Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Точка F является точкой фокусировки для красного эллипса, зеленой параболы и синей гиперболы.

В геометрии , фокусируется или фокусы ( Великобритания : / е к / , США : / е с / ), единственное числом фокуса , специальные точки со ссылкой , в которой любые из множества кривых конструируют. Например, один или два фокуса могут использоваться для определения конических сечений , четыре типа которых - круг , эллипс , парабола и гипербола.. Кроме того, два фокуса используются для определения овала Кассини и декартова овала , и более двух фокусов используются для определения n-эллипса .

Конические сечения [ править ]

Определение коник в терминах двух фокусов [ править ]

Фокусы эллипса (фиолетовые кресты) находятся на пересечении большой оси (красный) и круга (голубой) с радиусом, равным большой полуоси (синий), с центром на конце малой оси (серый)

Эллипс можно определить как геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных фокусов является постоянной.

Круг - это частный случай эллипса, в котором два фокуса совпадают друг с другом. Таким образом, круг можно более просто определить как геометрическое место точек, каждая из которых находится на фиксированном расстоянии от одного данного фокуса. Круг также можно определить как круг Аполлония в терминах двух разных фокусов, как набор точек, имеющих фиксированное отношение расстояний к двум фокусам.

Парабола - это предельный случай эллипса, в котором один из фокусов является бесконечно удаленной точкой .

Гиперболу можно определить как геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных фокусов является постоянной.

Определение коник с точки зрения фокуса и директрисы [ править ]

Также возможно описать все конические секции в терминах единственного фокуса и единственной директрисы , которая представляет собой заданную линию, не содержащую фокуса. Коника определяется как геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса, деленное на расстояние до направляющей, является фиксированной положительной константой, называемой эксцентриситетом e . Если е находится между нулем и единицей, коника представляет собой эллипс; если e = 1, коника - парабола; а если e > 1, то коника является гиперболой. Если расстояние до фокуса фиксировано, а директриса представляет собой линию на бесконечности , поэтому эксцентриситет равен нулю, тогда конус представляет собой круг.

Определение коник с точки зрения фокуса и окружности директрисы [ править ]

Также возможно описать все конические сечения как места точек, которые равноудалены от единственного фокуса и единой круговой направляющей. Для эллипса фокус и центр окружности директрисы имеют конечные координаты, а радиус окружности директрисы больше, чем расстояние между центром этого круга и фокусом; таким образом, фокус находится внутри круга директрисы. Сгенерированный таким образом эллипс имеет второй фокус в центре окружности директрисы, а эллипс полностью лежит внутри круга.

Для параболы центр направляющей перемещается в бесконечно удаленную точку (см. Проективную геометрию ). «Круг» направляющей становится кривой с нулевой кривизной, неотличимой от прямой линии. Два плеча параболы становятся все более параллельными по мере того, как они расширяются, и «в бесконечности» становятся параллельными; Используя принципы проективной геометрии, две параллели пересекаются в бесконечно удаленной точке, и парабола становится замкнутой кривой (эллиптическая проекция).

Для создания гиперболы радиус окружности директрисы выбирается меньше расстояния между центром этого круга и фокусом; таким образом, фокус находится вне круга директрисы. Плечи гиперболы приближаются к асимптотическим линиям, и «правое» плечо одной ветви гиперболы встречается с «левым» плечом другой ветви гиперболы в бесконечно удаленной точке; это основано на том принципе, что в проективной геометрии одна линия встречается в бесконечно удаленной точке. Таким образом, две ветви гиперболы являются двумя (скрученными) половинами кривой, замкнутой на бесконечности.

В проективной геометрии все коники эквивалентны в том смысле, что каждая теорема, которая может быть сформулирована для одной, может быть сформулирована для других.

Астрономическое значение [ править ]

В гравитационной задаче двух тел орбиты двух тел относительно друг друга описываются двумя перекрывающимися коническими секциями, причем один из фокусов одного совпадает с одним из фокусов другого в центре масс ( барицентре ) два тела.

