Эксцентриситет (математика)

Все типы конических секций, расположенных с возрастающим эксцентриситетом. Обратите внимание, что кривизна уменьшается с увеличением эксцентриситета, и ни одна из этих кривых не пересекается.

В математике , то эксцентриситет из конического сечения представляет собой неотрицательное действительное число , которое однозначно характеризует его форму.

Более формально два конических участка подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет.

Можно представить себе эксцентриситет как меру того, насколько коническое сечение отклоняется от круглого. Особенно:

Эксцентриситет круга равен нулю .
Эксцентриситет эллипса, который не является окружностью, больше нуля, но меньше 1.
Эксцентриситет параболы равен 1.
Эксцентриситет гиперболы больше 1.

Определения [ править ]

плоское сечение конуса

Любое коническое сечение можно определить как геометрическое место точек, расстояние от которых до точки (фокус) и линии (директриса) находится в постоянном соотношении. Это отношение называется эксцентриситетом и обычно обозначается буквой $e$ .

Эксцентриситет также можно определить в терминах пересечения плоскости и конуса с двойным ворсом, связанного с коническим сечением. Если конус ориентирован так, чтобы его ось была вертикальной, эксцентриситет равен ^[1]

{\ Displaystyle е = {\ гидроразрыва {\ грех \ бета} {\ грех \ альфа}}, \ \ 0 <\ альфа <90 ^ {\ circ}, \ 0 \ leq \ beta \ leq 90 ^ {\ circ} \,}

где β - угол между плоскостью и горизонталью, а α - угол между образующей наклона конуса и горизонталью. Для плоскости сечение - это круг, для параболы. (Плоскость не должна совпадать с вершиной конуса.) ${\ displaystyle \ beta = 0}$ ${\ Displaystyle \ бета = \ альфа}$

Линейный эксцентриситет эллипса или гиперболы, обозначается $с$ (или иногда $е$ или $е$ ), расстояние между его центром и любой из его двух очагов . Эксцентриситет можно определить как отношение линейного эксцентриситета к большой полуоси $a$ : то есть (без центра линейный эксцентриситет для парабол не определен). $e={\frac {c}{a}}$

Альтернативные названия [ править ]

Эксцентриситет иногда называют первым эксцентриситетом, чтобы отличить его от второго эксцентриситета и третьего эксцентриситета, определенных для эллипсов (см. Ниже). Эксцентриситет также иногда называют числовым эксцентриситетом .

В случае эллипсов и гипербол линейный эксцентриситет иногда называют полуфокальным разделением .

Обозначение [ править ]

Обычно используются три условных обозначения:

$e$ для эксцентриситета и $c$ для линейного эксцентриситета.
$ε$ для эксцентриситета и $e$ для линейного эксцентриситета.
$е$ или $ε <$ для эксцентриситета и $F$ для линейного эксцентриситета (Мнемоника для полупространства е Öçal разделений).

В этой статье используются первые обозначения.

Ценности [ править ]

Коническое сечение	Уравнение	Эксцентриситет ( $e$ )	Линейный эксцентриситет ( $c$ )
Круг	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$0$	$0$
Эллипс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ или где ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ $a>b$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$
Парабола	$x^{2}=4ay$	$1$	-
Гипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ или же ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Здесь для эллипса и гиперболы $a$ - длина большой полуоси, а $b$ - длина малой полуоси.

Когда коническое сечение задано в общей квадратичной форме

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

следующая формула дает эксцентриситет $e,$ если коническое сечение не является параболой (с эксцентриситетом, равным 1), не вырожденной гиперболой или вырожденным эллипсом , и не воображаемым эллипсом: ^[2]

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}

где если определитель матрицы 3 × 3 $\eta =1$

{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}

отрицательный или если этот определитель положительный. $\eta =-1$

Эллипс и гипербола с постоянным

a

и изменяющимся эксцентриситетом

e

.

Эллипсы [ править ]

Эксцентриситет эллипса строго меньше 1. Когда круги (с эксцентриситетом 0) считаются эллипсами, эксцентриситет эллипса больше или равен 0; если окружности отнесены к особой категории и исключены из категории эллипсов, то эксцентриситет эллипса строго больше 0.

Для любого эллипса пусть $a$ будет длиной его большой полуоси, а $b$ будет длиной его малой полуоси .

