главным осям следующие: ^[11]

${\displaystyle A=B={\frac {1}{5}}M(a^{2}+c^{2}),}$

${\displaystyle C={\frac {1}{5}}M(a^{2}+a^{2})={\frac {2}{5}}M(a^{2}),}$

где M - масса тела, определяемая как

${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi \rho ca^{2}.}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме сфероидов .

В Wikisource есть текст статьи Spheroid из Британской энциклопедии 1911 года .

• Эллипсоидальный купол
• Экваториальная выпуклость
• Лентоид
• Сплюснутые сфероидальные координаты
• Яйцевидный
• Вытянутые сфероидальные координаты
• Вращение осей
• Перевод осей

Ссылки [ править ]