Так, например, самая большая луна Харон малой планеты Плутон имеет эллиптическую орбиту, которая имеет один фокус в барицентре системы Плутон-Харон, который является точкой, находящейся в пространстве между двумя телами; Плутон также движется по эллипсу с одним из его фокусов в том же самом центре масс между телами. Эллипс Плутона полностью находится внутри эллипса Харона, как показано на этой анимации системы.

Для сравнения: Луна Земли движется по эллипсу с одним из ее фокусов в барицентре Луны и Земли , этот барицентр находится внутри самой Земли, в то время как Земля (точнее, ее центр) движется по эллипсу с одним фокусом. в том же самом барицентре на Земле. Барицентр составляет примерно три четверти расстояния от центра Земли до ее поверхности.

Более того, система Плутон-Харон движется по эллипсу вокруг своего барицентра с Солнцем , как и система Земля-Луна (и любая другая система планета-Луна или безлунная планета в Солнечной системе). В обоих случаях барицентр находится внутри тела Солнца.

Две двойные звезды также движутся по эллипсу, разделяя фокус в их барицентрах; для анимации см. здесь .

Декартовы овалы и овалы Кассини [ править ]

Декартова овальный есть множество точек , для каждого из которых взвешенной сумма расстояний до двух данных фокусов является константой. Если веса равны, получается частный случай эллипса.

Овал Кассини есть множество точек , для каждого из которых произведение расстояний до двух данных фокусов является константой.

Обобщения [ править ]

П -ellipse есть множество точек все они имеют ту же сумму расстояний до н очагов. ( Случай n = 2 - это обычный эллипс.)

Понятие фокуса можно обобщить на произвольные алгебраические кривые. Пусть C - кривая класса m, а I и J обозначают бесконечно удаленные круговые точки . Проводим м касательные к С через каждый из I и J . Есть два комплекта м линий , которые будут иметь м 2 точки пересечения, с исключениями в некоторых случаях из - за особенности и т.д. Эти точки пересечения являются определяется как фокусы C . Другими словами, точка P является фокусом, если и PI, и PJкасаются C . Когда C - действительная кривая, действительными являются только пересечения сопряженных пар, поэтому m в реальных фокусах и m 2 - m мнимых фокусах. Когда C конического, реальные фокусы определяются таким образом , точно фокусы , которые могут быть использованы в геометрической конструкции C .

Конфокальные кривые [ править ]

Пусть P 1 , P 2 , ..., P m заданы как фокусы кривой C класса m . Пусть P - произведение касательных уравнений этих точек, а Q - произведение касательных уравнений круговых точек на бесконечности. Тогда все линии , которые являются общими и касательные к Р = 0 и Q = 0 касаются C . Итак, по теореме AF + BG касательное уравнение C имеет вид HP + KQ = 0. Поскольку C имеет класс m ,H должно быть константой и K, но иметь степень меньше или равную m −2. Случай H = 0 может быть исключен как вырожденный, поэтому касательное уравнение C можно записать как P + fQ = 0, где f - произвольный многочлен степени m −2. [1]

Например, пусть P 1 = (1,0), P 2 = (- 1,0). Касательные уравнения: X + 1 = 0 и X −1 = 0, поэтому P = X 2 -1 = 0. Касательные уравнения для бесконечно удаленных круговых точек: X + iY = 0 и X - iY = 0, поэтому Q = X 2 + Y 2 . Следовательно, касательное уравнение для коники с данными фокусами имеет вид X 2 -1+ c ( X 2 + Y 2 ) = 0 или (1+ c) X 2 + cY 2 = 1, где c - произвольная постоянная. В точечных координатах это становится

Ссылки [ править ]

  1. ^ Следует за Хилтоном стр. 69 с обращением в AF + BG для упрощения.
  • Хилтон, Гарольд (1920). Плоские алгебраические кривые . Оксфорд. п. 69 .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Фокус» . MathWorld .