Мы определяем ряд связанных дополнительных понятий (только для эллипсов):

Имя	Символ	с точки зрения $a$ и $b$	с точки зрения $е$
Первая эксцентриситет	$e$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	$e$
Второй эксцентриситет	$e'$	${\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}$	${\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}$
Третья эксцентриситет	$e''={\sqrt {m}}$	${\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}$
Угловой эксцентриситет	$\alpha$	$\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)$	$\sin ^{-1}e$

Другие формулы эксцентриситета эллипса [ править ]

Эксцентриситет эллипса - это, проще всего, отношение расстояния $c$ между центром эллипса и каждым фокусом к длине большой полуоси $a$ .

e={\frac {c}{a}}.

Эксцентриситет - это также отношение большой полуоси $a$ к расстоянию $d$ от центра до направляющей:

e={\frac {a}{d}}.

Эксцентриситет можно выразить через уплощение $f$ (определенное как для большой полуоси $a$ и малой полуоси $b$ ): $f=1-b/a$

e={\sqrt {f(2-f)}}.

(Сглаживание может обозначаться $g$ в некоторых предметных областях, если $f$ - линейный эксцентриситет.)

Определить максимальный и минимальный радиусы и как максимальные и минимальные расстояния от любого фокуса к эллипсу (то есть расстояние от фокуса либо к двум концам главной оси). Тогда для большой полуоси $a$ эксцентриситет определяется выражением $r_{\text{max}}$ $r_{\text{min}}$

e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},

это расстояние между фокусами, деленное на длину большой оси.

Гиперболы [ править ]

Эксцентриситет гиперболы может быть любым действительным числом больше 1 без верхней границы. Эксцентриситет прямоугольной гиперболы составляет . ${\sqrt {2}}$

Квадрики [ править ]

Эллипсы, гиперболы со всеми возможными эксцентриситетами от нуля до бесконечности и парабола на одной кубической поверхности.

Эксцентриситет трехмерной квадрики - это эксцентриситет определенного ее участка . Например, на трехосном эллипсоиде меридиональный эксцентриситет - это эксцентриситет эллипса, образованный секцией, содержащей как самую длинную, так и самую короткую оси (одна из которых будет полярной осью), а экваториальный эксцентриситет - это эксцентриситет образованного эллипса. разрезом через центр, перпендикулярным полярной оси (т. е. в экваториальной плоскости). Но: конические сечения могут встречаться и на поверхностях более высокого порядка (см. Изображение).

Небесная механика [ править ]

В небесной механике для связанных орбит в сферическом потенциале приведенное выше определение неформально обобщено. Когда апоцентровое расстояние близко к перицентру , говорят, что орбита имеет низкий эксцентриситет; когда они сильно различаются, орбита считается эксцентричной или имеет эксцентриситет, близкий к единице. Это определение совпадает с математическим определением эксцентриситета эллипсов в кеплеровском, т. Е. Потенциалов. $1/r$

Аналогичные классификации [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Март 2009 г. )

В ряде математических классификаций используется терминология, производная от классификации конических сечений по эксцентриситету:

Классификация элементов из SL 2 (R) в качестве эллиптической, параболической, гиперболической и - и аналогично для классификации элементов из PSL ₂ (R), реальных преобразований Мёбиуса .
Классификация дискретных распределений по отношению дисперсии к среднему ; подробности см. в кумулянтах некоторых дискретных распределений вероятностей .
Классификация уравнений в частных производных проводится по аналогии с классификацией конических сечений; см. эллиптические , параболические и гиперболические уравнения в частных производных. ^[3]

См. Также [ править ]

Кеплеровские орбиты
Вектор эксцентриситета
Орбитальный эксцентриситет
Округлость (объект)
Коническая постоянная

Ссылки [ править ]

^ Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.), Addison-Wesley, p. 434. ISBN 0-201-07540-7
^ Аюб, Аюб Б., "Эксцентриситет конического сечения", The College Mathematics Journal 34 (2), март 2003 г., 116-121.
^ «Классификация линейных УЧП в двух независимых переменных» . Проверено 2 июля 2013 года .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме эксцентриситета .

MathWorld: эксцентриситет

[1] Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.), Addison-Wesley, p. 434. ISBN 0-201-07540-7

[2] Аюб, Аюб Б., "Эксцентриситет конического сечения", The College Mathematics Journal 34 (2), март 2003 г., 116-121.

[ornl.gov-3] «Классификация линейных УЧП в двух независимых переменных» . Проверено 2 июля 2013 года .

[1]